Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тем самым доказано, что группа 6 дискретна. Итак, если 6 — компактная группа, то 6 — дискретная группа. Предположим, что 6 — дискретная группа. Снабдим группу О нормированной мерой Хаара а, которая приписывает каждой точке массу, равную 1. Пусть ) — характеристическая функция элемента е на 6. Тогда 91=! на О и У 1 стремится к нулю на бесконечности, следовательно, О 144 Коммутотивные локально компактные еруппы Гп !1, э' ! компактна. С другой стороны, по отношению к ассоциированной с а мере Хаара а функция У/ имеет интеграл, равный 1.
Поэтому а(6) = 1 и, значит, а — нормированная мера Хаара на 6. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что для конечной группы О, состоящей из и элементов, понятие нормированной меры Хаара двусмысленно. В этом случае, как указано в предложении 11, если а — мера Хаара на 6, которая приписывает каждой точке массу, равную 1, то ассоциированная с ней мера Хаара а на 6 приписывает каждой точке массу, равную 1/п.
Следствие 1. П усть Н вЂ” замкнутая подгруппа в О. /(ля того чтобы эта подгруппа была компактной, необходимо и х достаточно, чтобы подгруппа Н была открытой в 6. х Действительно, то, что подгруппа Н открыта, павносильно тому, что 6/Н дискретна, а 6/Н изоморфна Н. Следствии 2. Пусть (Н,),, — убывающее фильтрирующееся семейство компактньгх подгрупп в 6. Для того чтобьг группа О отождествлялась с проективным пределом подгрупп 6/Н, необходимо и достаточно, чтобы группа 6 представлялась в виде объединения открытых подгрупп Н~ (иэоморфных (6/Н,) ).
То, что группа О отождествляется с проективным пределом подгрупп О/Н„равносильно тому, что П Н, = (е) а (Оби(. топ., гл. П1, 3-е изд., $7, предл. 2), т, е, тому, что ЦН~ плотно в 6 (следствие 2 теоремы 4). Но ОН, — ото о крытая и, стало быть, замкнутая подгруппа в О. Следствие 3. Группа, двойственная к произведению компактных групп Н, отождествляется с прямой суммой дискретных групп Н„. Это утверждение представляет собой частный случай следствия 2. Пэгдложинии 12. Пусть К вЂ” локально компактное недискретное тело (не обязательно коммутативное). Выберем в качестве 6 аддитивную группу К. Пусть т,— фиксированный унитарный характер в 6, отличный от 1, Для х, у~ 6 положим гр(х, у) = Х(ху). Тогда группа 6 двойственна себе относительно р.
т1реобранонанае Фурье Для х, уев 6 положим те(х) =-т(ху). Непосредственно видно, что те~ 6 и что отображение 0: у те есть инъектианый гомоморфизм из 6 в 6. Кроме того, отображение 0 непрерывно, так как отображение (х, у) х„(х) из 6 к', 6 в С непрерывно, и 0(6) плотно в 6, так как равенство х„(х) = 1 для всех у ен 6 влечет за собой х = О. Пусть г -» ! г ~ — абсолютное значение, определяю1цее топологию в К (Комм. алг., гл. И, $9, и'1, предл. 1), и пусть элемент хоенК таков, что х(хо) Ф 1.
Пусть М)0. Если для ! х ~ ( М выполняется неравенство ! хн(х) — 1 ! (! т, (х,) — 1 ~, то !у 'хо1>М, т. е. 1у!<М !хо!. Отсюда заключаем, что отображение у»те является гомеоморфизмом группы 6 на 0(6); следовательно, 0(6) локально компактна и потому замкнута в 6, и, значит, 0(6) = 6. Следствие 1.
(1) Группа К двойственна себе относительно отображения (х, у)»-»~ехр(2шху). Группа К, таким образом, отождествляется с (т, а мера Лебега ассоциирована сама с собой. (й) Группы Х и Т являются двойственными друг другу относительно отображения (и, !)» ехр (2!яп!) (где через обозначен канонический образ в Т веьцественного числа !). Группа (т двойственна себе относительно отображения (х, у) эехр(2!пху) (предложение 12).
Отождествим К с 11. Аннулятор подгруппы Х в Й=(1 совпадает тогда с Х и (И) следует из теоремы 4. Пусть а (соответственно р) — нормированная мера Хаара на Х (соответственно Т). Если через р обозначить меру Лебега на (т, то у = О/а. Мера Хаара а (соответственно у) на Х = Т (соответственно Т = Х), ассоциированная с а (соответственно у), является нормированной мерой Хаара на Т (соответственно Х) (предложение 11). В силу предложения 9, мера Хаара на 1т = 1х, ассоциированная с р, совпадает с О. Замечание 1. Вернемся, в частности, к определению пространства Х(Ь'(Х)), данному в гл.
1, $3, и' 3, пример 4. Если не оговорено противное, мы впредь будем отождествлять й с Гт в соответствии со следствием 1 (1). Следствие 2. Пусть !' — комплексная функция, интегрируемая на и. Предположим, что для каждого х ~ 1! имеет место неравенство ~~'., ~! (х+ п)1<+ оо и что функция х~- пах Коммутатаакме локально компактные трупам Гл Н, з 1 « ~~'.~ 1(х+ и) непрерывна.
Предположим также, что кых Х 1(9'~)(п)~<+-. Тогда Х (9 1)(п) = Х 1(п). Это равенство представляет собой частный случай следствия предложения 8. Следствие 3. Группа й" двойственна себе относительно а отображения ((х;), (у~)) ехр 2п1 ~~'.~ х;у~ . Группа (1(к) т 1 таким образом, отождествляется с 11", а мера Дебега ассоциирована сама с собой. Это утверждение вытекает из следствия 1 (1). 3 а м еч а ни е 2. Если задана некоторая подгруппа Н в 11", то ей соответствует ортогональная подгруппа Н х в Щ") =11", которая есть не что иное, как подгруппа, ассоциированная с Н в смысле определения Обтц.
топ., гл. ЧП, 3 1, п'3. Пусть р — простое число. Для каждого числа х ен Цр существует и притом единственное число Л(х) ~ ь1 вида а)р', где 0(у<р', такое, что Л(х) — хан Хр (Алг., гл. ЧП, $ 2, п'2, теор. 2); положим фр'=Л(х). Ясно, что Л(х+ х ) =— — = Л(х)+Л(х')(епод Х) и что функция Л локально постоянна на Ор. Поэтому функция х «ехр(2п1Л(х)) является унитарным характером группы 1;)р.
Его ядро совпадает с Хр. Следствие 4. (1) Группа (г двойственна себе относительно отображения (х, у) ~ехр(2(пЛ(ху)). Группа 4р, таким образом, отождествляется с 1;)р, нормированная мера Хвора на (гр (Интегр., гл. ЧП, 5 1, п' 6, пример) ассоциирована сама с собой. (й) Груплы Хр и (г Яр двойственны друг другу относительно отображения (х, 1) ехр(2(пЛ(х1)), где через 1 обозначен канонический образ в 1г /Х р-адического числа 1.
Доказательство буквально повторяет доказательство следствия 1. Структура'коммутотавыых,тока,тьыо компактных групп 147 $2. Структура коммутативных локально компактных групп 1. Труппы, порожденные компактными частями Лемма 1. Пусть Н вЂ” локально компактная группа и ф — непрерывный морфизм из (с (соответственно Х) в Н. Если ф не является изоморфизмом (тапологическим) из )с (соответственно Х) на некоторую подгруппу в Н, то ф(К) (соответственно ф (Х)) — относительно компактное множество. Пусть / — образ морфизма ф.
Поскольку можно заменить Н на /, мы будем предполагать, что / плотно в Н. Предположим, далее, что существуют окрестность У элемента е в Н и целое М) О, такие, что для каждого 1)М из 1с (соответственно из Х) ф(/) ~ У. Тогда ф — инъективный морфнзм, сужение ф на ( — М, М) является гомеоморфизмом и сужение ф ' на УД/ непрерывно; следовательно, ф есть топологический изоморфизм нз К (соответственно Х) на /. Предположим, что ф не является топологическим нзоморфизмом из К (соответственно Х) на /. Пусть Ф' — какая- нибудь относительно компактная открытая окрестность элемента е в Н и У вЂ” симметричная окрестность элемента е, такая, что Уа с: Ж'. Для каждого элемента х~ Н =/ существует число я ен К (соответственно Х), такое, что х сн ф (я) У. Согласно предыдущему абзацу, существует число / ~ К (соответственно Х), такое, что ~/~)я н ф(/)яУ.
Имеем хан ен ф(/+ я)ф(/) У с: ф(/+ я) ))7, /+ я) О. Далее, открытые множества ф(и) ))7 для и) 0 образуют открытое покрытие Н. Существуют строго положительные числа ио ..., и„, такие, что ))тс: Ц ф(и,) Ж. Пусть Т вЂ” наибольшее из чисел и,. 1~т<« Пусть х ~ Н н я = )п1 (/ ~ / > О, ф (/) ен )Ух). Тогда ф (я) х ' ен Ф', и существует такой номер /, что ф(я) х-' ен ф(и,) В' и, значит, ф(я — и,) сн )Ух. Выбор числа я обеспечивает неравенство я — и, < О, откуда следует, что я ( Т. Таким образом, Н=ф((0, Т)) ))7 — компакт.
Лемма 2. Если группа 6 порождается компактной окрестностью У элемента е, то существует дискретная подгруппа // в 6, изоморфнйя группе Х" и такая, что фактор- группа 6/П компактна. Так как Ут — компакт, то существуют элементы х,, ... ..., х„~ 6, такие, что У' с: Ц х,У. Пусть По — подгруппа, !«~ь 1/«6« 148 Коааутативные локально ко.ваактаае груааы т л П, Э л поро кденная этими элементами. Имеем Ут с: 0»У, откуда по индукции получаем, что У" ~ ОвУ и, кроме того, 6 = 0»У. Пуста тогда / — часть множества (1, ..., й), такая, что подгруппа О, порожденная элементами х,(1 ~/), топологически нзоморфна Х, причем / — максимальная из частей, облас ат дающих таким свойством.
Покажем, что 6/О компактна. Пусть р — каноническая сюръекция 6 на 6/О, Пусть 1»н(1, 2, ..., я) —,/. Если подгруппа Нт в 6/О, порожденная элементами р(х,), топологически изоморфна Х, то подгруппа в 6, порожденная 0 и хь дискретна, и отображение (й, п) «с(х", является изоморфизмом От»', Х на эту подгруппу, что противоречит максимальности /.
Из леммы 1, слецовательно, вытекает, что Йт — компакт. Поэтому 6/О=/ [ [ Й) р(У)— !'Фт компакт. Пгндложнинв 1. Следующие условия эквивалентны: (!) 6 порождена компактной окрестностью элемента е; (и) 6 представляется в виде прямоео произведения групп йР и Х» при некоторых р и д и некоторой компактной группы; (!!!) 6 локально изоморфна группе 11" при некотором и; (!ч) 6 представляется в виде прямого произведения групп мР и Т» при некоторых р и г/ и некоторой дискретной группы. (!)=)т(!!!): если группа 6 обладает сгойством (!), то существует подгруппа 0 в 6, изоморфная Х" и такая, что Пт/О— компакт (лемма 2).
Тогда Π— дискретная группа, следоваь тельно, 6 локально изоморфна 6/О, т. е. О, а значит, Т" .и, стало быть, (с". (!!1) =)т(!ч): если 6 локально изоморфна 11", то связная компонента единицы (6)„в 6 является открытой подгруппой, изоморфной 11Р:к', Т" Р (Оби!. топ., гл. Ч!1, $2, теор. 1), и, следовательно, делимой группой. Для завершения доказательства предложения ! нам понадобится Лемма 3. Пусть А и  — коммутативные группы, С вЂ” подгруппа в В и Ч~ — морфизм из С в А.
Если группа А делима, то существует морфизм из В в А, являющийся продолжением морфизма тр. (Другими словами, делимые группы инъектианы в категории коммутативных групп; см. Алг.; гя. Ч11, 2-е изд., $2, упр. 3.) Пусть 6 — множество пар (Х, /), где Х вЂ” подгруппа в В, .содержащая С, и / — морфизм из Х в А, являющийся продолжением гэ. Упорядочим множество (й с помощью отношения: «Х ~Х' и /' есть продолжение /ж Непосредственно ! Струк»11»а коммутативнык локально комнактнык груни 149 проверяется, что (т индуктивно. Пусть (Х, )) — максимальный элемент в ьь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
