Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 28
Текст из файла (страница 28)
7. Фуннториальные свойства двойственности Пусть О„Н вЂ” локально компактные коммутативные группы и йи 6-«Н — морфизм топологических групп. Если хан Й, то хв»р является характером группы О, который обозначается через ф(й). Это обозначение соответствует формуле справедливой для любых Х ~ Н и у ~ О. Отсюда видно, что ф представляет собой мопфнзм топологической группы Н в топологическую группу 6; морфнзм ф называют дзойственньсм к морфизму»р. Если»р'. Н вЂ” «К — морфизм топологнческих групп, то, как следует нз приведенной выше формулы, (»р'е»р) =фа ф'. Если ч» — тождественное отображение группы 6, то ф — тождественное отображение группы 6. Эта формула показывает также, что»р = ф (достаточно канонически отождествить 0 с О, Н с Й).
~зз Коммутатавныг локально компактные группа Гл П, э" I Творима 4. Пусть 6' — замкнутая нодгрупла в 6, 6"— факторгру пяа 6/О', 1 — каноническая инъекция 6' в 6, р — каноническая сюраекция 6 на 6": От ! 6 и От О Р Отт тогда отображение ф является изоморфизмом 6" на 6', а отображение г' — точным морфизмом 6 на 6' с ядром 6™.
1) Ясно, что б(бп) есть множество унитарных характеров группы б, равных нулю на 6', т. е. множество 6' . ЕСЛИ ЭЛЕМЕНТ Емок О" таКОВ, Чта р(Хм)=Е, тО дЛя ВСЕХ хан 6 имеет место равенство 1=(х, 11(хм))=(р(х), Х"), из которого следует, что хп = е. Поэтому отображение р инъективно. С другой стороны, пусть 6 — некоторая окрестность элемента е в 6", Существуют компактная часть К" в 6" и число е> О, такие, что (х™ ен 6" и 1(х", хм) — 11<а для всех хм онКм) хо ен (/. В силу Оби). топ., гл, 1, 4-е изд., 5 10, п' 4, предл. 10, существует компактная часть К в б, такая, что р(К) =К".
Тогда (х™~6м и 1(/)(хп), х) — 11о-е для всех хенК) )ьхмен(/. Иначе говоря, существует окрестность У элемента е в 6, такая, что (Ем я 6" И ф (Ха) ~ У) =)у Хм я (/. Таким образом, /) является изоморфизмом 6" на 6'". 2) Ясно, что ядро отображения 1 совпадает с 6™. Пусть 1 А — двойственная группа к группе О/1 (е), так что 1 6/1 (е)=/.. Существует морфизм ьр: Л-+ 6 топологнческих групп, такой, что $ — каноническая сюръекция из 6 на 7.: 6' —" /.— ьм 6, От "à — "'6 С другой стороны, отображение г может быть представлено в виде йота, где тр О'-+/. — некоторый морфизм топологических групп.
Так как ту ь т1 =г', то ту(Ь) =э б'. Из равенства (Ф Р)(бм) =(е) Преобразование Фурье 139 следует, что (р ° ф)(А)=(е) и, значит, ф(Е.) с: 6'. Таким образом, ф(~)=6'. Согласно первой части доказательства, ф — изоморфизм 1. на 6'. Стало быть, з1 — изоморфизм 6' иа 1„т1 — изоморфизм 1, на 6', а 1 — точный морфизм 6 ех на 6' с ядром 6' Следствие 1. Пусть 6' — некоторая подгруппа в 6.
Тогда (Оех)х Ое Предположим сначала, что подгруппа 6' замкнута, и используем обозначения теоремы 4. Тогда е есть точный морфием 6 иа 6' с ядром 6' и, стало быть, 1 — изоморфизм 6' на (6' ), Если отождествить 6' с 6', 6 с 6 и ю' с е, то морфизм 1 окажется изоморфизмом 6' на (О'~)~, откуда 6'=(6'~) . В общем случае имеем 'О' с (6' ) =(О'~) = Ое, Слвдствив 2.
Пусть (Н,) — семейство замкнутых подгрупп в 6. Тогда аннулятор замкнутой подгруппы, порожденной подгруппами Н„совпадает с 11Н;, Аннулятор пересечения ДНе является замкнутой подгруппой, порожденной подгрупе нами Н~ . Первое утверждение очевидно. Второе получается (с учетом следствия 1) заменой О на 6, Слвдствии 3. Пусть ф: 6 — Н вЂ” морфизм топологических групп. Для того чтобы ф был. точным сюръективным морфизмом, необходимо и достаточно, чтобы ф был точным инъективным морфизмом. Если ф — сюръективный точный морфизм, то ф — инъективный точный морфием (теорема 4). Если же ф — инъективный точный морфизм, то ф является изоморфизмом О на некоторую локально компактную и, стало быть, замкнутую подгруппу в Н; следовательно, ф — сюръективный точный.
морфизм (теорема 4). Слидствив 4. Пусть ф: 0-ьН вЂ” морфием топологических групп. Для того чтобы ф был точным морфизмом, необходимо и достаточно, чтобье ф был точным морфизмом. Это немедленно вытекает из следствия 3 и канонического разложения точного морфизма. Следствии б. Пусть О„..., 0„— локально компактные коммУтативные гРУппы и Хе — каноническал инъеке(ил Ое 140 Коммутатавныг локально компактные группы Гл СС, э" С в группу 6 Ц 6с. Тогда отображение (Хс)с<,. „иэ 6 !~с~» в Ц 6'с является изоморфиэмом. !~с:с» Для п=2 это следует из теоремы 4. Чтобы доказать общее утверждение, достаточно провести индукцию по и. Следствия 8. Пусть ф: 6-+ Н вЂ” морфиэм топологических групп. Тогда подгруппа 1гпф в Н и подгруппа Кегф в Й взаимно 'ортогональны.
В частности, для того чтобы морфизм ф бьсл инъективньсм, необходимо и достаточно, чтобы 1гп ср был плотным в Н. Пусть у я Й. Для того чтобы у ~ Кег ф, необходимо и достаточно, чтобы (ф(у), х) =! для всех х я 6, т. е. чтобы (1), ср(х))=1 для всех к~6, иначе говоря, чтобы фя(1гп ф)~'= — (1гпф) . Поэтому Кегф=(1гпф), а в силу следствия 1, х 1тф=(Кегф) . Слядствия 7. Пусть й ~ Х. Пусть 6см и 6с»> — образ и ядро морфиэма х»-«х» из 6 в 6. Тогда 6с»с и замыкание подгруппы 6с»с взаимно ортогональны. Действительно, морфизмы х» — «х из 6 в 6 и х» — «х~ из 6 в 6 двойственны друг другу.
Коммутативную группу С называют делимой '), если для каждого элемента х ~ С и каждого числа й ~ Х существует элемент у ~ С, такой, что у» = х. Слядствия 8. (1) Если группа 6 делима, то 6 — группа без кручения (т. е. не имеет элементов конечного порядка). (И) Если 6 — группа без кручения и й ~ Е, то множество элементов х» (где х пробегает 6) плотно в 6.
(И1) Пусть 6 дискретна или компактна. Для того чтобы 6 была делимой, необходимо и достаточно, чтобы 6 не имела кручения. Утверждения (1) и (И) вытекают из следствия 7. Если группа 6 дискретна или компактна, то образ морфизма х«-«х» из 6 в 6 замкнут и (Ш) вытекает из (1) и (И). 8. Формула Пуассона Пвядложяння 8.
Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6, а — мера Хаара на Н, (1 — мера Хаара на 6 и у=рса — соот') употребляется также термин полная. — Прим. рад, Преобразование Фурье 141 (27) ветствующая мера Хаара на 6/Н. Отождествим (6/Н)~ с Нл и обозначим через у меру Хаара на Нл, ассоциированную с у. Пусть /ен Е'(6). Предположим, что сужение на Н" непрерывной функции У / интегрируемо (по мере у). Тогда для почти всех х~6 функция й»-»/(хй) на Н является а-интегрируемой и справедливо равенство )' /(хй)да(й)= ~(й, х)(У/)(я)ду(й). н нх Известно (Ннтегр., гл.
ЧИ, 5 2, предл. 5), что для почти всех х~ 6 функция Ь»-»/(хй) является а-интегрируемой на Н и что функция х»Р(х)=) /(хй)аа(Ь), определенная почти всюду на 6/Н, у-интегрируема (через х обозначается канонический образ элемента х в 6/Н). Преобразование Фурье функции Р, рассматриваемое как функция на Нх, задается равенством (26) (У Р)(й)= ~ (й, х)ду(х) ) /(хй)йа(й) = о1в и = ) (К х) / (х) ар (х) = (У /) (й). о В силу нашего предположения относительно функции получаем, следовательно, УР ~ Е' ((6/Н) ). Стало быть, функция Р почти всюду совпадает с функцией У (У Р) (теорема 3), т.
е. почти всюду на 6/Н имеет место равенство Р(х) = ) (й, х) (У Р) (й) ду (й). нл Принимая во внимание (26), получаем наше утверждение. Слндствив. Сохраним обозначения Н, а, р, у, у предложения 8. Пусть /ен Е'(6). Предположим, что 1) сужение функции У7 на Нх интегрируемо; 2) для всех х~ 6 функция й»/(хй) на Н интегрируема; 3) ) /(хй)да(Ь) — непрерывная функция от х. в Тогда имеет место равенство (формула Пуассона) ~/(й)й (й)= ~ (У/)(й)ду(й).
в нх Действительно, используя введенные выше обозначения, мы видим, что функции Р и У (У Р) совпадают почти всюду 142 Комл»утотивкь»е локовьно компактные еруппы Гл тй э' 1 и непрерывны; стало быть, они совпадают всюду и, в часа ности, в точке е, откуда и получается (27). Замечание. Мы увидим в дальнейшем, когда распространим преобразование Фурье на распределения, что формула (27) выражает то обстоятельство, что преобразование Фурье меры Хаара а в Н совпадает с мерой Хаара у в Нх. Предложении 9. Сохраним обозначения а, 8, у, Н предложения 8. Иусть а, р и у — асса»4иированные меры Хаара на Й = 6/Н'-, 6 и (6/Н) = Н'-. Тогда а = 8/у. Пусть /спи(6).
Для хан 6 и уя 6 положим ф (х, у) =. ~ /(хЬ) (у, /) да (Ь). Следующие факты очевидны: а) функция ф (х, у) при фиксированном х зависит только от класса у элемента у в 6/Н~; )т) функция (у, х) ф(х, у) при фиксированном у зависит только от класса х элемента х в 6/Н; с) функция ф непрерывна на 6 )», 6.
Функция у» — «ф(х, у) есть копреобразование Фурье функ- ции Ь «/(хЬ) на Н, следовательно, (28) ~ ! ф(х, у) ~'ела(у) = ~ 1/(хЬ)~'да(Ь). с»ил- и Копреобразованием Фурье непрерывной функции х»-ь »-«(у, х)ф(х, у) с компактным носителем на 6/Н является следующая функция на Нх: Ь» — » ~ (Ь, х)(у, х)ф(х, у)ду(х)= с»н = 1 ду(х) 1(уЬ, хЬ)/(хЬ)д,(Ь)= а»н и ~ дт(х) ~ (уй, х)/(х)да(Ь) = а»н и = )' (уй, х)/(х) а»8(х) =У/(уй), а Следовательно, (29) ~ ) ф (х, у) )'т(у (х) = ~ ~ Я /(уЬ) ~т д- (Ь).
с(н нк Ореосррюеанне еьцрье Из (28) и (29) выводим цепочку равенств ~ ~ (У 1) (у) Я йй (у) = ~ ~ 1(х) Р ла (х) =— о с ~ йу(х) ~ ~((хй) гда(Ь) = о/и О ) ь(у (х) ) ! Р (х, у) |т с(а (у) = оьн о~вх — с(й (у) ) ~~р(х, у)~ с(у (х)— е,на оьн ) йа(у) ) ((Я)(уй) гЯ(й). ешь не Выбирая 1Ф О, получаем отсюда, что а =ргу. Р. Примеры двойственности Првдложвнив !О. Если группа О конечна, то 6 изоморфна (вооби(е говоря, не канонически) группе 6. Пусть хе= 6, хан О и п=Сагд О. Имеем (2, х)"=1, Характер группы 6 является в таком случае гомоморфизмом О в группу корней из 1 в С. Наше утверждение следует тогда из Ллг., гл. 1ь'П, 2-е изд., 5 4, и'8, предл.
8 и пример. Првдложвнив 11. Для того чтобы группа 6 была ком пактной, необходимо и достаточно, чтобьь группа 6 была дискретной. Нормированные меры Хаара (Интегр., гл. Ч11, $1, и'3) на 6 и 6 являются тогда ассоциированными, Предположим, что группа 6 компактна. Тогда существует окрестность )т элемента е в 6, обладающая следующими свойствами: если те= И, то ~ Х(х) — 1(~(1 для любого элемента х ~ 6, следовательно, )т,(х)" — 1 ~(1 для любого хан 6 и любого и ен Х; стало быть, т(х) = 1 для любого х е= О н, значит, !т =(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
