Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1 Алгебры непрерывках функций ни компактном пространстве ай Пример. Пусть 11=(О, 1),  — алгебра функций 1: ьг-+С, имеющих на (О, 1) непрерывные производные вплоть до порядка и, снабженная нормой, рассмотренной в примере 2 $2. Ясно, что  — наполненная инволютивная подалгебра в У(!!), разделяющая точки ьс, следовательно, Х(В) отождествляется с Й. ПРедлОжение 2. Пусть ье — компактное пространство,  — банахова подалгебра с единицей в ЕГ(ьг) (с индуцированной нормой), разделяющая точки ье.
Отождествим ьг с эамк. нугой частью пространства Х(В)=ьг'. (!) Д'ля каждого элемента 1ен В функция Уэ1 является продолжением функции 1 на ьс' и !!1!1=зпр!Ув1!, так что Уэ — изометрический изоморфизм алгебры В на некоторую банахову подалгебру в о'(!!'), (О) Пусть В' — множество обратимых элементов алгебры В. Для каждого характера Х ен ьг' существует положительная мера !ь с массой 1 на ьг, такая, что для каждого элемента 1ен В' имеет место равенство 1 а!х(1)1= ~1 а!1( )!йй( ) (ш) Если Х и !ь удовлетворяют условиям (й), то для каждого элемента 1ен В имеет место равенство х(1) = ~ 1(а) й!ь(а).
(1ч) Предположим, что любой элемент из (ра(ьс) является равномерным пределом вещественных частей функций из В. Тогда для любого характера Х ен 1е' существует и притом единственная мера !ьх~)О на 11, такая, что для каждой функции 1ен В имеет место равенство х (1) = ) 1(а) й!ьх (а) Кроме того, для каждой функции 1Е= В справедливо неравенство !ой! х(1) ! < ~ !он!1(а) !й!ьх(а). (Здесь удобно считать 1одО= — оо.
Функция !ой!1! ограниченна сверху, и поэтому ее интеграл либо конечен, либо равен — оо.) Утверждение (1) вытекает из неравенства (!). Норнированные алгебра Гл.ййт Пусть т, я 11', Ло..., Л„~ К и !о „., )„~ В'. Покажем, что л а ДЛ;1од!1!(Я)( зпр ДЛ,!оп(1,(еа)!. В силу непрерывности достаточно доказать это неравенство для случая, когда числа Л~ рациональны и, стало быть, после приведения их к одному и тому же знаменателю,— для случая, когда Л~ вне для всех 1. Но в этом случае неравенство может быть переписано следующим образом: 1ойх(!"," ... 1„") ~( зцвв 1ой!(1, ...
1„")(еа)), и его справедливость вытекает из того, что !!т!!=!. Пусть В' — векторное подпространство в $'а(1е), порожденное функциями вида 1од!~1, где )ен В*. Предыдущие рассуждения доказывают существование линейной формы Ь с нормой ~(! на В', такой, что 1од!Х(~)!=Ь(1од!)!) для всех 1 ен В'. Далее, Ь можно продолжить до линейной формы р с нормой ~! на все Жа(ье); этому продолжению соответствует вещественная мера !е на (г, такая, что !!!)е!!(1. Выбирая в качестве элемента ! из В* постоянную е(=ехр1), получим 1=р(1).
Следовательно, 1-И+(1) — р (!) <й+(1)+!е (1) =!!рМ! и, значит, п=ц+=-":О и !!и!1=1; тем самым (И) доказано. Предположим, что Х и р обладают свойствами (Д). Для любого элемента ) я В имеем ехр! я В', следовательно, )Г Я(~) 4» = )г!ой ! ехр~ 1И1е =!оп!)((ехр!) ! = — 1оц! ехрх(~) ! Я)((г). Заменяя 1 на !!', мы видим, что ) ~д!е=)(Д) для любого элемента 1~ В. Допустим теперь, что выполняются предположения (1ч). Существование рх вытекает из (И) и (ш). С другой стороны, для каждой функции 1 он В справедливо равенство 1е„(Я~)— Я(ХД)) и, поскольку Я(В) плотно в пространстве Жа(й), характер у.
однозначно определяет меру 1е„. Пусть ! ен В. Тогда для любого е>0 существует функция 1!ен В, такая, что (2) х Алгебры непрерывных функций на компактном пространстве 9! Пусть Л=ехрд~ В', Из (2) следует, что (3) !а!в '<313+е, (4) 373+ е <! Ь !ее. Из (4) видно, что 3(Ь '! <е' и, значит, 3Х()Ь ') ~ <е'. Поэтому (5) 1од ! 2 (~) ! ~ (1ой ! Х (й) 3+ е = ) ! оя ! Л ! с(р + е, Из (3) и (5) получается неравенство (6) 1ой ! Х (Р) ! < ) 1ой (! ( ! + в) а3е„+ 2е из которого, поскольку е> 0 произвольно, выводим, что 1од3ХД)3< 3 !ой!~!с()е„.
Рассмотрим теперь «конкретную» реализацию объектов И, В, И', Ув предложения 2. Пусть Л вЂ” некоторое множество, И, — компактная часть С'. Обозначим через Р(И,) банахову подалгебру с единицей в чт(И,), состоящую из функций на И„которые являются равномерными пределами многочленов на Ио Координатные функции г„3И, топологически порождают алгебру Р(И,), и Р(И,) разделяет точки Иь Пусть И1 — полиномиально выпуклая оболочка Ио Так как для каждого элемента р ~ С~(Хь)„ справедливо равенство знр 3р(г)3= зпр ! Р(г)3, еяо еыо, то равномерно сходящиеся последовательности многочленов на И, единственным образом продолжаются до равномерно сходящихся последовательностей многочленов на И1, стало быть, существует и притом единственный изометрический изоморфизм Р(И,) на Р(И!), который для каждой координатной функции г„ на Сп преобразует г ! И, в г ! И;.
Такой изоморфизм мы будем называть каноническим. Ймеет место Прадложвниа 3. Пусть, в дополнение к условиям предложения 2, (хх) — семейство элементов, топологицески пороасдаюи(их алгебру с единицей В. Положим А=У(И). Рассмотрим коммутативную диаграмму И вЂ” » И' о! Зрл ((хл)) е Яра((хь)) Гл.!,У7 Исрмираеанные алгебры 92 где ~р, ~р' — отображения, определенные семейством (х„), ( и (' — канонические инъекции.
Тогда (1) ф и ~р' — гомеоморфизмы; (И) Брз ((х„)) является полиномиально выпуклой оболочкой Брл((хь)); ((й) ~р преобразует алгебру А в Ж(Брл((хь))), а В— в Р(Брл((хь))) (1ч) <р' преобразует Уе(В) в Р(БРз((хь)))' ) г преобразуют Уз в каноническцй изоморфизм из Р(Брл((хь))) на Р(БРв((хь))). Напомним, что ~р и ~р' непрерывны и сюръективны. В данной ситуации отображение ф' биективно 5 3, предложение 9(1)), а г ннъективно; стало быть, отображение ~р инъективно. Поэтому ~р и ~р' — гомеоморфизмы.
Полиномнально выпуклая оболочка компакта О, = Брл((хь)) совпадает с множеством 01 =3))з((хх)) в силу следствия 1 предложения 9, $3. Обозначим через гь (7. ~ Л) координатные функции на С". Ясно, что ф преобразует хь в гь ~й, и что ~р' преобразует Увхь в гь~йй следовательно, ф и ф'преобразуют В в Р(ьг,), Уз(В) в Р(Щ и Ув — в канонический изоморфизм из Р(й~) в Р(О~~). 2. Случай ьгс= Сл Пусть Л вЂ” некоторое множество, ьг — компактная часть Сл. Так как Р(0) разделяет точки компакта 2, то последний можяо отождествить с некоторой частью пространства Х(Р(ьг)). Пусть по-прежнему гь — координатные функции на С~ Пвндложвние 4. (!) Отображение Х(Р(ьг)) на Брг,а, ((г )), определенное семейством (гх), представляет собой гомеоморфизм 9 пространства Х(Р(0)) на полиномиально выпуклую оболочку ьг' компакта ьг, тождественный на О. (Я) Для каждой функции ) ~ Р(ьг) гомеоморфизм 0 преобразует продолжение Урр~( функции )' на Х(Р(0)) в про-.
должение ( функции ( на И', при этом отображение ( является каноническим изоморфизмом Р(О) на Р(ьг'). Предложение 4 сводится к предложению 3, если положить В=Р(О) и х„=гь н заметить, что тогда отображение ф превращается в тождественное. Слндствив. Если ьг связно, то его полиномиально выпуклая оболочка также связно. 3 Алгебры непрерыеных функций ни компактном прогтранетее вз Если й связно, то единственными идемпотентами в !у(й) и, стало быть, в Р(й) являются О и 1. Поэтому Х(Р(й)) связно 5 4, предложение 12) и, значит, полиномиально выпуклая оболочка компакта й связна (предложение 4 (!)). 3, Случай йс= С Пусть й — компактная часть в С, Π— неограниченная компонента связности множества С й, (О,), — семейство ограниченных компонент связности (Ог предполагаются попарно различными). Пусть, наконец, Š— некоторая часть в С й.
Обозначим через )1г(й) замыкание в пространстве Ж(й) множества сужений 1!й, где ) — рациональная функция, все полюсы которой расположены в Е. Это замыкание есть банахова подалгебра с единицей в %'(й), которая разделяет точки й. Пусть г — тождественная функция на й. Тогда наполненная замкнутая подалгебра в Ег(й), порожденная элементом г, совпадает е Ег(й). Элементы из Ег(й) голоморфны во всех внутренних точках компакта й. В частности, Ео(й) =Р(й). Положим Ес о (й) =Е(й). Обозначим через 1(Е) множество всех г ~ 1, таких, что Е П О; = Я, а через йг — множество й () ~ Ц Ог); множе'кг ее т <г! ство йг, будучи ограниченным и замкнутым (его дополнение в С открыто), компактно. Прядложяния 5.
(1) Отображение суженая йг (йг) + пг (й) является изометрическим изоморфизмом из Ег(йг) на Ег(й). (!1) Ег(йг) — наполненная подалгебра в У(йе). (1!1) Каждый характер алгебры г(г(йг) определяется некоторой точкой из йг. (Ре) Отобралсение т, т-~ т, (г) есть гомеоморфизм из Х (Ег (й)) на йг. (ч) Если Е' — некоторая часть С вЂ” й, то следующие условия эквивалентны: (а) Йг(й)=Ег (й); (Ь) йг=йг" (с) 1(Е)=1(Е'). Ясно, что отображение сужения )г из )(г(йг) в йг(й) является морфизмом. Поскольку граница множества йг содержится в й, то, как следует из принципа максимума, морфизм )г изометричен. Покажем, что он сюръективен.
Пусть девая(й). Тогда существует последовательность 1 рациональных функций, все полюсы которых расположены в Е, равномерно сходящаяся к функции у на й. Функции )„голоморфны в йя, н граница множества йя содержится в й; Норнироеанные алгебры Гк Е э" 7 94 следовательно, в силу принципа максимума, последовательность („ равномерно сходится иа Ив к некоторой функции 1 из Йе(Ре) и й=~! й. Таким образом, (1) доказано. Пусть гг — тождественное отображение множества й .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
