Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Первое утверждение — прямое следствие предыдущего. Второе вытекает из первого и следствия предложения 10, гл. 1, $6. Слвдствин 2. Топологическая группа 6 локально компактна. В дальнейшем мы будем отождествлять О, Х(Т.'(О)) и Х (81(0) ). Через (х, х), где х ен 6, х ~ О, обозначим комплексное число х(х).
Если (х, х)=1, то говорят, что х и х ортогональны. Пусть А — некоторая часть 6 (соответственно 6); множество всех элементов группы 6 (соответственно 6), ортогональных к А, является, очевидно, замкнутой подгруппой в 0 (соответственно 6) и называется аннулятором А; мы будем обозначать его через А.". Для х ~ 6 отображение х»-~ (х, х) есть унитарный характер з1(х) локально компактной коммутативной группы 6; этот факт немедленно следует из определения умножения в 0 и того обстоятельства, что отображение (х, 2) (х, х) непрерывно.
Мы можем, таким образом, определить отображение н группы 0 в ее вторую двойственную группу 6, называемое каноническим отображением. Отображение оказывается непрерывным, и для любых х, ус=О имеем !зп йоммутатненые локально компактные гууннм Гл. П, З т' т)(ху)=т1(х)Ч(у); это следует из непрерывности отображения (х, х)т (2, х) и предложения 9, Оби(. топ., гл. Х, 2-е изд., $2. Итак, каноническое отображение т1 из 6 в 6, определенное ривенством (Ч (х), А) = (А, х) (х еи 6, А ен 6), является непрерывным морфизмом группы О в 6. Мы увидим (теорема 2, п'5), что отображение Ч в действительности представляет собой изоморфизм группы 6 на О.
2. Определение преобразования Фурье Опгвдвлннив 3. Преобразованием Фурье меры р ~ л("(6) называется функция Уор=У'и (обозначаемая иногда через р) на О, определенная равенством (У 1г)(х) = ~ (х, х)ар(х). Копреобразованием Фурье меры р называют функцию Уп на 6, определенную равенством (У р)(й)= ~ (2, х) др(х). Пгндложннив 2, Преобразование Фурье У и копреобразование Фурье У являются морфизмами инволютивной алгебры лч'(6) в инволютивную алгебру ограниченных непрерывных функций на 6.
Как мы видели в и'1, отображение р ~ ~ (2, х)д1г(х) есть эрмитов характер алгебры М'(6). Отсюда немедленно следует, что У и У вЂ” морфизмы инволютивной алгебры лг'(6) в инволютивную алгебру комплексных функций на 6. Кроме того, (б) 1(Ур)(у)1=~ ~ (о )д откуда видно, что функции У р (и, аналогично, Ур) ограничены. Наконец, если 2 стремится к ха в О, то функция х на 6 стремится к йо равномерно на каждом компакте, оставаясь ограниченной числом 1, Отсюда следует, что (У р)(х) стремится к (У ц)(хо) для каждой ограниченной меры Следовательно, У и (и, аналогично, Ур) непрерывны. йреодразоеоние Фурье Отметим следующие полезные формулы: (У р)(х)=(У !е)(х )=(У р)Р)! !! У !ь !! =!! Ур 1~.
Ю1 р !!б (те„) (х) =(Х, х), (У е„)(х) =(х, х) (в частности, У е, = йе, = 1); (7) (8) (У (е„*!е))(х) = (х, х)(У н)(х), (У (е„*и))(2) = (х, х)(У р)(х); У (х. р)= е„*У и, (!1) У (Я ° р) =ее-~*У и. Из всех этих формул не очевидны разве лишь фор- мулы (!1). Они следуют из равенств (У (2 р))(у) = ~ (у, х)(х, х)й!е(х)= =- ~ (Ф ' х) йн (х) = (У н) Ю ') = (е *У рНУ) (10) (12) Путем сужения на подалгебру ь1(0) определяются преобразование Фурье и копреобразованне Фурье на Е'(6).
Следовательно, для ) ен Е' (О) имеют место равенства (У !) (х) = ~ (х, х) ! (х) ах, (У7) (Я) = ~ (Я, х) ) (х) дх. Каноническое отображение группы 6 в Х(Ь'(О)) является гомеоморфизмом (предл. 1), и копреобразование фурье, если отождествить 0 и Х(е,1 (О)), становится преобразованием Гельфанда. Однако Х(М'(О)) не отождествляется с 6. Пгвдложнннн 3. Преобразование Фурье и копргобразованиг Фурье суть инъективные морфизмы инволютивной алгебры 1.'(6) в инволютивную алгебру Жо(6) непрерывных функций, равных нулю на бесконечности в 6. Это утверждение вытекает из свойств преобразования Гельфанда (гл.
1, $3, предл. 2), предложения 2 и того обстоятельства, что Е'(6) — алгебра без радикала. 3 а м е ч а н и е. В отличие от преобразования Фурье на ,Ж'(6), преобразование Фурье на Е,'(6) зависит от выбора !28 Коммутатаеные локально компактные гуунны Гл. П, Э ! меры Хаара т(х. При замене йх мерой айх(а)0) новое преобразование Фурье функции ! ен 1.' (6) становится равным а У). Рассмотрим С'-алгебру 81(6) группы 6 и отождествим Е'(6) с некоторой плотной подалгеброй в 81(6). В силу следствия 1 предложения 1 и теоремы 1, гл. 1, $6, преобразование Фурье и копреобразование Фурье продолжаются по непрерывности до изоморфизма С"-алгебры 81(0) на !Уа (6), обозначения У и У сохраняются; разумеется, изоморфизм У есть преобразование Гельфанда для 81(6).
3. Теорема Планиеереля Обозначим через А(6), или просто А, векторное подпространство в Е'(6), порожденное функциями вида 1 у, где ), у ен 1.' (6) Д (.а (6). Так как й' П 7.а — идеал в 1,', то А — идеал в !.т, содержащийся в Е' Д ьа. Поскольку (х1) *(Хд) =-х(!ад) для хан О, !'~1', уев А' (Интегр., гл. ЧП!, 5 3, предл.
6), то хй ен А для всех й ~ А. ЛеммА 1. Существует база фильтра кт на А Д и (0). такая, что (!) е,=!!тпв!рйх в пространстве Ж'(6), снабженном топологией равномерной сходимости на компактньнх частях пространства Ж(6); (И) 1ппвУ <у= 1 в топологии компактной сходимости на 6 и 1!У!р11 (! для каждой функции ф, принадлежащей какому- нибудь множеству из кт; (!!!) 11щв!р*! =1 в пространстве 1."(6) для любого реп(1, + оо ( и каждой функции 7'~ 7."(0).
Действительно, пусть За — база фильтра окрестностей элемента е в 6, состоящая из симметричных компактных окрестностей, содержащихся в некотором фиксированном компактном множестве. Пусть Х ен8о и Х' — множество всех функций кренЛ'.,(О), таких, что зцррфс:Х н ) кр(х)йх=1; пусть Х" — множество всех элементов вида ф *ф для кр ыХ'. Тогда Х" ~А()Л'(6), и множество к), состоящее из всех таких Х", является базой фильтра на А () Л'(6). Свойство (!) (соответственно (ш)) следует из Интегр., гл.
ЧП1, 5 2, п'7, след. 1 леммы 4 (соответственно 5 4, п'7, предл. 20). Компактная часть в 6 является компактной частью в Ж(6); следовательно, (1) влечет за собой равенство 1ппвз !р= 1 в топологии компактной сходимости на О. Вторая часть утверждения (й) очевидна. ПреобраЗование ФурЬе 129 Пусть |, а~ е.'(6) () 1з(6). Для каждой функции ~рен31(0) имеют место соотношения: ~рв) ~1з(6), 11<р*~1~(~11ер11,!1Г!!з и (<ре() е д=~ре() е д) (гл. 1, $6, и'7, формула (13)). В силу Интегр., гл. ЧП1, э 4, предл. 15, <р*(!'* д) есть функция из Жо(6) и справедливо неравенство 11т ° У й)11 <11 р!!.!!)11!1йЬ. Таким образом, для (епА и у он 51(6) справедливо соотношение ре)енЮе(6) и ~рь-~(у е))(е) есть непрерывная линейная форма на 81(6).
Из того, что У вЂ” изоморфизм 51(6) на зев(6), вытекает Ламма 2. Для каждой функции ) енА существует и притом единственная ограниченная мера 1ь1 на 6, такая, что для любой 1еп 81(6) справедливо равенство (13) (<р е1)(е) = ~ (У ~р) йрьр а Пусть теперь 1, денА. Для любой функции ~рыЕ'(6) имеем тогда (14) (У7 р)(Уер)=~(Ут)(У7)йр =~У (Ч ~)йр = (( р е 1) е а) (е).
Из того что (ер е)) в д=(ер* а) *~ и У (е.'(6)) плотно в 4уо(0), применяя (14), выводим равенство (15) (У7) р,=(Уй).рг У.у~А) Пусть йг — открытое множество в 6, состоящее из тех 2~0, для которых (У7) (Х) Ф О. Пусть р — характеристическая функция множества 0 — Ир Для каждой функции уев А, учитывая (15) н Интегр., гл. Ч, $5, и'3, теор.
1, имеем ~ (Уй)й(т р1) ! ер(У7)йре О В силу леммы 1, А плотно в Я(А), следовательно, У (А) плотно в Жв(6); из этого замечания и предыдущего равенства выводим, что р ° 1ьг — — О, т. е. что мера 1ьг сосредоточена на множестве Ир Пусть т1 — мера на ЯГ плотности (У7) ' по отношению к р11йр В силу (15), т1!Щ() 1е ) =тв!(й~ П ье ). Поскольку У (А) плотно в Юо(0), множества 111 для ~~А образуют открытое покрытие О. Далее, существует единственная мера т на 6, такая, что для каждой функции ~~ А имеет место равенство те=т11)р в зак.
!зе 1ЗО Коммутатывныв локольно компактные группы Гл. К В 1 Если 1е=-А, то (16) Й1 =(У~) т Действительно, каждая из частей равенства (16) представляет собой меру, сосредоточенную на йм и сужение каждой из этих мер на И~ совпадает с (У() нр В частности, У7 ~ й'(6, т). Напомним, что, с другой стороны, У7гнйуо(6). Стало быть, У 7 ан 7.Я (6, т). Формула (13) может быть теперь записана следующим образом: (17) (ф в1)(е) = ) (У'ф)(У7) йт, а где. фя 81(6), ~ен А. В частности, для ), йон А (18) ) (У"7)(Уд)йт=(~вй)(е)=) )(х)й(х т)йх.
а а Покажем теперь, что мера т инвариантна относительно сдвигов на группе О. Пусть' хан 6. При замене функций 1 и д из А на функции х ) и х д интеграл ~ )(х) й(х ')йх не изменится. Поэтому, в силу (18), т ((У 7) (У д)) = т ((ея н У )') (ея в У д)) = =т(ея "((У1)(У И))) =(ея-' "')((У О(Уй)). Иначе говоря, 1я~ (У й) = (У 1 ° (е, * т)) (У й). Отсюда, вспоминая, что У (А) плотно в Жо(6), выводим ра- венство р =У7 (ея-~ от), справедливое для каждой функции 1~ А. Таким образом, мера е г вт индуцирует на ьг меру т н, значит, е ~ от =э.
Поэтому мера т отличается лишь постоянным множителем от меры Хаара на О. Формула (18), которую, полагая д=), можно привести к виду (19) /1 У 7 1Я йт = ) 1) 1Я йх, а а показывает, что этот множитель положителен. Стало быть, т — некоторая мера Хаара на 6- Определанна 4. Мера Хаара т на 6 называется ассот1и- ированной с походной мерой Хаара на О. Преьбразоаавие Фурье Впредь через ах мы будем обозначать меру Хаара на О, ассоциированную с мерой дх. Замечание.
Если заменить меру дх мерой а ° дх, то свертка двух элементов 1, увив'(6) заменится выражением а!» у, а преобразование Фурье У! перейдет в аУ1. Поэтому р! не изменится, а мера ч перейдет в а 'ч. Стало быть, мера ЫхЭаХ на ОКО не зависит от выбора меры Хаара дх. Творима 1 (Планшерель). Если ! ен У (6) Д Л~(6), то У1е=ь'(6). Отображение !' ~т) из Е1(6)Пь'(6) в ьз(6) однозначно продолжается до изометрии пространства У (6) на ЕР(6) (О и О снабжены мерами дх и аХ). Для доказательства заметим, что в силу (19) сужение У на А представляет собой изометрию пространства А~ Л'(6) на подпространство У (А) в ьУ(6). Так как А плотно в 1,'(6) (лемма 1), то У однозначно продолжается до изометрии Ф пространства 1.'(О) на подпространство в Л'(6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
