Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Показать, что (минимальный) носитель р антисимметрнчен. х с) Пусть (щйг(В). Показать, что если ! 1КщА (К для любого Кеий, то (щ А. (Применить Ь) н теорему Крейна — Мильмана,) Найти на этом пути доказательство теоремы Стоуна — Вейерштрасса. д) Часть Е в В называется пиком (относительно А), если существует функция (щ Л, такая, что 1)!! =! и Š— множество всех тех точек вевВ, для которых ((е) 1. Тогда можно считать, что !((к) !<1 для кчлЕ (замеияя ! на (1+ 1)/2)..Показать, что любое счетное непустое пересечение пиков есть пик, и если Е, и Е, — пики, то Е,()Е, есть пик. (Пусть )о )зси А и )г=! на Е, )1 1<1 на В Е; пУсть Я вЂ” (! — )г) 'гмА! Оа тогда ! — Я,йг 1 на Е,()Ез, )! — Я,яз)<1 на В (Е,()Е,).) е) Пусть Š— пересечение пиков. Пусть ~ — множество всех функций )гмА, равных нулю на Е. Показать, что тогда отображение !'ь-ь()Е определяет изометрию из А!о на А! Е.
1) Пусть Š— некоторый ник. Пусть Е'~ Š— некоторый пик относительно А(Е. Показать, что тогда Е' — пнк относительно А. я) Показать, что каждая часть Кщ Я является пересечением цикоя, (Применить д) и 1).) Упражнения 121 й) Показать, что если Кем л, то А! К замкнуто в 2Г(К). (Приме- вить е) и 2).) П Пусть К вЂ” множество вещественных частей элементов из А. Предположим, что й)щ д и что К инваРиантно относительно умножения. Показать, что !! сводится тогда к точке.
(Пусть х,еи !з. Для элемента и Щ )! существУет и пРитом еДинственная функция 1Щ А, такая, что и = Я! и !(хз) ы )!! положим йг(а) = !1!й. Тогда К вЂ” вещественное банахово пространство относительна йн! теорема о замкнутом графике показывает, что умножение в К раздельно непрерывно и, стало быть, непрерывно. Множество а = )! + !К можно наделить структурой бапаховой алгебры.
Пусть р щ К н р (м) ) О для всех и еи П. Показать, что для каждого характера )1 а 5 имеет место неравенство Яу, (р) > О, и вывести отсюда, что 1оп рем К. Предполагая, что (! ~ (хе), можно построить фуннцию ! ~б А, такую, что О<Я!~! на 11, !(хз)еи)с и норма 1!/!1 сколь угодно велика. Согласно сказанному выше, существует функция Изид, такая, что (Р !'=Я). Имеет место неравенство !1)г!! (1, следовательно, У(Яг') (2, но порка й ((я) )')~ —,,'(!!у'+)!! — ~зъ (.,)!) сколь угодно велика.) !) Похавать, что если !г инвариантно относительно умножения, то А=У(1!).
(Применить а), с), и), 1).) Следовательно, если А на %'(()), то существует элемент и щ Р, такой, что и' ~ К. ГЛАВА Н КОММУТАТИВНЫЕ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЬ!Е ГРУППЫ Вс»оду в атой главе через о обозначается коммутативная локально Компактная группа, снабженная мерой Хаара; последняя будет обозначаться, если не оговорено противное, через гх. Пространства ьд(о,пх) будут обозначаться ьд(о). 5 1. Преобразование Фурье 1. Унитарные характеры коммутативной локально компактной группы Оппвднлвнив 1.
Унитарным характером группы 0 называется непрерывное представление 0 в мультипликативной группе 1) комплексных чисел, равных по модулю 1. Другнмн словами, унитарный характер — это непрерывная комплексная функция Х на О, такая, что к(ху)=х(х)х(у), ! Х(х)1=1 (х, у~ О). Заметим, что каждое ограниченное непрерывное представление группы 0 в С' является на самом деле унитарным характером.
Ясно, что произведение двух унитарных характеров, обратный к унитарному характеру, а также функция, тождественно равная 1, суть унитарные характеры. Следовательно, мночсество 0 всех унитарных характеров группы 0 образует группу относительно умножения, причем эта группа коммутативна. С другой стороны, отображение (у, у')» — тут,' '= Х)(' непрерывно в топологии компактной сходимости, и группа О, снабженная топологией компактной сходимости, становится топологической группой. Опрндялвнив 2. Топологичгская группа 0 называется двойственной к группе О.
Преобразование Фурье !23 Так как группа 0 локально компактна, то отображение (х, у)«х(х) непрерывно на произведении 6 к,'6 (Оби(. топ., гл. Х, 2-е изд., $ 2, теор. 2), Пусть Н вЂ” гильбертово пространство размерности ! и !! — некоторый унитарный характер группы 6. Отображение, которое каждому х ~ 6 ставит в соответствие гомотетию в Н с коэффициентом К(х), является изометрическим непрерывным линейным представлением группы 6 в Н.
Обратно, каждое изометрическое непрерывное линейное представление группы 6 в Н получается таким способом. Положим тогда для р~ ек (6) т, (р) = ) т, (х) др (х). в Из предложения 11, Интегр., гл. ЧП1, $ 3, следует, что отображение р«-«Х(!ь) является ненулевым характером инволютивной банаховой алгебры М'(6). Таким образом определяется отображение, называемое каноническим, группы 6 в Х(я'(6)). Кроме того, имеет место равенство х(р')= ~Х(х ')др(х) ~Х(к)др(х),' Х(и) о в н характер р«-«)((р) является зрмитовым.
Сужение этого характера на инволютивную банахову подалгебру 1.1(6) дает эрмитов характер Цх алгебры (.'(6); для каждой функции 1еп 1,'(6) имеет место равенство (2) ~ В= ~)( ))(( ) д Заметим, что ~а Ф О: если функция (еп.п (6) стремится к мере Дирака а, в пространстве У'(6), снабженном слабой топологией (Интегр., гл. ЧП1, 5 2, следствие ! леммы 4), то Ц (!) стремится к х(е,) 1 Ф О. Пувдложвниа 1.
Отображение 1: т,«-«ьх есть гомеоморфизм группы 6 на Х(1.У(6)). В самом деле, так как 0 — ограниченная часть в 1. (6), то инъекция 6 в пространство 1,", снабженное слабой топологией а(1,", У), непрерывна. Стало быть, отображение ! непрерывно. Если тяп 6 и ! еп У(0), то равенство ьх(ае О=Х(х)ь„(Р) показывает (при выборе такой функции )', что ьх(!) т- О), что ! — инвективное отображение. !24 Коммутатвлные локально комооктвие грулоьь Гл. 6,4! Пусть ь ы Х(1,'(6)) и функция ) ~ Ь' (6) такова, что И)~9.
Д х 6 (3) х(х) =ь(е.*Ьй Я. Так как отображение хь — ~е„*( группы 6 в Ь'(6) непрерывно (Интегр., гл, 'ЧП1, 5 2, предл. 8), то функция у. непрерывна. В то же время из неравенства ! Х (Х) ! Ю 3 ь1 !И 1 (О ! = !! 1 !!Л 1 (1) ! следует, что она ограничена. Пусть теперь л) — база фильтра окрестностей элемента е, состоящая из компактных окрестностей, Для каждой окрестности г' ~ хь пусть дч — какая-нибудь положительная непрерывная функция, равная нулю вне У, с интегралом, равным 1.
Известно (Интегр., гл. ЧШ, $ 4, предл. 19), что е„*) = 1пп е„*де*~ (предел в пространстве л,'(6) берется по фильтру). Так как ь (а„*уг*~) =~(а„*дг)ь(1), то К(х) = Вьп ~(е„миг) и для каждой функция Ь ~ ь' (6) г(в„Ь) =11п г(е„*игьЬ) =(11щт(е„миг))Г(Ь)=Х(х)Г(Ь). Следовательно, для любых х, у ~ 6 имеет место равенство т (ху) = ь (е„*ееь))/ь (7) = х (х) ь (ее*7)1ь ()) = 11 (х) х (у), и т оказывается унитарным характером группы 6.
Кроме того, если у ы ль(6), то д*~= — ) (е„*))у(х)с(х аль(6)(Интегр., гл. 7111, 5 1, предл. 7), откуда ь (у) ь (1) ь (дь)) = ! ь (з„л)) у (х) с(х = = ь (1) 1 х (х) й (х) ах = Ц (у) 1 (1) и, стало быть, Ь=Ьх. Таким образом, отображение 1 сюръентивно и, следовательно, биективно. Наконец, множество йг всех элементов ~' ~ Х (Ь'(6) ), таких, что ь'(1) ~ О, есть открытая окрестность точки ~ в Х(Ь'(6)). Если Ь'еи (р', то в силу сказанного ранее 1 ' (Ь') (х) = 1' (в„ь ОД' (1 ). Пусть К вЂ” компактная часть группы 6. Множество всех функций вида е„*) для хенК является тогда компактом в Ь'(6). Так как Х(л.'(6)) ограничено и, стало быть, равно- Преобразование Фурье !2о степенно непрерывно в Т.
(6), то ь'(е,ь1) сходится равномерно на К к ~(е„ь)), когда ь' стремится к ~ по )г" (Оби(. топ., гл. Х, 2-е изд., 5 2, теор. 1). Отсюда немедленно следует, что отображение 1 ' непрерывно, чем и завершается доказательство. Теперь мы будем отождествлять каждый унитарный характер т, группы 6 с характером 7» ) ~(х)х(х)йх алгебры Т.! (6). 3 а меч ани я.
1) Мы убедились в том,чтоотображение1 биективно. На самом деле (это будет показано в другом выпуске) имеет место более общее утверждение о соответствии между непрерывными представлениями локально компактной группы Н и непрерывными представлениями алгебры 7.» (Н). 2) Каноническое отображение группы 6 в Х(лТ» (О) ), вообще говоря, не является сюръективным $2, упр. 14). Слидствии 1. Каждый характер алгебры Т.з(6) эрмитов. Каноническое отображение пространства Х(31(6)) (гл. 1, $6, пь7) в Х(Т.! (О)) является гомеоморфизмом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
