Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(Использовать а), Ь), упр. 3 с) и уп~. 14 1) к $ 1.) д) Вывести из с), что группа О, открытая в Х (лу'(6)), не плотна в Х(лу~ (6)). 1) Пусть Р— замкнутая часть в 6 и К вЂ” компактная часть в О, такие, что РГ) К=Я. Показать, что существует непрерывнаи функция я щ Е' (6), такая, что ~й равно 0 на Р и 1 на К. (Рассмотреть свертку функции ) из и'1, замечание 1, с преобразованием Фурье некоторой функции вида ЛАК где й, й'щ3з (6), и йай' 1 иа К.) 2) Пусть и — комплекснаи функция, определенная на ) О, + со (, интегрируемая по мере Лебега.
Предположим, что ) я(1) И=1 и что о й(1)1'"ЖФО для всех хщ!(. Пусть à — измеримая и ограниченная о +Ф комплексная функция на )О, +со(, такая, что — ) и! — 1Г(г)г(1 стре. х 1 ~х1 о мится к конечному пределу 1, когда х стремится к + со. а) Показать, что дли каждой комплексной функции й, определенной на ) О, + ао(, интегрируемой по мере Лебега и имеющей равный 1 интеграл, — ' ~ й ( — ') ) (1) И о !72 Коммутатиеные локально ком«актные еруппы 1'л. П стремится к 1, когда к стремится + ьо. В частности, ! ~)(1) И о стремитси к 1 при к-ь+ оь. (Полагая у,(1) 1у(1), Ь,(1) тй(1), убедиться в том, что у, тн !.'(й+); ьт у! нигде ие обращается в нуль и У! ° ! стремится к 1, стало быть, й, ! стремится к 1.) Н) Показать, что если функция )(1) является слабо осцнллирующея на й+, когда 1 стремится к + ьо, то !!щ )(1) !.
т-ь+ 3) Пусть ! тн !. ((О, ьо() н й са й+. Показать, что если + ! ( -Оццж к 1 е стремится к 1 при х-ь+ ьо, то — ~ (х — 1)а-!! П) бт а с стремится к 1 прн к«+со. (Рассмотреть функции у(1) е т и Ь(1) =й(! — 1)а ' для 0~1~ ! н й(1) О для 1> !.) 4) Пусть ): й-айну: й-«С — две функции. Допустим, что)щ(, (й), был !.ь(й), интеграл у равен ! н т у нигде не обращается в нуль.
Предположим, далее, что ! — медленно убывающая функция, т. е. !цп !п! (! (у) — ! (х)) ~«О при х-ь+ ьо, у> х и у — х-и О. Показать, что если (у ь)) (х) стремится к 1 при х -ь + оо, то )(к) -ь! при к -и + со. 5) Пусть у: й -и С вЂ” непрерывная функция. такая, что зор ! у(0! <+ «<т<«+! Ясно, что уен !.'(й). Предположим. что ~ у(1) Ж ! и Уу нигде не обращается в нуль. Пусть, далее, р — комплексная мера иа й, такая, что ( р ! ((х, х + !)) остается ограниченной, когда х пробегает й.
Показать, что если (у * м)(к) стремитсн к ! прн « -ь + оо, то для любой непрерывной функции Ь: й -ь С, такой, что зир )Ь(1)! С+со «ат~«+! н интеграл Ь равея ), (Ь ° м)(к) стремятся к 1, когда к стремятсв н+ оо. (Показать, что функция й ь р явлиется слабо осциллврующей и что. (у ° (А*И))(х) стремится к 1, когда к стремится к + оо.) 6) Пусть у — некот«рзя функция, для которой выполняются предположения упражнения 2. Предположим дополнительно, что д > О и 1УЗ Уярозхненяя !Ьп 1п( я(х) >О. Пусть, далее, [ — измеримая вещественная ограниченная хо о снизу функция на интервале )О, + оо(. Показать, что если интеграл + о — ~ 2( — )[(!)б! о стремится к 1, когда х стремится к + оо, то х о(х) — [ [(1) бт 1 о стремится к 1, когда х стремнтси к + оо. (Показать, что функция о ограничена при х~ 1, затем, что о — медленно убывающая функция и, пако.
неп. что +оо — „~ и ~ — ) и(!)и! в стремится к 1, когда х стремится к + оо.) 1[7) а) На последовательности (1, 2, 3, ...) определяется так вавываемая функция Мебиуса р. следующим образом; р(а) ( — 1)», если и авлагается в произведение й простых попарно различныя множителей в частности, п(1) !), и р(л)=0 в противном случае. Для х>0 поло. жим М(х) ~ч»', !о(л) и [(х) х 'М(х). Показать, что тогда функция 1 а<х ограничена и [(у) — [(х) О ((у — х)/х), гак что ! — слабо осциллирующая функция на группе Й+. Ь) Для х>0 пусть [х[ — целая часть х.
Положим яо(!) [! !1 и з(Г) 2зо(!) — пко(ат) Ько(Ы) (а, роз 1(+). Тогда п(Г) — ограниченная функция в окрестности точки О, равная нулю для достаточно больших 1; стало быты я — иитегрируемаи по мере Лебега функция на интервале ) О, + оо (. Показать, что если з зп С и 32»>0, то +оо и(!)С'бг=(2- -'-Ь-з) ь('+'), 1+3 о где ь(1+ з) )'~ и ~~~и, Допуская, что а ! ь (з) —— 1 з 1 продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция н что функция ь(з) также продолжается, нигде не обращаясь в нуль на прямой 52з 1'), аывестн, что +оо ~ д(г) !!ха~О о ') См., например, Ча11гоп 6., ТЬбоые без 1опс1!опз, 1.
1, Раг!з, 1942, рр. 505 — 510. 174 Колтиутатиеные локально компактные группы 1'л. 1) длв всех х ти Й + ьь с) Показать, что ) у(1/х)((1)т(1 о(х), когда х-а+со. Вывестн, е что М(х) о(х), когда х-ь+ ьо. 8) Пусть йт (О, + сь(-ь Й вЂ” монотонно возрастающая неотрицательная функция, такая, что функция 1>-ые еф(1) ннтегрнруема по мере Лебега, когда о>1. Для каждого числа з ем С, такого, что утз>1; поло. +» жнм 1(е) ) е еф(1)г(1. предположим, что существует число Агмс о обладающее следующим свойством: когда и стремится к 1, оставаясь ) 1, функция т ь-. ) (о + 1т) — (т щ Й) А равномерно стремится на каждой компактной части Й к некоторой функ- ции у.
Показать, что тогда 1ип Ф(1)е г А. г-ь+ы (Положим а(1)=е гр(1) для 1)0. а(П 0 для га,О, А(1) А для 1>0, А(1) = 0 для 1(0. Пусть Х)0. Положим, далее, йх(1)-Лйт/2 ( — ""2 '), ( ~ — / — !, / ~(ьь. ((х (1) = О, если )1( > 2)ь Используя упр. 1 к 5 1, теорему Лебега — Фубини и теорему Планше- реля, показать, что !оп= ) йа(х — 1)(а(1) — А(1)) е ее г(1= е-ье )г 2а е>о зх ) К ( ) '"" ( ) г(Ь Уйа и вывестн равенство 11ш — ~ йт,(х — 1) а(1) д1 А 1 хь+ы )г2а Доказать затем, что а — ограниченная и медленно убывающая функ. цня. Наконец, применить упр. 4 или получить результат непосредственно.) 9) Пусть Я.— множество всех (тир'(Йз) (5 1, упр. 15), таких, что ьр ( аннулирует сферу Бз.
Пусть, далее 3 — множество всех 1 ем Я„таких, что (д(ду,)(~() аннулирует Ьь Пусть, наконец, 0,Я,— замыкания Д, ф в г.г(Йь). Показать, что тогда йЩ й(Я.)=бы но $~$. (Пусть ив положительная мера единичной массы иа Ьт, иивариаптиая относительно Упражнения 175 ортогональной группы в )(з. Показать, что (У'р) (у„у„уз) = (з!п 2пг)/2яг, где г= У у~~+уз-1-узз. Вывести отсюда, что функция 1 на !(з, определенная равенством )(У! Уз УЗ) У|(~~ р)(У3 Уз УЭ) является алементом из Е~(йз), ортогональным к з, но не ортогональным к $..) 1О) Назовем С-миожестаол в 6 замкнутую часть Е в 6, обладающую следующими свойствами: если )щЕ'(6) н 'Tг аннулирует Е, то для любого е>0 существует функция ущЕ'(6), такая, что (Г' — (Э у(<а и зпрр(УУ) — компактное множество, не пересекающееся с Е.
Показать, что а) Если Е есть С-множество в 6, то сущестнует единственный замкнутый идеал О в Е'(6), для которого й(3) = Е. !э) Любая точка из О является С-множеством. с) Объединение двух С-множеств есть С-множество. б) Любое множество, полученное сдвигом С-множества, само является С-множеством. е) Если Н вЂ” замкнутая подгруппа в О, Š— замкнутая часть в Н, такаи, что ее граница Е' относительно Н является С-множеством относительно О, то Е является С-множеством относительно 6.
(Использовать упр. !6 к й !.) 1) Пересечение Е в !(Я конечного числа заикнутых полупространств есть С-множество. (Провести индукцию по размерности аффиниого надпространства, порожденного Е, и применить Ь), с), б), е).) 11) Пусть Š— замкнутая часть в !(", Предположим, что существует внутренняя точка р множества Е, такая, что любая прямая, проходящая через р, пересекает границу множества Е не более чем в двух точках. Показать, что тогда существует единственный аамкиутый идеал в П (!(я), такой, что Р'г аннулирует Е. (Представить функцию ( как предел в Е'(Кгг) функций, полученных нз ( с помощью гомотетий с центром в точке р.) 1) 12) Обозначим через а меру Хаара группы О, а через чг — фильтр окрестностей элемента е в О.
а) Пусть Π— интегрируемая открытая окрестность элемента е в О. Показать, что существует неотрицательная функция ащ Е'(6) с интегралом, равным 1. обращающаяся в нуль вне (Г. такая, что Р агмЕ'(0) н а (х)'Ах ~ (2(а (6). (Пусть У вЂ” компактная окрестность элемента е, а такая, что У~:6, а(6) <У2а(У); пусть, далее, Ят — симметричная компактнан окрестность влемента е, такая, что Уйт)~6; функции а ищется н виде а =Л)ау, где Л вЂ” положительная постоянная, а Е у — характеристические функции окрестностей У(У и йг.) Ц Пусть )щЕ (6).
Обозначим через А(0 множество элементов из 6, принадлежащих слабо замкнутому инвариантному относительно сдвигов надпространству в Е (6), порожденному функцией Е Показать, что если Е угмЕ (6), то А()у) <: А(!) А(у). (Пусть 6 — какая-нибудь окрестность элемента е. Покааать, что функция (у является слабым пределом линейных комбинаций элементов нэ О, принадлежащих множеству А(() СА(у) 6.) Коммутативныв локально компактные группы Гл.
Н 176 с) Пусть утмЬ (6), К вЂ” компактная часть 6, ) — функции нз Ь'(6), такая, что Г) обращаетсн в нуль на А=А(у) и вне К. Для каждой окрестности 1' ш ю пусть е (У) — верхняя грань множества значений ( Г)! на АУ. Показать, что если 1!ш!п(яе(У)за(У) 'а((АУ А)ДК) О, то (Ьд) =О. (Пусть в>0. Существует компактная часть Н в 6, такая, что ~ !1) ох ~ е. Далее, существует открытан окрестность 0 элес и мента г в 6, такая, что ! (х, х) — 1(» (е прн хшН, хш(т'. ПРименяя а) к 0 и О, получим функцию ащЬ'(О). Пусть Ь=Ф ашЬт(0), Используя Ь), показать, что Г (Ь|) обращается в нуль вне А6. С другой стороны, ~ ) гй ох — ) 1дЬ пх ~ (» е ( !) 1 ), + 2) 1 й 'З, и поскольку Ь убмаЬ'(О), имеем $(Етые!-$(СтетСтнтт/-! ( цтздтцеуп!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
