Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Показать, что тогда й э/пэ лп! (к() (П Ь) Пу й(х) ~~~ /(х+л). Тогда й э1п'ла/ э1п(2У+ !)л/ ал' /' э!и л/ с) Для заданных последовательностей (й/), (а/), (У!) пусть й/ (при каждом т) — функция, полученная, как в Ь). Пусть ~~~',й/<+ ео. так что ! ~ пт сходится равномерно к некоторой непрерывной функции л. Покавать, что если ~) й!а/у/<+ ео, у — 1ой У/<+ ко н ~» й/У/ + се 'сч й/ ' к'а а/ (например, если й! !/Р, а! 1/)/Г, У! !), то функции й и Уд анте.
Ю грнруемы, ио ~Ч'~~ й (л) +ее. з 4) а) Пусть С Ст — локально компактные коммутативные группы, ф: С-ьС, — непрерывный морфизм, рш,й'(0) н рт =ф(р). Показать, что тогда У'р, У р ф. Ь) Пусть о — автоморфиэм группы О, й — его модуль, )тыЕ'(0) и )вп.
Показать, что тогда (У'(')(к) б(о) '(У/)(д 'Х). 5) Пусть р ш нй'(О). Предположим, что йр та(.т(О). Показать, что существует / тм ).' (С), такая, что лр (х) = ) (к) т/х. (Воспользоватьси фильт. ром 9 иэ леммы !. Тогда ф*р стремится слабо к р по Е и У (фэр) ° (йф)(~р) стремится к йр в к.'(0), а, стало быть, фэр,'Г(Ф (фзр)) стремится к тр (У р) в !Уэ(О). Следовательно, т/р(х) (Урр)(к) т/х.) б) Пусть Н вЂ” подгруппа в 0 и рты.йт'(0). Показать, что для инвариантностн 'Гр относительно сдвигов, определяемых элементами из Н, необходимо и достаточно, чтобы носитель р содержался в Н . Рйб Коммутативнме локально комлантныг груллы Гл, П 7) Пусть /щ !'(6).
Пусть Р— голоморфная функция, определенная в открытой части У в С и обладающая следующими свойствами: а) У содержит множество значений У /! ()) если О не днскретна, то 0 ен О и Р(0) = О. Показать, что тогда существует функция д тп /.' (6), такая, что Р ( У'/) = У д, (Применить голоморфное функциональное исчисление в алгебре, полученной из П (6) присоединением единицы.) 1 1 8) Пусть р ен (1, 2) и р'гп (2, + оо) таковы, что — + —, = 1.
Пусть р р /!пел (0). Показать, что Ц Т/Цр, (Ц /Ц . (Это неравенство известно для р= 1 и р = 2. В общем случае йриме!тить неравенство М. Рисса (Интегр., гл.1Ч,2-е изд., й 6, упр. 18).) Вывести отсюда, что отображение У ~ Я'(6) продолжается до непрерывного линейного отображения из Ел (6) в !,л (6), совпадающее с преобразованием Фурье на !Р (6) О /.' (6) и на ЕР(6) () Ез (О). $9) Пусть 6 — локально иомпактная группа (не обязательно комму.
тативная), снабженная левой мерой Хаара. а) Показать, что если /гм Е' (0), то существуют /ъ /з гм й' (6), такие, что /,*/з=/. (Воспользоваться упражнением 22 Ь) гл. 1, $2.) Ь) Пусть /~ /з щ !'(6) и /, ~)0, /з~)0. Показать, что /,ч/з совпадает почти всюду с функцией, полунепрерывной снизу. (Рассматривать !, иак предел в смысле простой сходимости возрастающей последовательности неотрицательных функций из Е~(6).) с) Положим, 6=(!. Для каждого открытого интервала 1 )а, й( положим А(1)=)а, а+(у — а)/6(, А (1)=)а+6(б — а)/6, б(.
Пусть 1о= )О, 1(,1! = А(/о),!! = А (1о), 1т = А (!!), 1т = А (1!), ..., 1л =А (1„ !„А'(1„!),.... Пусть, далее, Р 1, и!» О .... Показать, что не существует таких двух частей Р, и Р, из !(, что Р, + Р, Р. Показать, далее, что если / — непрерывная неотрицательная функция на !(, такая, что Р (х )/(х) > 0), то не существует ни одной пары функций /ь /, ен !'(1Ц, таких, что !~ > О, /з>0 н /=/, ° /з. (Предположим, что такое равенство имеет место.
Пусть Е! — множество всех х гм (1, таких, что !т(х) >О. Пусть Р! — множество точек плотности Е, (Интегр., гл Ч, $6, упр. !6), Показать, что Р Р~+ Рт.) 10) Пусть»ги 2. Показать, что следующие условия эквивалентны: а) отображение х т-эх" из 6 в 6 инъективно; Ц) отображение Я ь-ь Я» из 0 в О сюръективно. !1) Пусть (О!)гы! — семейство локально компактных коммутативных групп, Для каждого 1щ! пусть Н! — компактная открытая подгруппа в Оь Пусть 6 — локальное прямое произведение О! относительно Нт (Оби!.
тол., гл. Ш, 3-е изд., $2, упр. 26). Для каждого ХщО пусть 2! — сужение у. на 6!. Показать, что Х т-~ (ул)! ! есть изоморфизм топологической группы 6 на локальное пряное произведение 6; относительно Н; . 12) Пусть Оа есть группа 6, снабженная дискретной топологией, и Х вЂ” унитарный характер Оа. Показать, что при любом выборе хо хз,...
..., хлсяО и е > О существует элементх ен О, такой,что(Я(х!) — 2(х! )(ч ~е, 1 ~!(л. (Каноническая инъекция из 6л в 6 имеет в качестве двойственной морфизм из 6 в (Ои), образ которого плотен в силу следствия 6 теоремы 4.) 13) а) Показать, что Е'(6) — замкнутый идеал в М' (О! и, следовательно, 0 отождествляется с некоторой открытой частью в Х(ий'(0)). (См. гл. 1, $3, упр. 17.) Ь) Если яа(6) (соответственно гй (6) ) — множество рассеянных (соответственно атомических) мер р гм .й'(6), то лУа(0) — замкнутый идеал в Г!'(6), а .4'и(0) — замкнутая подалгебра в лг'(0).
Упражнении '((14) Пусть Ег=. О. Говорят, что множество Е независимо, если для любой системы хи ..., х» попарно различных элементов нз Е и целых и» и1 и» чисел ии ..., и» из равенства х, ... х =с следует, что х, ... х =с. Множество Е называют множеством Кронексри, если любая непрерывная комплексная функция на Е, равная по абсолютной величине 1, является равномерным пределам на Е унитарных характеров группы О Пусть О=(Е/дй) . Говорят, что Š— множество гила К, если каждое и непрерывное отображение Е в множество корней и-й степени из единицы совпадает на Е с некоторым унитарным характером группы О. а) Пусть Р— компактное множества Кранекера. Показать, что еслк мера р ги ий' (О) сосредоточена иа Р, то зцр(й!г (=(! р (!.
Вывести отсюда, что наждая непрерывная комплексная функция на Р представляется в виде й / ! Р, где / ен Е' (О). Ь) Пусть Е ~ Π— конечное независимое множество, и пусть комплексная функция, равная по абсолютной величине ! на Е. Предположим, что для элемента хай' порядка д имеет место равенство /(х)ч= =1. Показать, что тогда функция / является равномерным пределам на Е унитарных характеров группы О. (Применить увр. !2.) с) Показать, что каждое множество Кронекера независимо и содержит только элементы бесконечного порядка. б) Показать, что каждое множество типа Ке в (Х/дй)" независимо. е) Пусть У,,..., У» — непустые открытые нейересекающиеся части О. Показать, что если любая окрестность элемента евОсодержитэлементы бесконечного порядка, то существуют хгщУь такие, что (хь...,я»)— множество Кронекера.
Если О (х/дх)и, то существуют х! щ Уг, такие, что (хь.... х») — множество типа К». 1) Пусть Е ~ Π— независимое компактное множество, Р= ЕЦЕ-' н и ен ий'(О) — рассеянная мера, сосредоточенная на Р. Показать, что тогда меры е„р, р', рз, ... попарно независимы (здесь р" =мэри '). (Показать, чта если лг ( и, то множество элементов (х,, х,,..., х„) гм О", таких, что х,х,... хи ~ж Рм, пренебрежимо относительно меры р 9 р 8... ...
(9р.) Вывести, в предположении, что р „зб, равенство ~ а»)г ~~'.~ ) и» ! (! р (! справедливое для любого набора комплексных чисел пз, и„..., а„. й) Пусть Е~ Π— независимое компактное множество, р„..., р,— рассеянные неотрицательные меры единкчиой массы, сосредоточенные на непересекающихся частях Еь ..., Е, иэ Е. Пусть, далее, хь ..., хггмС и ! аг ) ~(! для всех Е Показать, что существует характер !( алгебры иг1(О), такой, что т,(р!) г! для ! ~! <г. (Показать сначала, рассуждая так гп т же, как в 1). что если (и,, ..., л„) Ф (гли ..., глг), то меры р! ю..*рг и и н р!'ю..ер,' независимы. Затем, предполагая, что )хг! 1 для всех 1, показать, что спентральный радиус злемента вс+ ну~+...
+ дерг равен г+! и, стало быть, существует характер !Г алгебры ич'(О), такой, что Х(ае+х1р~+ ... +херт) с+1; это и есть искомый характер для слу! чая (хг(=!. В общем случае записать хг= — (хг-1-х',.') где (х'! )бй Коммртативные локально компактные гррнны Гл. Н =)а)'1=1,и рн= — (р';+к",), так чтобы для мер )ь(~, р!' ..., Н', р," оставались спрааедлнвыми асе те предположения, которые выполнялись для мер Нп..., рт.) Обозначая через ийг(Е) баиахово пространство рас. сеянных мер, сосредоточенных на Е, вывести отсюда, что каждая непрерывная линейная форма с нормой, ие превосходящей ! на хтг(Е), продолжается до характера алгебры лу1 (6), 13) Пусть У'(Кн) — множество всех бесконечно днффереицнруемых фуннцнй /: мн -ь С, таких, что произведение любой производной функция / на любой многочлен ограннчено.
Тогда У (мн) <: Е'()1н) н преобразование Фурье У ( У(1(н) является автоморфиэмом множества Р()(н). Показать, что еслк хо ..., х„— координатные функции на !(н и если / щ У (йн), то (д/дх/) (У /) = — 2! яУ (х//). 1)16) Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6, д — элемент нз Е' (6), такой, что 'у я обрещается э нуль ив Н~, и пусть э)0. Показать, что существует мера Н гв.4'(6), сосредоточенная на Н я такая, что 2м 11~(2, (1й ° (э(! <е н 'у Н 1 э некоторой окрестности Н~. й 2 1) а) Для того чтобы группа 6 имела счетную базу, необходимо н достаточно, чтобы группа О нмела счетную базу. (Если О имеет счетную базу, то Е'(6). а стало быть, Х(Е'(6)) имеет счетную базу.) Ь) Для того чтобы группа 0 была счетной иа беснонечностн, необходимо и достаточно, чтобы группа 0 содержала открытую подгруппу со счетной базой илн чтобы 6 была метрнзуемой.
(Воспользоваться предло. жением 3.) с) Для того чтобы компактная группа О была метрнзуемой, необхо. димо н достаточно, чтобы группа 6 была счетной нли чтобы 0 была изо. морфиа некоторой замкнутой подгруппе в Тм. (Счетная дискретная группа является факторгруппой группы 2!м1.) 2) а) Каждая бесконечная коммутативаая группа Г допуснает некоторую счетную бесконечную факторгруппу.
(Вложить счетную бесконечную подгруппу Л ~: Г в некоторую счетную делимую группу Л' н применять Алг„гл. П, 3-е изд., э 2, упр. 14; затем продолжить па Г тождественный мор изм нз Л в Л'.) ) Каждан бесконечная компактная коммутатнвиая группа содержит метрнзуемую бесконечную замкнутую подгруппу. (Применять а).) 3) а) Пусть К вЂ” компактная группа, ń— множество ее элементов порядка и. Понвзать, что если К ,-ь Е„пря любом л, то множество элементов нз К бесконечного порядка плотно а К. (Если Е„имеет иенустую внутренность, то Еы= К для некоторого целого т,~п.) Ь) Пусть à — номмутатнвная дяскретнав группа, порядки элементов которой не ограннчены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
