Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если Х чь В, возьмем какой-нибудь элемент х из  — Х и образуем подгруппу Х', порожденную Х и х. Если х" ф Х при любом п эь О, то можно продолжить )' на Х', выбирая в качестве 1'(х) произвольный элемент из А. В противном случае пусть и — наименьшее целое положительное число, такое, что х" ~ Х. Поскольку группа А делима, существует элемент у»=А, такой, что у"=1(х"), и можно продолжить ) на Х', полагая 1(х) =у.
В каждом из этих двух случаев элемент (Х, 1) не будет максимальным в (т. Следовательно, Х = В, и лемма доказана. Применим лемму 3 к тождественному отображению из С=(6)» в А=(6)», В=6. Получается проектор и из 6 на б„который непрерывен, так как непрерывно его сужение на открытую подгруппу 6,. Следовательно, 6 представляется в виде прямого произведения группы бо и дискретной подгруппы и '(е). Импликации ((ч)~(й)Ф(1) очевидны. Предложение 1 доказано. Слкдствиа 1. Предположим, что группа 6 порождена компактной окрестностью элемента е. Тогда 6 содержит наибольшую компактную подгруппу К, и О изоморфна 11' Х г' Х К.
В силу предложения 1 группа 6 отождествляется с группой 1ч» Х Х» Х К, где К вЂ” некоторая компактная группа. Пусть р — каноническая сюръекция О на 11» Х Х». Если К' — какая-нибудь компактная подгруппа в 6, то р(К')— компактная подгруппа в 11» Х Х», сводящаяся, следовательно. к нейтральному элементу. Поэтому К' ~ К и, значит, К вЂ” наибольшая компактная подгруппа в 6. Замечание 1. В разложении 6=11»ХУ»ХК, ука занном в предложении 1 (й), подгруппа К определяется однозначно как наибольшая компактная подгруппа в 6, и подгруппа 14» Х К также определяется однозначно, поскольку (ч» есть связная компонента единицы в 6/К.
Принимая во внимание Оби(. топ., гл. ьт11, 5 2, предл. 1, мы видим, что и целое число р определяется однозначно. Наконец, поскольку 6/(11» Х К) изоморфна г», целое число д определяется однозначно. В силу двойственности, в разложении б =Й' ХТ'Х Вч указанном в предложении 1 (1ч), подгруппы 11» Х Т», О н целые числа р и д определяются однозначно. Коммутотоеные локольио компактные группы Гм Н, з 2 Следствие 2. Следующие условия эквивалентны: (1) 6 и 6 порождены компактными окрестностями элемента е; (В) 6 локально изоморфна группе )ч"', а 6 — группе 11"! (тй) б изоморфна произведению 1че Х Те Х 2' Х Ф, где Ф вЂ” конечная группа; (ту) б, изоморфна произведению )ч' Х Хе Х Т' Х Ф, где Ф вЂ” конечная группа. В силу предложения 1, (!)(=Ф(1!); кроме того, очевидно, что (В!) <='Р(1ч) и (й!)4т(1).
Если справедливо (1), то 6 = ((Р Х Х Т' Х О, где .0 — дискретная группа, порожденная некоторой компактной частью; но тогда Π— группа конечного типа и, стало быть, имеет вид Хе Х Ф, где Ф вЂ” конечная группа (Алг., гл. 7П, ф 4, и'6, теор. 3). Замечание 2. В соответствии с обозначениями следствия 2 отождествим группу 6 с 1тл Х Те ХЕ'ХФ; !то Х Те есть связная компонента единицы в 6, Те ХФ вЂ” ес макси-' мальная компактная подгруппа, Т' — связная компонента единицы максимальной компактной подгруппы; целые числа р, в, т определяются однозначно группой 6, согласно заменанию 1, а группа Ф определяется группой 6 с точностью до изоморфизма.
ПРедлОжение 2. Предположим, что 6 компактна. Тогда существует убывающее фильтрирующееся семейство замкнутых подгрупп Н, в б, такое, что !) 6 отождествляется с проективным пределом факторгрупп 6/Н„; 2) каждая факторгруппа 6/Н изоморфна некоторой группе Те ХФ, где Ф вЂ” конечная группа. Действительно, поскольку группа б дискретна„она являится объединением возрастающего фильтрирующегося семейства подгрупп О конечного типа. Положим Н,=Оо. Тогда 6 х отождествляется с проективным пределом факторгрупп б/Н ($1, следствие 2 предложения 11). С другой стороны, О„ изоморфна группе ге ХФ, где Ф вЂ” конечная группа, стало быть, ЯН, изоморфна Т' Х Ф.
2. Общий случай ПРедложение 3. (1) Каждая локально компактная коммутативная группа представляется в виде прямого произведения подгруппы, изоморфной некоторой группе К", и подгруппы, обладающей компактной открытой подгруппой. (В) Каждая локально компактная коммутативная группа есть объединение возрастающего фильтрующегося семейства л Структура коммутатавнык локально Компактных групп !о! открытых подгрупп, которые являются проективными пределами групп, изоморфных группам вида й» Р, Т» Х Х' 'ут', Ф, где Ф вЂ” конечная группа. Утверждение (Д) вытекает из предложений 1 и 2, ибо 6 есть объединение возрастающего фильтрующегося семейства открытых подгрупп, порожденных компактными окрестностями элемента е. Пусть, с другой стороны, Н вЂ” одна из этих подгрупп.
Тогда Н представляется в виде !к™ Х Х»»с, К, где К вЂ” компакт (предложение 1). Каноническая сюръекция Н на делимую группу Г!» продолжается (лемма 3) до непрерывного проектора и из 6 на !1». Стало быть, 6 — прямое произведение 1(» и ядра 1. проектора и, и х»»»,К вЂ” открытая подгруппа в Л. Следовательно, Ь/К вЂ” дискретная подгруппа. Пгвдложгнив 4. (!) Пусть  — множество всех элементов иэ 6, которые порождают относительно компактную подгруппу в 6. Тогда В есть замкнутая подгруппа в 6. (Д) Пусть С вЂ” связная компонента единицы в 6.
Тогда Вх =С. Так как произведение двух компактных частей из 6 есть компакт, то  — подгруппа. Заметим, что каждый элемент из 6 принадлежит некоторой открытой подгруппе, порожденной компактной окрестностью элемента е. Поэтому доказательство того, что каждый элемент из В принадлежит В, сводится (предложение 1) к случаю, когда 6 =!1» к',Х» )»,К, где К вЂ” компактная группа. Но в этом случае ясно, что В=К. Докажем (И). Предложение 3 (!) позволяет ограничиться случаем, когда 6 содержит компактную открытую подгруппу Н. Тогда Н" — компактная открытая подгруппа в 6. Стало быть, С вЂ” связная компонента единицы в Нх. С другой стороны, В:э Н и В/Н есть множество всех элементов из 6)Н, которые порождают относительно компактную подгруппу в 6Я. Поскольку Нх отождествляется с (6!Н)", можно ограничиться случаем, когда группа 6 дискретна и, стало быть, 6 компактна. Но тогда С есть пересечение открытых подгрупп в 6 (Оби!.
топ., гл. П1, 3-е изд., $4, п' 6, предл. 14); замкнутая подгруппа в 6 открыта в том и только в том случае, если она имеет конечный индекс (или если ее аннулятор конечен); следствие 2 теоремы 4, $1 показывает, что Ст представляется в виде объединения конечных подгрупп из С, т. е. совпадает с В. Коммцтативнме локально ломпвлтвив груоои Гл. П, У Э Следствие 1. Предположим, что группа 6 компактна.
Тогда следующие условия эквивалентны: (1) 6 — связная группа; (й) 6 — группа без кручения; (гй) 6 делима. Это вытекает из предложения 4 и следствия 8 теоремы 4, $1, Следствие 2. Предположим, что 6 компактна. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) 6 вполне несвязна; (й) 6 состоит из элементов конечного порядка. Это утверждение — частный случай предложения 4. Следствие 3. Если группа 6 связно, то она делима. Действительно, 6 изоморфна некоторой группе К" р,К, где К вЂ” компактная связная группа (предложение 1). Поэтому достаточно применить следствие 1.
$3. Гармонический синтез в пространствах Ы (О), ЕР(О), Ь (О) 1. Гармонический синтез в Е1 (О) В силу предложения 5, $1, банахова алгебра Ет(6) регулярна, Согласно $ 5, гл. !, это обстоятельство влечет за собой ряд следствий, которые мы здесь приведем в форме замечаний. 1) Если г" — замкнутая часть О и К вЂ” компактная часть О, такие, что Р () К =- Я, то сушествует функция ! ен Ет (6), такая, что У! равно 0 на Е и 1 на К (гл. 1, $5, предл.
1). 2) Для каждого идеала 3 в Е'(6) обозначим через й(3) мзожество точек нз О, в которых обращаются в нуль преобразования Фурье всех функций из 3; это множество замкнуто. Для каждой части М нз 6 пусть !(М) — идеал в Ет(6), состояший из всех функций, преобразование Фурье которых обращается в нуль на М; этот идеал замкнут. Введя эти обозначения, предположим, что М вЂ” замкнутая часть О. Тогда множество всех идеалов 3 в Ет(6), таких, что Ь(3)=М, содержит наибольший элемент, а именно !(М), н наименьший элемент, а именно множество всех функций ) ыЕт(6), пре- ! Гармонический синтез в пространствах Е'(О), !т(б), 7. (О) 154 образование Фурье которых имеет компактный носитель, не .
пересекающийся с М (гл. !, $5, предл. 4). 3) Пусть 3 — некоторый идеал в У(6) и йч 6-+С вЂ” непрерывная функция. Предположим, что для каждой точки х я 6 существует функция ! я 3, такая, что функция я равна У (! ) в некоторой окрестности у.. Предположим, далее, что существует функция ! ~ 3, такая, что я равна У"(! ) в дополнении к некоторой компактной части 0 (условие, которое тривиально выполняется, если 0 дискретна). Тогда существует функция ! ен3, такая, что у=У'7 (гл.
!, $5, след. 2 предл. 2). Ламма 1. Множество всех функций из !.'(6), преобразование Фурье которых имеет компактный носитель, является плотным подпространством в Ь'(6). Поскольку Х(0) плотно в !а(0), подяространство в Еа (6), состоящее из всех тех !' ~ !.г (О), для которых У'7енЛ'(6), плотно в !.'(6). Пусть теперь д ~ !.'(О). Тогда существуют у, и д,еи !.г(0), такие, что д=у,да (можно, например, положить д, =)д)ч* и подобрать да соответствующим образом). Стало быть, функция й является пределом в !.'(6) функций вида у',д', где д', гп )т, д,'гн )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
