Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Остается заметить, что У (у',у') =(У д',) м (У у') (з 1, предложение 7) н (УХ) э (У у ) ен Х (6) . Првдложвнив !. Пусть 3 — замкнутый идеал в !.'(О) и 1~!.'(6). Тогда если У7 обращается в нуль в некоторой окрестности й(3) (см. выше замечание 2), то ! ~3. Пусть е>0. Существует функция реп Г,'(6), такая, что а! — ~*д1~,<е (Интегр., гл. ЧП1, з 4, предл.
20). В силу леммы 1, можно считать, что У у имеет компактный носитель. Тогда У (!му)=(У7)(У у) имеет компактный носитель, не пересекающийся с й(3), стало быть, 1мдеи3 (замечание 2). Так как г можно выбрать сколь угодно малым, то 7гн 3=3 Творгмл 1, Пусть 3 — замкнутый идеал в !.'(6), отличный от !.'(6), Тогда существует точка т, гн 6, такая, что (У7) (Х) = 0 для всех )ы3. В силу леммы 1 и следствия 1 предложения 4 гл.
1, з 5, 3 содержится в некотором регулярном максимальном идеале алгебры !.ы(0), т. е. в ядре некоторого характера этой алгебры. !54 Комл~утатавнь~е локаллно комнактные групаы Гл. П, у 3 Следствие 1. Пусть !'~ Е'(6). Тогда если !У7 нигде не обращается в нуль, то функции вида ! * е„где х пробегает 6, образуют тотальное множество в Е'(6).
Пусть )т — замкнутое векторное подпространство в Е'(6) порожденное функциями вида ! в е„. В силу Интегр., гл. УШ, $4, след. предл. 20, подпространство )т является замкнутым идеалом в Е'(6). Из теоремы 1 тогда следует, что )т = Е'(6). Пусть д — комплексная функция на О, Ф вЂ” фильтр на 6. Назовем функцию д слабо осциллирующей по Ф, если для любого е)0 существуют множество Мен Ф и окрестность )т элемента г в 6, такие, что (х ен М и у е 1') )т ! у (ху) — д (х) ! < е. Следствии 2. Пусть Ф вЂ” фильтр на 6, инвариантный от- носительно сдвигов. Пусть, далее, функция )'' еи Е'(6) такова, что У7 нигде не обращается в нуль и )' !(х)дх=1.
Пусть, наконец, д ы Е (6). Предположим, что ) ад имеет конечный предел а по Ф. Тогда (!) Для каждой функции !" ~ Е' (6), такой, что ~ ~' (х) г(х = 1, Г в д стремится к а по Ф, о (В) Если дополнительно предположить, что д — слабо осциллирующая функция по Ф, то д стремится к а ио Ф. Заменяя д функцией д — а, можно свести утверждение к случаю а=О. Пусть 3 — множество всех функций !'~ Е'(6), таких, что !'од стремится к 0 яо Ф.
Ясно, что 3 — векторное подпро- странство в Е1(6), инвариантное относительно сдвигов. Не- равенство !! Ь в Ь'!! (!1Ь!1,!1Ь'!!„для Ь еи Е'(6), Ь' ен Е" (6) показывает, что 3 — замкнутое подпространство. Стало быть, 3 — замкнутый идеал в Е'(6). Так как по предположению )'ея3, то, в силу теоремы 1, 3=Ет(6). Тем самым (!) до- казано. 11ерейдем к доказательству утверждения (В). Пусть е>0. Тогда существуют М еиФ и компактная окрестность )т эле- мента г, такие, что (х еи М и у еи)т) ф! д(у 'х) — д(х) )<е. Пусть Ь вЂ” характеристическая функция окрестности )т н 1т — мера )т. В силу (1), Ь *д стремится к 0 по Ф. Справед- ливо равенство — (Ь в к) (г) = — ~ д (х г)дх = к (г) + — ~ (в (х а) й'(г)) г(х.
У ( Гармонический синтез в лространгтвах (.1(6), (0(6), (."(О) !55 Если ген М н хан )т, то ! д(х 'г) — д(г)(<е. Стало быть, г ея М =)» ! — (Ь * д) (г) — д (г) ( е. Следовательно, 1пп зцре ! д ! ( е. Ввиду произвольности е получаем утверждение (Й). П р и м е р. Пусть ~ алга — степенной ряд с комплексными л>0 коэффициентами и А — постоянная, такая, что п)ал! < А для всех и.
Для г ея С и )г !<1 пусть ! (г) = ~~.", алг". Допустим, л>0 что )(х) стремится к некоторому конечному числу 1, когда х стремится к 1, принимая вешественные значения, меньшие 1. Тогда ряд ~ ал сходится и вео сумма равна 1. л>0 При переходе к группе й+ мы сможем интерпретировать функцию $»-»1(е 0), где $ ен К+, как некоторую свертку.
Для г. ~ К+ положим д(Х)= ~ ал. О~л<Х Если О<А()»', то, обозначая через ()] целую часть К, имеем (1) (д()»') — сг().) ! = ~~)~~ ал « !л(л<м Х 1з+!<л<~' Г й! ~< ! ар..» н ! + -"1 ) = ! а! „)+ А!оп — „. х' Эта формула показывает, что д(Х) — слабо осциллируюшая функция, когда Х вЂ” »+ оо. С другой стороны, аа(! — г) + (аа + а,)(г — г') + (а, + а, + а,)(г' — «') + ... + + (аа + а! + ... + ал)(г" — гл+') = ас + а,г + ат«т + ... + + а„гл — гл+'(ас + а, + ... + ал). Из неравенства ! гл+' (а, + аз+ ... + ал) ! ( А ! г (л+'! ой п СЛЕдуЕт, Чта гл+'(аз+а,+ ... +ал) СтрЕМИтея К О, КОГда и-»+ оо, а (г(<1.
Таким образом, для О<х<1 )(Х) = ~~.", (ас+ а, + ... + а„)(Хл — Хл+'). л~а 1аа Коммутатовные локально компактные еруппы Гл КЦ у 8 Этот ряд сходится; стало быть, для й ен К+ ~п+Н1 (2) /(е о) = ~~> ) д ( †) е-" с(х = ) д ( †) е-" Их. нго л$ о Функция хт-«дт — )е-л в силу (1) интегрируема. Заметим (к~ сначала, что ~ / (е о) — у ( — ) ~ = ) (у ( — ) — у ( — ) ) е-л Их ( ~ <~ А(1+11оа х ~)е-"дх(+ оо, о н, стало быть, ден Ь" (К+). Наша задача свелась к доказательству равенства 11ш д(1/Л)=-1.
Но в силу (2), функция а «/(е 1) на к-«о,к>о груане К+ (функция, которая стремится к 1, когда $- 0) представляется в виде свертки д и функции х»хе " (если взять в качестве меры Хаара на К+ меру Их/х). Ясно, что вта последняя функция принадлежит Ет(К~) и ее интеграл равен 1. Согласно следствию 2, достаточно доказать, что ее преобразование Фурье нигде не обращается в нуль. Так как хь-» 1оц х есть изоморфизм из К' на К, то каждый характер группы К+ имеет вид х «е'е "а"=-х'е, где у он К. Таким образом, все свелось к доказательству того, что хе 'х'едх/х Ф О, о т. е.
того, что е-"хте дх Ф О. о Но хорошо известно (Функц. действ. нер., гл. У11, $2, и'1), что функция гь Г(г) голоморфна и не обращается в нуль, когда в1г)0. В силу предложения 3, 5 1, там же, Ю Г(г)= ) е '1* Ъ для положительных вещественных г и, о у Гармонический синтез в пространством у.'(О), ут(ст), у."(6) )от стало быть, для Яг>О после аналитического продолжения (см. Уат„К.); следовательно, ОР )У е "хтес(х =Г(1+ су) Ф О. о Ламма 2. Пусть К вЂ” компактная часть 0 и т)>О. Тогда существует функция у' я У.'(О), обладающая такими свой- ствами: Ц )1!Ц (2; 2) У)=1 в окрестности нейтрального элемента группы 0; 3) 1(у — у*а„$(т) для всех х~К.
Существует окрестность У элемента е в О, такая, что Яи УФ )1 — (х, 2))(т)У4 для всех хеиК. Уменьшая, если понадобится, окрестность У, можно считать ее открытой, симметричной и интегрируемой относительно меры Хаара т на 6, ассоциированной с мерой дх.
Далее, существует симметричная компактная окрестность У эле- мента е в О, такая, что 1'с=. У н т(У)((2т(У). Характери- стические функции окрестностей У и У можно записать в виде У"и и У о, где и ен У,т(0), о я У.в(0). Мы покажем, что функция у=т(У) |ио, принадлежащая У.т(0), обладает нужными свойствами. 1) Имеем )) у ))т ( и (У) 1)) и Ц о ))т = т (У) ')) У и ф~ ~1 У о )), = =т(У) 'т(У)ьт(У)ь~ У'2. 2) Существует окрестность ))Р элемента е в О, такая, что УВ' с У (Оби(.
топ., гл. П, 5 4, предл. 4). Для х я )У имеем, в силу предложения 7, 5 1, (У у) (х) = и (У) ' (У и в У о) (2) = =и(У) ~ (У и)(Р)(Уо)(У '4ди(у). Но условие (У о)(у '2) ФО влечет за собой у 'х енУ, сле- довательно, уен У ~к~У))Р~ У и, стало быть, (У и)(у) =1. Поэтому (У у) (2) = т (У) ' ~ (У о) (у)-'2) с(т (Р) = о =т(У) ' ~ (У о)(ф)ди(Р)=1. о 158 Коалутатавныо локально кояпактнив оруппи Гл.
О, Э 8 3) Если хенК, то ~~и — и*е„1й= ) ! (3 и)(х)(1 — (х, Х)) 1аг(т(Х) (т(6)(т1Г4)' и, аналогично, 11 о — о * ек $ ~~ т (У) (И/4)', следовательно, ~)1 — 1* е, Ц = т (У) ~ ~1 и (о — о * е„) + (о ь ек) (и — и ь е,) $ ( (т(У) (Ци1) т(У)а 1 +/1о нет (ц)У1 ч) ( (~2т(У) т(У) т(У) 4 = =т(6)'*т(У) '* — "<Ч 2 Предложении 2. Алгебра 1.'(6) удовлетворяет условию Диткина (гл. 1, $ 5, п'2, опр. 2). Пусть функция ~ еи (.' (6) такова, что з ~ ~1, = 1. Пусть т, — характер 1.' (6); рассмотрим отдельно случаи, когда характер т, нулевой и ненулевой.
Если 11 — нулевой характер, то достаточно проверить, что существует последовательность (уи йм ...) в к.'(6), такая, что 111 — дпь)11, стремится к О и У йп обращаются в О вне некоторой компактной части в 6, а это следует непосредственно из леммы 1. Теперь предпо- ложим, что хен 6 и (У7)(Х) =О. Нужно доказать существо- вание последовательности ()и (м ...) в Ь'(6), такой, что ~~) — ) ь)„~1, стремится к О и У7„обращаются в О в некото- рой окрестности точки т,. С помощью сдвигов в 6 этот слу- чай сводится к тому, когда т,=е.
Существуют функция и„сии.'(6), такая, что 1~и„Ц = 1 и 11 ) — 1 * и„111 ( 1/а, и компакт К„в 6, такой, что ~ 11(х)1дх ~~1/а. В силу о «и леммы 2 существует функция 1„ы Л'(6), такая, что ~~ /„Ц(2, ~1„= 1 в некоторой окрестности элемента е и ~~ 1„— 1, ь е М.: ( Цп для всех х ен К„. Положим )„= и„— )„ь и„и покажем, что последовательность ((„) обладает требуемыми свойствами,' Ясно, что У7,=Уи.— (У 1.)(У и,) обращается в нуль в некоторой окрестности элемента е.
С другой стороны, (а — 1 ~1~ ( ~1 ) и„— ( Ц + ~~ ) 1„!1~ ~1 ~„Ц а. ( 11я + !1)а1„11,. 2 Гармонический синтез е простронсгзак !1(0), ьз(6), й (6) !59 Но для почти всех у ~ 0 мы имеем (Р*)„)(у)= ~ У(х))„(х-гу)с(х= ~1(х)()„(х 'у) — )„(у)) дх, а а потому что 0 =(У!)(е)= ( )(х) с(х; отсюда )!) з)„)), ) ))(х)))!)пав„— )„)),дх= = ~ (!(х)И))„ае„— у„))гдх+ )г )((х)))))„ев — )„()!дх» к„ а к„ » — „) |) (х)! с(х+ 4 ~ ) ((х) ) Нх» — „+ — = —.
к„ а к„ Окончательно () !'з )„— ! ((!»б/и, чем и завершается доказательство предложения. Применяя предложение 5 $ 5 гл. 1, получим теперь следующий результат: Твогемл 2. Пусть 3 — замкнутый идеал в Е'(6), такой, что граница множества гс(3) (замечание 2) не содержит не- пустых совершенных множеств. Тогда 3 совпадает с множеством всех функций !' ен Ь' (6), таких, что У )* обращается в нуль на Ь(3). Напротив, для произвольного замкнутого идеала в Б' (6) заключение теоремы 2 неверно (см. упр.9).
Более того. можно показать, что если 0 ие компактна, то существует замкнутый идеал в й' (6), который ие является самосопряженным '). Следствие. Если замкнутый идеал 3 в Е'(6) содержится в единственном регулярном максимальном идеале, то сам идеал 3 является регулярным максимальным. 2. Гармонический синтез в А (О) В этом пункте мы будем отождествлять пространство Л (6) с двойственным к Е'(6), снабдив его слабой топологией а(Е (6), Ь!(6)). Отображение )Р'- )Ро есть биекпия множества слабо замкнутых векторных подпространств в Ь (О) на множество замкнутых векторных надпространств в Е'(6). С другой стороны, если ) ен Ь!(О) и х я 6, то сопряженным к эндоморфизму д.— ь! * у (соответственно у — ьеа а д) бана- ') См., например, й и В ! п %., Роне!ег апа!уз!з оп ягонрз, !п)егзсгепсе !гас1а !п риге апо аррпеа ща)пеща1!сз, теорема 7.7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
