Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поназаттн что тогда Г допускает счетную фвкторгруппу, обладающую тем же свойством. (Привлечь те же соображения, что и при решеиин упр. 2 а).) с) Показать, что если каждая онрестность элемента е в 0 содержит элемент бесконечного порядка, то О содержит метрнзуемую замкнутую подгруппу, обладающую тем же саойством. (Свести общий случай к слу. чаю, когда 6 — компактаая группа. н применить а) н Ь).) В противном случае н если групйд 0 не дискретна, то существует целое число д) 1, такое, что группа О содержит замкнутую подгруппу, нэоморфную группе (2/42)м. (Применнть Алг., гл.
ЧП, э 2, упр. 4 с).) 4) Показать, что если группа 0 компактна, а 6 содержит элемент бесконечного порядка, то существует нетривиальный непрерывный мор- Упражнения фнзм нз й в О. (Поскольку й — делимая группа, существует нетривиальный морфизм из О в Й.) 5) Пусть р — простое число. Показать, что групна Яр не представляется в виде произведении компактной и дяскретиой групп. (Всякаи компактная подгруппа в ()р имеет вид р"Ур с некоторым л зн 2.) 5) Показать, что если Π— группа, состоящая нз элемеятов конечного порядка, то О и О вполне несвязны. (Группа О вполне несвязна в сиду следствии 2 предложения 4.
Доказательство того, что группа О вполне несвязна. свести с помощью предложения 3 к случаю, когдв О компактна. Показать затем, что все элементы О имеют конечный порядок.) 7) Элемент х щ О будем называть элементом бесконечной высоты, если для любого и гы 2 существует элемент ущ О, такой, что р" к, Показать, что если О компзктнз, то множество элементов бесконечной высоты ивлиетси свизной компонентой единицы группы О. ч(8) Показать, что следующие условия эквявзлентны: о) 0 — локально связная группа; 5) О изоморфна группе й" Х Е Х Р, где Е и 0 днскретиы я каждая подгруппа конечного ранга в 6 свободна. 9) а) Пусть а = (аз, ан а,, ...) — некоторая последовзтельность целых чисел ) 1.
Снабдим группу 2 структурой топологического кольце, для которой множества Хаза, ... а„ образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Обозначим через бз пополнение этого кольца. Показать, что б — нполне несвнзный метризуемый компакт.
Попахать двлее, что ес и р — простое чи ло и аг = р при всек й ба = 2р Ь) Обознзчим через 2(а ) мультнпликативную группу комплексных чисел вида ехр(21яО(аза, ... аг))()щ2, гщ 5)), снабженную дискретной топологией, Показать, что отображение т г — ь т(! ) является изоморфнзмом из (б )л на 2(в ). с) Пусть  — подгруппа в В Х бе, состоящая из элементов вида (и, и), где п щ 2; она дискретна. Положим 2 (й Х Л )/В. Показать, что 2 — связная метризуемаи компактная группа, (Заметнтгь что канонический образ й в 2 плотен, и воспользоваться леммой 1.) б) Пусть à — аддитивиая подгруппа дискретной группы Я, состоящая нз всех рациональных чисел ввдв Яаза, ...
и,)(1 а 2, г щ М). Если у ен (Ез) , то у. определяет унитарный характер группы К Х Лз и, стало быть, унитарный кзрзктер на й, имеющий вид х ь-~ ехр(21яахх), где ахен й. Показать, что отображение т,г — ьох ивлиется изоморфизмом группы (2 ) иа Г . е) Показать, что группа ь) канонически изоморфна группе Х при а=(2, 3, 4, 5, ...). 1) Пусть нл — группа )1, снабженная дискретной топологией.
Показать, что (м )л изоморфна группе (2 )', где а=(2, 3, 4, 5..), с — мощность континуума. (Рзссмотреть базис й над ().) $10) Топологнческая группа называется молотегической, если существует элемент этой группы, степени которого плотны в ней, и соленоидолзаой, если существует непрерывный морфием из К в эту группу, обрез которого плотен. з) Показать, что йз (сохраняются обозначения упражнения 9) — монотетическая группа и что каждая вполне несвязная монотетическая компактная группа топологически изоморфна группе б при некотором а. Ь) Предположим, что О компактна.
Показать, что для того, чтобы группа 0 была монотетической, необходимо и достаточно, чтобы группа 6 ПО Номмутатнгныг локально комнактныг грунлм Г'л. г! была изоморфна некоторой подгруппе в Т, снабженной дискретной топологией. с) Предположим, что 6 компактна. Показать, что следующие условия эквивалентны: а) группа 6 соленондальна; (1) группа 0 изоморфиа некоторой подгруппе в Гм снабженной дискретной топологией; у) 6 — группа без кручения н Сагд 6 ( с (мощность континуума); д) 0 — факторгруппа группы (2 )', где а = (2, 3, 4, 5, ...).
д) Показать, что если 6 — компактная соленоидальная группа, то С вЂ” монотетическаи группа. 11) Обозначим через Л (О) множество непрерывных представлений группы 0 в )1. Назовем одноларамгтричгской нодгрункой в 6 образ непрерывного морфизма из )( в 6. а) Показать, что следующие условия эквивалентны: а) 6 представляется в виде объединения однопараметрических подгрупп; 3) каждый морфизм из л в 6 продолжается до непрерывного морфизма из )( в 6; у) каждый непрерывный морфизм из 6 в )1/л порождается путем перехода к факторгруппе некоторым элементом из Л(0(; д) каждый унитарный характер группы 6 имеет вид г~~, где Л ьм Л (6). Ь) Если группа 6 имеет счетную базу, то условия, перечисленные и ! в а), эквивалентны следующему: е) 0=)1 ХТ, где ! — счетное множество.
с) Объединение одиопараметрических подгрупп в С являетси плотной подгруппой в связной компоненте единицы группы 6, (Применить упр, 4.) д) Если !ь-ьтг — непрерывное отображение интервала (О, 1) в 6, такое, что Х, =г, то существует отображение Г ь-ь Л! из (О, 1) в Л(6), такое, что а) Лг(х) для каждого элемента хщ6 непрерывно зависит от г; д) х = ехр(2!яЛ ); у) Л =О.
е) Объединение однопараметрнческих подгрупп в 6 является также объединением дуг из 6, содержащих г (дуга из 6 определяется как образ непрерывного отображения из (О, 1) в 6). (Применить 4).) 12) Сохраним обозначение Л(6) из упражнения 11. а) Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6. Показать, что каждый эле. мент пз Л(Н) продолжается до элемента из Л(0). (Свести эту задачу сначала к случаю, когда 0 =)(нХ6, где Р— дискретная группа, затем к случаю, когда исходный элемент из й(Н) тривиален на )1, и, наконец, к случаю, когда группа 6 дискретна.
Воспользоваться тем, что группа (( делима.) Ь) Показать, что каждый непрерывный морфизм из Н в )1 Х Т~ (! — произвольное множество) продолжается до непрерывного морфиэма из 6 в )1 ХТ!. (Применить а) и теорему 4 э!.) с) Обратно, пусть А — локально компактная коммутативная группа. Допустим, что для любой локально компактной коммутативной группы 6 и любой замкнутой подгруппы Н в 0 каждый непрерывный морфизм ф из Н в А продолжается до непрерывного морфизма из 6 в А. Показать, что тогда существуют такие число к и множество Г, что группа А изоморфна )( ХТ ° (Полагая 0=)( и Н=Х, показать, что группа А связна н и, следовательно, представляется в виде )(н Х Р, где Р— дискретная группа.
Показать, что Р— проективный и, стало быть, свободный Е-модуль.) 13) Пусть С вЂ” компактная часть 6 и в > О, а) Пусть а — мера Хаара на 6. Показать, что существует компактная часть Р в 6, такая, что а(СР)~(1+ э) а(Р). (Случай, когда 6 =)хн, тривиален; задачу можно свести к случаю, когда С содержит компактную открытую подгруппу Н, такую, что С являетси насыщенной по Н, Миражиения поэтому можно ограничиться случаем дискретной группы О; затем можно предположить, что Π— группа конечного типа и, наконец, что 6 =Хл.) Ь) Показать, что существует функция й а Е' (6), такая, что 'Гй щ 3з' (6), ('У й)(х)=1 для л зи С и 1! й,11~1+ в.
(Выбрать функцию й в виде Л/й, где Л вЂ” постоянная, а преобразования Фурье функций Е и щ Ез(6) являются характеристическимя функциями надлежащим образом выбранных множеств, и применить а).) ч(14) а) Предположим, что каждая окрестность элемента е в 6 содержит элемент бесконечного порядка, Показать, что существуют вполне несвязная совершенная метрическая компактная часть Р в О, являющаяся иножеством Кронекера, и ненулевая рассеянная мера, сосредоточенная на Р. (Свести задачу к случаю, когда группа 6 метризуема, и применить упр. 3 с).
Воспроизвести далее конструкцию из Облч. гоп., гл. ГХ, 2-е изд., з б, лемма 3, и, кроме того, воспользоваться упр. 14 е) к $1.) Ь) Показать, что если 6=(л/дл)", то существуют вполне несвязная совершенная компактная часть Р в 6 типа Кч и ненулевая рассеянная мера, сосредоточенная на Р. с) Предположим, что группа О не дискретиа. Показать, что существуюж а) элемент т излй' (6), такой, что зпр) У т! строго мажорируется спектральным радиусом элемента ч; й) необратимый элемент т' из йч (6), такой, что 'У т' ) 1 всюду на О; у) не эрмитов характер на ля'(6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
