Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 32
Текст из файла (страница 32)
160 Коммутатаоные локально комаактные грунои Гл. т'т', З 3 хоза пространства Т.'(6) является эндоморфизм й' —: 1 ьд' (соответственно д' ~е, ь у') банахова пространства Т. (6) (Интегр., гл. ЧП!, $4, и'3, пример 6). Для того чтобы замкнутое векторное подпространство в Т,'(6) было идеалом в Е'(6), необходимо и достаточно, чтобы оно было ннвариантным относительно сдвигов на О. Стало быть, для того чтобы слабо замкнутое векторное надпространство в Т.
(6) было инвариантным относительно свертки с элементами из 1.'(6), необходимо и достаточно, стобы оно было инвариантньлм относительно сдвигов на О. Пусть Π— слабо замкнутое векторное подпространство в Т. (6). Предположим, что У (а значит, Уь) инвариантно относительно сдвигов на О. Пусть 1ен т'.'(6). Для каждой функции денЕ (6) имеем (1 од)(х)=(е„ьг,д).
Стало быть, для того чтобы функция ~ принадлежала 0ь, необходимо и достаточно, чтобы 1 од=О для всех цен У. Если Ф' — векторное подпространство в Ь (6), слабо замкнутое и инвариантное относительно сдвигов, то мы обоаначим через А(Ф') множество всех 11 ы О, принадлежащих Ф', это множество является замкнутой частью в О. Если Р— замкнутая часть в О, то мы обозначим через т'(Р) слабо замкнутое векторное надпространство в 1,"(6), порожденное элементами из Р; поскольку каждый сдвиг на 6 переводит любой характер в пропорциональную ему функцию, )т(Р) инвариантно относительно сдвигов. Применяя обозначения Ь и 1, введенные в замечании 2, и' 1, получаем, что (3) А(Я7) =(Ь()Р)) ', (4) )т (р) (1(р-~))о Из соотношений Ь(1(Р)) = Р, 1(Ь (У)):э У следует, что (5) А(т'(Р)) = Р, (6) )Г(А(Я7)) С: йт".
Пгндложннин 3. Пусть )Р' — ненулевое слабо замкнутое векторное надпространство в Т. (6), инвариантное относительно сдвигов. Тогда ЯГ содерлсит по крайней мере один характер группы О. Действительно, йть Ф 1.'(6) н, стало быть, Ь(В'ь) Ф 8 (теорема 1); следовательно, А()(т") Ф О (формула (3)). Пгедложанин 4.
Пусть йт — слабо замкнутое векторное подпространство в Т. (6), инвариантное относительно сдвигов. Тогда 3 Гармонический синтез в лростринствик ь'(0), ьз(0), ь (О) 161 (1) Для любой окрестности ст* множества А()т') в д каждая функция из ))7 является слабым пределом линейных комбинаций характеров, принадлежащих У. (й) Если граница множества А(Ф") не содержит непустых совершенных множеств, то каждая функция из Ф" является слабым пределом линейных комбинаций характеров, принадлежащих Для доказательства утверждения (!) достаточно доказать следуюп)ее: пусть 1 — функция из Ь'(0), ортогональная к элементам из У; тогда 1 ортогональна к ))т". Но У 1 обрапгается в нуль на множестве с) ', которое является окрестностью Ь(Иго) (формула (3)); стало быть, 1 ен )Р'о (предложение 1).
Утверждение (П) устанавливается аналогично с применением теоремы 2 вместо предложения 1. Пусть йт — слабо замкнутое векторное подпространство в ь (6), ннварнантное относнтельно сдвигов. Отыскание характеров, прннадлежащнх Гт', няогда называют «гармоннческнм анализом» в %'. Предложе. нне 4 выражает то обстоятельство, что можно в некотором смысле восстановнть злементы пз )т" с помощью вышеупомянутых характеров, нлн, как говорят, осуществить «гармоннческяй синтез» в )т'.
В более широ. ком смысле решение проблем, аналогнчных нлн эквивалентных рассмотренным в и' ! н 3, также называют «гармоннческям синтезом». 8. Гармонический синтез в дР(«т) Ламмл 3. Пусть Х вЂ” локально компактное пространство, )ь — некоторая неотрицательная мера на Х. Для каждой функции ) ы Е (Х, 1ь) пусть )т! — отображение чр — «чрг пространства Ьз(Х, )ь) в себя.
Пусть Т вЂ” непрерывный эндоморфизм гильбертова пространства Ез(Х, )ь), коммутирующий с т'! для каждой функции 1' я= дТ(Х). Тогда существует функция яянЬ (Х, и), такая, что Т=У . 1) Пусть )ен Ь (Х, )ь); покажем, что Т коммутирует с )тр Для любых й,)ген Ьт(Х, р) имеем (ТУ)й)й) — (У)тй(й) =ай)т*й) — (((Туей) = = ~ ~(х)ц(х)(Т«)г)(х)й)х(х)— — ~ 7 (х) (Тд) (х) Б (х) с!)ь (х). Но д ° (Т* й) я=Е'(Х, )ь) и (Тй) ° )ь = Е'(Х, )ь); стало быть, (Т)т)й)п) — Я1Тй)Ь) — непрерывная функция от элемента 1 в топологии о(Е (Х, )ь),ь'(Х, )ь)); по предположению эта функция равна нулю для всех ~~Я'(Х), следова- 1З2 Коммутитивные локально компактные грутигы Гл. П, Э Я тельно, она тождественно равна нулю. Тем самым доказано, что ТУ1 — — 71Т. 2) Пусть У вЂ” некоторая 1»-измеримая часть Х, ~рт — ее характеристическая функция, ̈́— подпространство в ьт(Хор), состоящее из функций, равных нулю на Х У.
Тогда, в силу 1), Т коммутирует с Увт и Гв» „, т. е. о тавляет инвариантными подпространства Нт и Н» „. Обозначим через Т„сужение Т на Нт. 3) Предположим, что Х вЂ” компакт. Тогда 1 ~ Ет(Х, 1»). Положим д= Т(1) ен 1Р(Х, и). Пусть У вЂ” множество всех таких х ~ Х, что ~Е(»К >~~ Т1~. В силу 2), имеет место равенство Тйрт !) =~Гт Т(1)=щи, следовательно, ) ~к(х))Чр(») (~'з Т й ~с(й(х).
Стало быть, множество У является и-пренебрежимым. Таким образом, ~д~(~~!Т!! почти всюду. С другой стороны, для каждой функции Т~Л'(Х) имеем Т(1)= Т(У,1) =У,(Т1) =У,й=1Е=У, откуда Т=У . 4) Перейдем к общему случаю. Существует локально счетное семейство (Х„) попарно непересекающихся компактных частей в Х, таких, что Х вЂ” Ц Х„вЂ” локально пренебрежимое мнои жество (Интегр., гл. Ю, 2-е изд., $5, и' 9, предл. !4). При- меним 3) к каждому Т . Тогда существует функция пь, изки меримая на К„, такая, что (йг„~(~!!Тз' на К, и Тк ) =д,)' для ~ ~ Нкы Пусть а — функция на Х, равная и, на К, для каждого а и О на Х ЦКи. Тогда ст — элемент из Ь (Х,р).
и Операторы Р и Т совпадают на каждом Нк и потому на к„ Ег(Х, и). Предложение 5. (1) Пусть М вЂ” измеримая часть 6 (относительно меры Хаара). Тогда множество всех таких ~~ Ег(6), что ст7 обращается в нуль почти всюду на М, является замкнутым векторным подпространством Ем в Ее(6), инвариантным относительно сдвигов. (В) Пусть М и М' — измеримые части в 6. Для того чтобы Еи = Ем„необ»одино и достаточно, чтобы М и М' совпадали с точностью до локально пренебрежимого множества. в снарионинесхиа синтез в пространствах А'(б), с'.е(О), (."(б) )ЗЗ (ш) Всякое замкнутое векторное подпространство в Ез(0), инвариантное относительно сдвигов, совпадает'с Ем при некотором М, Утверждение (!) немедленно следует из теоремы Планщереля. Если М и М' совпадают с точностью до локально пренебрежимого множества, то ясно, что Е„= Е,„Если же М и М' не обладают этим свойством, то существует, например, компактное множество К, не пренебрежимое и такое, что Кс: М, Кс:6 М', пусть ~р» — его характеристическая функция.
Поскольку у» ен Е'(О), существует функция 7 ен Е'(6), такая, что У ( =ср». Тогда ( ен Ест, '( ен Ем и, стало быть, Ем чь Е,. Тем самым (В) доказано. Пусть, наконец, Š— замкнутое векторное подпространство в Е'(6), инвариантное относительно сдвигов. Тогда для каждой функции ) ен Е'(6) надпространство Е н ортогональное дополнение к Е в Ет(0) инвариантны относительно эндоморфизма ф э) вср в Ез(0) (Интегр., гл.
Ч111, $4, предл. б (В!)); стало быть, ортогональный проектор Ре на Е коммутирует с этим эндоморфизмом. Выберем в качестве ( преобразование Фурье функции вида д, ад,, где по дзен Я(6 ). Принимая во внимание предложение 7 $1, мы видим, что эндоморфизм У РеУ ' пространства ье(0) (где У У'о) коммутирует с оператором умножения на и, *да. Для каждой функции Ьс ~ Е (6) обозначим через )с эндоморфизм ф ~ аф пространства Е'(6). По непрерывности из предшествующего результата следует, что У РеУ ' коммутирует с )' для с ензс" (6), В силу леммы 3, У'РеУ ' имеет вид )св с некоторой функцией Ь ~ Е" (6).
Так как Ре = Ре= Ре, то )са = г =1/а — )са и, стало быть, Ь=Ь=Ь, так что Ь вЂ” характе- 2 ристическая функция некоторого измеримого множества М. Если ('ен Ез(6), то ) ен Е М Ре1 = 1 И Ун У 1= У ) ФФ ЯУ) обращаетсявнульпочтивсюдуна 0 М4ф(енЕ- „ откуда следует утверждение (И). УПРАЖНЕНИЯ Во всех упражнениях главы 11 через 0 обозначается, если не оговорено противное, коммутативная локально компактная группа, $1 1) Пусть 0 !1. а) Пусть а, р Ч~ый и р<~е.
Положим )(х) е™ для р~к<,, 1(х) 0 для к>е нлн х<р. Тогда есг(и злз) — е'еЮ тии! (р))(р)-! Ь) Пусть в~и!1, й>0. Положим !(х) е' р+~е1х для х~О, !(х) 0 для х<0. Тогда ('1 ))(у) с) Пусть а>0. Положим !(х) е е1х1. Тогда о 2 (е' !) (у) й з б) Положим 1(х) е хй~. Тогда (У))(у) Ут2име т"", < 40 Полагая и (у) ) е " д ~х" йк, убедиться в справедливости равенства г йс(у) — ул(у), после чего применить формулу ) е дт — р и из 2 е Функи.
действ. пер., гл. Ч!1, $1, п'3, Ч( 2) а) Показать, что функции гэ-ь !ее ит (л О, 1, ...) образуют тотальное множество в 1 э ()1). (Пусть ) сп 1.з (!1) — ортогональная функция к каждой нз фуннций !"е " . Полагаи ОР Р (к) ~ ! (1) яр тиых дт показать, что Р— целая функция, все производные которой в точке 0 равны нулю. Вывести отсюда, что бг (!е " ) 0.) Ь) Пусть йзмв), Р~иС(!), а — старший коэффициент Р. Показать, Упражнения что тогда интеграл ) ((т//т//)е ~п') Р(/)т// равен О, если бей Р<й, н О (-1)" й12 /'а, если бейР й.
с) Имеет место равенство (т/"/т// )(з " ) Ра(/) е " .где Ра — мио. гочлеи степени й со старшим коэффициентом ( — 1) 2эзла, б) Длн тн ш й/ и /эи (! положим М (/) ( !)зт ( /)-1/~2ГЬ!-тн -эт/Э Элп ~ ( энн). ,ЦПЙ Мм называются функциямн Эрмита. Показать, что они образуют ортонормированиый базис в т'.э((!). (Применить а), Ь), с).) е) Показать, что У (Мзт) = (-/)этМзт. 3) а) Пусть а>0, й>0 н /: )(-+)! — функция, равная нулю вяе )-а, а(, линейная на (-а, 0) и (О, а) и равная й в точхе О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
