Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Показать, что тогда Д вЂ” идеал, плотный в А и не содержащийся ни в одном максимальном идеале. (Заметить, что Аз = А, н применить упражнение 1.) 3) Пусть Л вЂ” некоторое множество, р ьз (1, ео( и А !Р(Л) — мно. жество всех х = Ях)ь е, $ь еп С, для которых [[к 1[р (~ч[з [$х [ <+со. рз мр х Показать, что А — банахова алгебра относительно сложения и обычного умножения. (Если [[(зх) [[р~ ! и [[(з!ь)![р~~ 1 то Х[й„ц,['-(Х[Ь,['*)" (Х[ць[") '.

Гдс ![л -1- ![р 1, ОтКуда СЛЕдуЕт, Чта [[(фхц )[[ (~ 1.) ПОКаэатЬ, ДаЛЕЕ, что Аз Ф А А' плотно в А и множество ненулевых характеров алгебры А естественным образом отождествляется с множеством Л, снабженным дискретной топологией. (Воспользоваться тем, что двойственным пространством к !Р(Л) является !е(Л). Преобразование Гельфанда оказывается тогда тождественным отображением, а его образ в пространстве функций, стремящихся к 0 на бесконечности в Л, — плотным и не замкнутым.) 4) Пусть А — банахово пространство комплексных функций, интегрируемых на (О, 1) по мере Лебега.

Доказать, что еслк положить ([ ° я) (ы) ) [ (ы — Ь) й К) аЬ о для ыш(0, 1), то функция [ я определена почти всюду н является элементом алгебры А. (Продолжить [ и д пулем на 1! (О, 1) и применить Интегр., гл. Ч!!1, в 4, п'5, предл. 12.) Показать, что А оказывается ком. мутатпвиой бана ханой алгеброй. Пусть к еп А — постоянная функция, равная 1. Тогда функция х" имеет вид и-! ( -!) Показать, что алгебра А порождается элементом х, что к — квазинильпотентный элемент и что алгебра А совпадает со свопм радпкалом. Пусть е„ (н = 1, 2, ...) — элементы нз А, определенные равенствами ен(!) = н для 0~(Г. 1/н, ен(!) 0 для г>1!н. Воспользоваться этой системой элементов для проверки того, что алгебра А обладает свойством, указанным в упр. 22 к э 2, в частности, что Аз = А, Применяя упражнение 1, показать, что алгебра А не содержит ни одного максимального идеала (регулярного илн нет, замкнутого нли нет.) 5) Пусть (а„ пь ...) — последовательность положительных чисел, таких, что и = 1, и +„ < а пел 1пп пз " — — О.

Пусть А — множество фор!!а йь+ мальных рядов х ~~э' Мз ш С [[Д), таких, что [[ х [[ = ~ $з ! пь <+со. ь=о ь=о Показать, что А — коммутативная банахова алгебра с единицей, порожденная элементом ь, причем единственным максимальным идеалом в А является множество всех элементов х еп А с нулевым постоянным членом в разложении по степеням й (Заметитгн что элемент Ь квазияильпотентен.) 6) Показать, что в алгебре С (Х) рациональных функций над С множество [0) является максимальным идеалом, но не коразмерносги 1.

Улражнени» 7) Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей и» гн Х (А). Для каждого элемента х сн А положнм 1! «!1» ! х(к) 1+ 11 к — Х (к) 11 По казать, что х ь-ь !!к!!» является нормой, что 11 ку !!» «(!!к(1»119!1», !!с 11» 1 и 1(к!!(!!к(1»~31!к!1, если 11е(1= 1. 8) Пусть А — коммутзтивиая банахова алгебра с единицей, такая, что 11 !11 1. Пусть М вЂ” множество всех норм в А, эквивалентных исходной, по отношению к которым А еще остается бана»азой алгеброй, а ! имеет норму 1. а) Пусть элемент хам А таков, что р(хо)< 1.

Для каждого хем А положим 1! х 11' = (п1 ч", !!аз 11 л где нижняя грань берется по всем представлениям к в виде аз+а,хо+... ... + а„ко'(ао, аи ..., а„щ А), Показать, что норма х г-~11 х(1' является элементом М. (Так как р(хо)<1, то !!к")(~й при всех л, откуда !! х !! ~ (й 11 х 1!'.) Показать, что 1! хо,'!' ~ 1, Ь) Вывестн из а), что для каждого элемента к гв А имеет место равенство р(к)= (п1 л(к). с) Показать, что если единственнмм элементом в ЛГ 'является исходная норма в А, то А = С ° 1.

(Применить Ь) и упр. У.) 9) Пусть А — коммутатнвная бзиахоаа алгебра, 0 — непрерывное ли. нейное отображение А в А, такое, что 0(аЬ) (Ра)О+а(РО) для всех а, бгмА. а) Показать, что для каждого характера» щ Х'(А) и каждого Х гн С рид ф (а) ~~~~~ (Хн/л 1)» (Рна) сходится; л ь-ы фь (а) — целая н~о функция и отображение аь-ы ф (а) ивляется характером алгебры А. Ь) Показать, что число ф (а) ие зависит от Х.

(Заметить, что 1ф,(а)1(!! а(1 в силу а).) Следовательно, »(Ра) =О. с) Показать, что 0 переводит алгебру А в ее радикал. Вывести от. сюда новое доказательство упр. 25 1) к $2. 10) Пусть 0 — алгебра всех бесконечно диффереицируемых функций 1: (О, !)-+С. а) Пусть А — некоторая подалгебра в Р, снабженная нормой, относительно которой А является банаховой алгеброй.

Показать, что существует последовательность (т„ ть тк, ...) неотрицательных чисел, таких, что для каждого к ~нА з"р 1«щ1(г)1 0(тз). о(г<~ (Пусть 0„— банзховв алгебра функций, л раз непрерывно дифферен. цируемых иа (О, !). В силу предложения 6, каноническая ияъекция А -ь Р„непрерывна; пусть ̄— ее норма; если х гм А, то (11л!) знр 1кгл>(1)!(ь( 1(к(1) о<г<г Ь) Показать, что не существует никакой нормы иа О, относительно которой 0 становится баиаховой алгеброй.

(Для каждой последовательности неотРицательных чисел (то, т„...) сУществУет фУнкцнЯ (ен О, такая, что 11л1(0) = лт„при всех л ыО. Применить а).) Норлировонные алгебра 163 !1) а) Пусть А — банахова алгебра, Х вЂ” некоторый морфизм из А в С. показать, что ! у (х) ! м,(х( для всех хсиА, (Доказательство то же, что и для теоремы 1.) Ь) Доказать справедливость предложения 6 без предположения о коммутативности банаховой алгебры А. 12) Пусть А — банахова алгебра с единицей (х„) — некоторая последовательность обратимых элементов из А, сходящаяся к элементу хщ А.

Показать, что если последовательность (р(х„ ')) ограничена и если хнх = ххи прн всех п, то элемент х обратим. (В силу следствия предло. жеиия 5 имеет место неравенство р(1 — х„х) (р(х„) р(х„— х); сле. довательио, элемент к х обратим при достаточно больших п,) $13) Пусть А — бавахова алгебра Р (Ы) (упр. 3).

Пусть Ао — под. алгебра, образованная теми последовательностями, в которых только ко. печное число членов отлично от нуля. Пусть  — прямая сумма Ае н С с умножением (/, а)(п,()) (/й, О) для всех /, йщАз, а, рщС и пармой (1 (/, и) (! зпр ((! / И ~ и — ~я~~~ / (о) () п Показатгч что тогда В является коммутативной банаховой алгеброй, радикал которой И совпадает с С ° (О, 1), а факторалгебра В/И изометрически изоморфна А. Пусть п: В-ьВ/И вЂ” канонический морфием. Показать, что не существует никакой подалгебры В, в В с дополнением И, для которой отображение я(ВБ В, -+В/И=А является гомеомарфиз. мом.

(Пусть В, — такая подалгебра. Пусть элемент иь сп А таков, что иа(й) 1, иа(4') О для 4'чь 4 Пусть, далее, вам В, и и(ва) иа. О показать, что ва щ Аь что ряд ~ иа/4 сходится а А, но ряд ~ч'~~ ва/й 4 ! 4 ! не сходится в В,) 14) Пусть Я вЂ” компактное множество в Сз, определенное неравенством — < ! х~!'+! хз !'< 1, ! о и пусть А — подалгебра в Ж(Я), состоящая иа функций, голоморфных в Я. Пусть У-открытое множество, опоеделеиное неравенством ! х, (з+! г,," (1.

На основании теоремы Хартогса ) для каждой функции /щ А существует и притом единственная функция ! щ чГ(У), голоморфная в У и совпа- дающая с функцией / на Я. Показать, что каноническая инъекция из А в йг(Я) есть изометрический морфизм Ь, а его образ является наполнен- ной нодалгеброй в !У(Я), ио отображение Х(4) не сюръектиано. 15) Пусть А и  — коммутативные баиаховы алгебры с единицей, ф — морфием алгебр с единицей из А в В, (хх) — семейство влемснтов из А, такое, что замкнутая наполненная подалгебра в А, порожденная этим семейством, совпадает с А.

Показать, что для того, чтобы Х(ф) был сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы Брл ((х )) = зрп ((ф (хх))). (Применить диаграмму (1), п'5, где правая стрелка соответствует биек- тивному отображению в силу предложения 9.) 16) Пусть А — коммутативная банахова алгебра,  — банахова алгебра непрерывных функций, стремящихся к пулю иа бесконечности в простран- ') См., например, книгу: Б ох пер С., Ма р тип У. Т., Функции многих комплексных оеремеииых, М., 1951 (переменная и предполагается там вещественной, но можно ее считать и комплексной). Рараягненая !09 стае Х(А).

Показать, что следующие услония эквиналентны: (1) А — алгебра без радикала и У(А) замкнуто в В; (В) У является гомеоморфизмом А на У (А); (!1!) существует постоянная а> О, такая, что [х [' < <а[х'[ дли всех х щ А. 1Т) Пусть А — коммутативная банахова алгебра, з — замкнутый идеал в А, Л вЂ” каноническая инъекция из Д в А. Показать, что пространство Х'Я) отождествляется с факторпространством Х'(А) по отношению эквивалентности, определяемому отображением Х'(Л), (Применить упражнение 4а) к 9 1.) 18) Пусть А — коммутативная баиахова алгебра с единицей, х — некоторый элемент из А. Предположим, что наполненная замкнутая подалгебра в А, порожденная элементом х, совпадает с А.

Характеристики

Список файлов книги