Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для доказательства равенства Ф(ь'(6)) = Е2(6) достаточно показать, что У (А) плотно в ь'(6). Пусть й — элемент из Ь'(0), ортогональный к ~(А). Если 1, д ~ А, то (У !)(У д) = =У (!»д)~У (А); следовательно, функция й (У7) ортогональна к У д. Поэтому й (У!) ортогональна к У (А) для любой функции ~яА.
Но Ь (У7)сЕ'(0) и У (А) плотно в (!ть(6); стало быть, функция й . (У7) локально нулевая относительно ах. Поскольку множества ь)1 образуют открытое покрытие пространства О, отсюда следует, что й=О, чем и доказывается наше утверждение. Пусть )~Ь'(6)ДЕ2(6). В силу леммы 1, существует фильтр 8 на А, сходящийся к 1 одновременно в Е1(0) и ье(6) Имеем Ф(1)=!!тв,еФ(д) =1!гпцеУ а в ~.'(6) и У7=!!те,еУ"д в Жс(6); следовательно, У у=Ф), чем и завершается доказательство теоремы. Мы будем обозначать нзометрию пространства ье (6) на У(6), указанную в теореме 1, по-прежнему через У и сохраним за этой изометрией название преобразования Фурье. Аналогичным образом, продолжение изометрни У на ьз(6) будет по-прежнему обозначаться У и называться копреобразованием Фурье. б» 132 Коммутатоеные пококьно компактные ероппы Гп П, у 1 4. Формула обращения Фурье 1яредваритеяьныб случай) Поскольку У вЂ” изометрия из ьт(6) на т'.т(6), получаем (1~ у) =(У 1~ У у) для любых элементов 1, доит'.т(6).
Иначе говоря, (20) (1 е д)(е)= ) У1(Х)У д(х)ах Выбирая, в частности, 1, усн ут (6) П 1,т(0), получим У1 У д=У (1т э у) ~Ат(0), Пгвдложвнив 4. Если 1еиА, го У7~Лт(0) и для всех хяО (21) )(х)=~(й, х)(У1)(2) И а («формула обращения Фурьеъ). Действительно, формула (20) немедленно приводит к фор- муле (21) при х=е; чтобы получить общий случай, доста- точно функцию 1 заменить функцией з„т *1. Если мы рассмотрим теперь вторую двойственную группу 6 к группе 0 и каноническое отображение т1 из О в 6, то сможем записать формулу (21) в виде (22) 1'=(УУ 1)пт1 для всех )~А.
Замечание. Пусть РеиЬ'(6) ДЬз(0). Полагая 1=У Реть получим функцию, непрерывную и ограниченную иа 6. Для всех д~Ьт(6)ПЬт(0) имеет место равенство (23) ) д(х)~(х)дх=) д(х)дх) (2, х)Р(х)ат.с= о о = ) У у (2) Р (х) ах, получающееся в результате применения теоремы Лебега— Фубини к функции д(х) Р(2)(2, х), интегрируемой на ОКО.
Далее, имеет место неравенство ~~у(х)1()бх~=а1У.аЬ ~~РЬ=11И1, ~1Р1Ь, из которого следует, что 1 си ~т(6). С другой стороны, при- меняя теорему 1, имеем ~ а(х)1(х) б = ~ У'д(Е)У.1(2)бй= ~ У д(2)У1(2)бй. 133 Преобразование Фурье Сравнивая последнее равенство с равенством (23), мы видим, что Р=Я в Бз(6) и что 1=УУ~ьЧ. Обратно, если ~я Ез(6) и Уганя!(6), то можно применить предыдущее к функции Р=У) и заключить, что ! почти всюду совпадает с непрерывной функцией (У У1) ьЧ. Иначе говоря, формула (22) остается справедливой и для тех ) е Бз(6), для которьех У)еэ Е1(6). Предложвнив 5. Банахова алгебра Б1(6) регулярна.
Достаточно показать, что если Р— замкнутая часть 6 и 11 — какая-нибудь точка из О, не принадлежащая Р, то существует функция ~~Е1(6), такая, что функция У1 равна нулю на Р н не равна нулю в точке т,. Поскольку, в силу (11), У (Ц)=ех*У7, можно без ограничения общности считать, что у„=е, где е — нейтральный элемент в О. В таком случае существует симметричная компактная окрестность У точки е, такая, что У'ПР= О. Пусть Р, и Рз — две неотрицательные непрерывные функции на 6, равные нулю вне У и положительные в точке е. Функция Р, = Р, э Рз равна нулю на множестве Р, а в точке е положительна; поэтому достаточно показать, что Раен У Е'(0).
Но так как Р, ~ Е!(6) () () Бз(6), 1=1, 2, 3, то можно применить приведенное выше замечание. полагая 11 =АР! ь ч, найдем, что 11 ен е'(6), Р, =У"11. Кроме того, 13 У (Р1*Р2) Ч (У Р! У Р2) Ч =(У Р!'Ч) '(У Р 'Ч) =)!!'2 откуда 12 еп Ь'(6) и Рз —— У)з еиУ Б'(0) б.
Теорема двойственности э Ь Теорвмь 2 (Понтрягин). Пусть йх — мера Хаара на 6, ассоциированная с ах. Каноническое отображение и из 6 в 6 является изоморфизмом топологических групп, переводящим йх в йх. Если с помощью этого изоморфизма отождествить э 6 и 6, то копреобразование Фурье из Бз(0) на Лз(6) и преобразование Фурье из Ьз(6) на Лз(6) окажутся взаимно обратными. Покажем сначала, что отображение Ч инъективно и яв ляется гомеоморфнзмом 6 на Ч(6). Для этого достаточно показать, что для каждой окрестности У элемента е в 6 134 Коммутативнете локально комнактнтке еруани Гл !1, 4 ! существует окрестность )тт элемента е в О, такая, что е)-т (М7) с: У. Пусть )т — симметричная компактная окрест- ность элемента е в 6, такая, что Ра~ У, и пусть ! — нену- левая функция нз Л'+(6) с носителем, содержащимся в )т.
Положим д=1 е!. Тогда д ы А, вирра с: У и д(е)) О, Так как топология на 6 есть топология простой сходимости на 1,т(0) (предложение 1), то существует окрестность кУ эле- мента е в О, такая, что л * хен кт" ~1(Уд, х) — (У д, е)1< — йт(е) (напомним, что У д ен Ьт(0) (предложение 4)), т. е. такая, что х ы Ю=)е1(У У д) (х) — (У У й)(е)1< — й(е). Если х~т) т(йт"), то, в силу (22), ~ д (х) — д (в) 1< — и (е), откуда д(х) ~ О и х~ У, так как зпррпс= У. Далее, ц(0) — локально компактная подгруппа в 6, а следовательно, замкнутая в 6 (Обп(. топ., гл. Ш, 3-е изд., 5 3, след. 2 предл. 4) Если бы существовал элемент т.енО, такой, что т,йй Ч(0), то существовала бы (предложение 5) ненулевая функция ! ен!,т(0), такая, что ) !(х)(2, х)Ю~=О для всех х~ О.
Тогда, в силу теоремы Лебега — Фубнни, для любой функции и ~ Ь'(6) выполнялось бы равенство ) !(х)(У и)(х)еИ= ) и(х)Их ~ !(х)(х, х)е(х= О, откуда следовало бы, что ! (х) Нх =О, что абсурдно. Стало быть, т1(0) = 6, Формула (22) доказывает, что 1) У о — нзон н метрия из !.а(6, дй) на !т(6, т)(е4х)), следовательно, Нх— Я е)(е(х); 2) если отождествить О н О с помощью канонического отображения ть то У" еУ окажется тождественным отображением пространства ~а(6). Теорема доказана. л В дальнейшем мы будем отождествлять 0 и 6.
Пусть 6, 6' — локально компактные коммутатнвные группы и тр — отображение из ОКО' в 1). Для каждого Преобразование Фурее элемента х ен 6 (соответственно х' ен 6') пусть а„(соот- ВЕтСтВЕННО (), ) — ФУНКЦИЯ, Х' з Ф (Х, Х') (СООтВЕтетВЕННО х»<р(х, х')) на 6' (соответственно О).
Предположим, что отображение х»-»а„ является изоморфизмом топологической группы 6 на топологическую группу 6'. Тогда, в силу теоремы 2, отображение х' »Ц является изоморфизмом топологической группы 6' на топологическую группу 6. В таком случае топологические группы 0 и 6' называются двойственными относительно ~р, и мы отождествляем каждую из групп 6, 6' с двойственной к другой. д. Неяосредственные следствия теоремы двойственности Теорема Понтрягина показывает, что топологические группы 6 и 6 играют симметричные роли и что относительно пространств 1.з преобразование Фурье и копреобразование Фурье взаимно обратны. Кроме того, имеется естественное соответствие между преобразованиями Фурье на 6 и 0 ~ У 6(х) На(х) = )Г У'а(Я) дй(Х), о о У (У() ° а) =ре У а. (24) (25) Докажем равенство (24).
Имеем ~ У р(х)да(х) = ~ е(а(х) ~ (У, х)е(()(Я). о о Из этого равенства немедленно вытекает (24), если воспользоваться тем, что функция (х, х) интегрируема на 6 Х0 по мере а Э 6, и применить теорему Фубини. Докажем равенство (25). Пусть 2 ен 6. Имеем (У (У р а) ) (Х) = ) (х, х) У р (х) Ыа (х) = с Првдложвнив 6. Пусть а ен М'(О) и 5 ен ит'(6). Тогда имеют место равенства: 1зб Коммутатмоеые локально комооктяые груооы Гл 11, У 1 В этом случае функция (ху ', х) также интегрируема на 6)(6 по мере а 9 й, и теорема Лебега — Фубини дает (У (У () а)) (Х) = )1 4) (у) ~ (ху ', х) йа (х) = 3 о = ~ У а (ху ') Щ (у) = (() ь У а) (х). Слздствив.
Отображение У инъективно на .Ж'(6). Действительно, если У и = О, то для любой функции 1 он 1.'(6) выполняется равенство и(У1) О. Остается заметить, что У ((,1(0)) плотно в Юо(6). Существует много других функциональных пространств на 0 и 6 (помимо простр анств 1Р), для которых У и У" — взаимно обратные изоморфизмы. Например, имеет место Тяогямх 3. Пусть В (6) — множество функций 1 ~ л ' (6), таких, что У"1 еиР(0). Тогда У ~В(0) — биекция из В(6) на В(6) и обратная к ней биекция есть У'! В(6). Пусть 1' ен В(6).
Тогда У 1' ~ Е'(6) П%" (0) с= Ь, (6) () 1.о(6). Положим 1'= У У7 ан ЕР(6). Для каждой функции д ен Л!'(6) имеем (Г. Уа=(Уев)=(ВЬУ.Г)=(Я, у)=(т, Уу). Отсюда следует, что 1'=1~И(6) и У1ен В(6). В то же время, как легко видеть, (У ~ В(6)) о(У ! В(6)) — тождественное отображение множества В(6). Меняя ролями 0 и 6, завершаем доказательство теоремы. Замечание 1. Справедливо соотношение (1 1-'(О) У1 1-'(0))ЧИ 1-'(О) П В (хл (6)) Действительно, из теоремы 3 следует, что (1 ея ~' (6) и ~1 ея Т.' (О)) Ф 1 ен Т,' (6) П У Ф (6)). Обратно, если)'енй'(6) и1=У д, где уенй'(6), то деяВ(6) и, значит, 1ен В(6) в силу теоремы 3. За меча ние 2. Множество В(0) является алгеброй и относительно умножения, и относительно операции свертки.
В самом деле, если 1, уенВ(6), то )*ЮенЕ,'(6) и У (~*у)= =(У7) (У'и) вне'(6), поскольку, например, У1ен 11(6) и Уды~у'(0),. Стало быть, )оден В(6). С другой стороны, Преабраааеанае Ф1»рве 137 1уыЕ»(0), так как 1'енЕ'(О), а д~%"(0); кроме того, 1'=Уг' и й=йгй', где ~', й'~В(0); следовательно, (у= -У (Гад') и, значит, Яй~ В(6). Отметим также, что У переводит свертку в произведение (и обратно) в В(0) и В(0). Впрочем, формула У (1й) = (У )) е (У й) справедлива н в других случаях, а не только когда 1, й ен В(0).
Например имеет место Прядложянив 7. Если 1, д ен Е'(6), то У (1д) =(У 1)е(У й). Это равенство справедливо, если 1, й ен В (6) (замечание 2) и, в частности, если 1, й ~ А (6). Поскольку А (6) плотно в Ее(6) (лемма 1 (ш)), достаточно показать, что левая и правая части предполагаемого равенства суть непрерывные функции от (1, й)енЕе(6)ХЕе(0) со значениями в Же(6). Но отображение (1', д) «У (1й) есть суперпозиция отображения (1, й)» — «1й из Ез(О) Х Ее(6) в Е'(6) с отображением й в У й из Е»(0) в Жа(6); отображение (1, й)»-« » — ' (У7) е (У й) является суперпозицией отображения (1, й) «-« »-«(У1, У й) нз Ее(6) ХЕ'(6) в Е'(0) Х Е'(6) с отображением (й, Ь')» — в Ь е Ь' из Ее(6) Х Е (О) в й'~(0); остается принять во внимание то обстоятельство, что все эти отображения непрерывны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
