Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Тогда отображение Х ь — з. Х (х) позволяет отождествить Х(А) и Зря, Пусть Ж вЂ” множество функций вида Ур на Врх, когда р пробегает всю алгебру А, Показать, что тогда множество Влс(Брх) (Интегр., гл. 111, 2-е изд., $7, и'4) является границей Врх относительно С. (Для проверки того, что 5 (Брх) содержится в этой границе, применить принцип максимума. Обратно, пусть ха — некоторая точка этой границы; для доказательства ее принадлежности к Лрс(Брх) рассмотреть (х — х,), когда г, достаточно близко к хр в С брх.) 19) Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей,  — замкнутая подалгебра с единицей а А Т вЂ” отображение Х ь-з.

Х [В из Х(А) н Х(В),  — отношение эквивалентности в Х (А), определенное отображением Т. Показать, что тогда Т определяет (в результате перехода к факторпространству) гомеоморфизм Х(А)Я на Т(Х(А)), и длн каждой функции [= Ув (х) (где х ш В) величина [[[ достигает своего максимума иа Т (Х (А)). 20) Пусть Л вЂ” круг [а[<1 в С, А — множество всех [ щ (У(Л), голоморфных вкутри Л, А, — банахова подалгебра в 2Г(Л), порожденная алгеброй А и функцией х ь-» [з [. Показать, что Х(А,) гомеоморфио мно- жестаУ тех точек (х„х, х ) щ )(з, дла котоРых хз!+ хат~< хзз, О < <ха < 1.

21) а) Пусть (КХ)Ь Л вЂ” некоторое семейство переменных. Для каждого формального ряда [щ С [[КьЦьыл обозначим через [[[[ сумму абсолютных значений его коэффициентов. Пусть А — множество таких [щ С [[КхЦь д, что [Ц[<+ со. Показать, что после введения обычных операций сложения и умножения А становится коммутативной банаховой алгеброй с единицей без радикала. Ь) Показать, что для любой коммутативиой банаховой алгебры с единицей В существует алгебра типа А и непрерывный морфиям алгебр с единицей из А на В.

22) Пусть Я вЂ” некоторая компактная часть С". Показать, что отображение кь, 1н) ь (1ь ", 1н, [1, ", 1л) является гомеоморфизмом компакта Я на полиномиально ныпуклую комнактную часть Сз". (Пусть А = Ж (Я), з — координатные функции на С". Тогда (а [Я, з, [Я) ' есть система топологических образующих в А, !<г<л а рассматриваемое отображение есть отображение из Х(А) =Я в Ст", определяемое этой системой топологических образующих.) 23) Пусть и на (О, 1), Я вЂ” множество точек (ьь ьз)ш С', таких, что )1~ [~<1, [ аз [ < 1, Яа — множестно точек (Ьь Ьз) щ Сз, таких, что [ Ь1[ < 1, [ Ьз[ < (1 — и)[ ~~[ + и.

гл. / //армированные плгебры 110 а) Показать, что дополнения к Я н !йв в Сз связны. Ь) Показать, что Я является полиномиально выпуклой оболочкой Яз. (если (ь!, ьзо/ем и н Р а с(ь!, Ц, то существует число $ а с, такое, что ($( ! н ~Р/ь!,ьз~)~~~Р($, ь~з/~; но ~Р(й, ьз~)) ~ апр ) Р(Ц!, ~з)).) (ь! ьз) ца 24) Пусть А — коммутативная полная локально ш-выпуклая алгебра с единицей. а) Показать, что элемент х нз А обратим в том и только в том случае, когда у (х) чь 0 для всех непрерывных характеров у.

алгебры А. Раднкал в А является пересечением всех ядер непрерывных характеров алгебры А н, стало быть, замкнут. Ь) Пусть в примере упр, 316) к 3 2 Д вЂ” идеал, образованный всеми /, такими, что /(л) 0 для всех достаточно больших целых л ) О. Показать, что тогда каждый максимальный идеал, содержащий з, является плотным я имеет бесконечную коразмерность. 1) Пусть А — банахова алгебра с едяннцей, Π— группа ее обратимых элементов. Показать, что а) Подгруппа из О, порожденная ехр А, является связной компонентой единицы группы О. Ь) Для того чтобы злемент х еп А представлялся в виде ехр у (у ен А), необходимо н достаточно, чтобы он содержался в коммутативной связной подгруппе вз 6.

с) Для того чтобы элемент х щ А представлялся в виде ехру (р св А), достаточно, чтобы 0 принадлежал неограниченной связной компоненте С Ярк. 2) Пусть А — баиахова алгебра с единицей, 6 — группа ее обратимых элементов, 6! — свизная компонента единицы в О. а) Пусть х !и А и л ~ 0 — целое число, такое, что х" = е. Показать, что к я 6,, (Спектр элемента х конечен. Множество таких Л щ С, что элемент у(Л) = Лх + е — Лз обратим, имеет конечное дополнение я, следовательно, связно. Кроме того, у (О) = е, у (!) = к.) Ь) Предположим, что алгебра А коммутатнвна.

Показать, что каждый элемент нз О/О„отличный от нейтрального, имеет бесковечяый порядок. Если х си 6 и хв<ц 6„ то л" ехр у, р !м А, в силу и' 9, откуда хехр( — у/л))"=е. Применить а).) 3) Пусть А — коммутативиая банахова алгебра с единицей. а) Показать, что если 1 — ндемпотент в А, то ехр(2/я/)=1. Ь) Пусть элемент рснА таков, что сарр=1, Показать, что тогда спектр Зр р (в силу предложеняя 8) сводится к конечному числу точек вида 2!пп, л ам 2.

Для числа Л Ф Зр р имеет место равенство ! ехр (ь (р — Л1)) !/$ (! — ехр ( — Л)) (Л! — р) с Вывестн отсюда, что каждая точка нз Зр р есть простой полюс функ- а цни Я(Л, р). Применяя и' 11, показать, что р 2!и ~ лт/ч, где т ! л...., л !и 2, а / — попарно ортогональные идемпотенты. ч Упражнения Ч[ 4) а) Пусть  — комплексное банахово пространство, е — точка нз В, такая, что ЦеЦ=1.

Показать, что для каждой точки хне В существует предел ![а а-'([с+ах[ — 1); е>о, е+е обозначим его через !р(х). Пусть ф(х) = зпр ф(ех). Показать, еюс, !е[ далее, что ф — полунорма, мажорнрусмая исходной нормой, и что ф(х) зпр[[(х)[, где [ пробегает множество всех [щВ' (В! — двойственное пространство к В), таких, что Ц[Ц = [(е) = !. Ь) Предположим теперь, что  — банахова алгебра, для которой е — единичный элемент. Доказать, что !р (х) 1пп а-' !оп [ ехр (ах) Ц = о>О, е-ье апра ' !оп[ ехр(ах)Ц. е>о (Заметить, что !оп[ ехр(а+ а)хЦ(~1ой[ехр(ах)[+ !од [ехр(ах) Ц) с) Применяя Ь), показать, что Ц ехр (Лх) Ц ~( ехр ( [ Л [ ф (х)). Интегрируя функцию Ль->Л ехр(Лх) по окружности [Л[ р, вывести, что [х[(р ' ехр (рф(х)), откуда, полагая р ф(х) ', получить неравенство Ц х Ц ~( еф (х) (здесь е„разумеется, означает основание натуральных логарифмоа).

б) Показать, что для каждого неиулеиого элемента х из В существует функционал [ ы В, такой, что [(е) = [ [[ 1, [(х) ~ О. (Применить а) н с).) 5) Пусть А — банахова алгебра с единицей, х !и А и  — подалгебра в А, порожденная элементом х. Для того чтобы Зря сводился к конечному числу точек, являющихся полюсами резольвенты, необходимо и достаточно, чтобы б!щВ <+ со. (Если Р(х, Л) ~~', Р!(Л)ар где а, <ы А а=! и Р! — скалярные рациональные функции, то из разложения Я (х, Л) в окрестности точки Л со видно, что х" нвляются линейными комбинациями элементов а! Обратно, если д!щ В < + со, то существует ненулевой полинам [ ~ С [Х[, такой, что [(х) = О.

Тогда Зр х содержится в множестве нулей [. Пусть Л ы Зр х — какой-нибудь нуль функции [(Х) порядка р; пусть л (х) = [(х)(г — Л) р в окрестности точки Л и л (х) = 1 в окрестности Зр х (Л); тогда л (х) — обратимый элемент нз А и О = [(х) е!Л) — — л (х) (х — Ле)Р ер!. откуда (х — Ле)ре ь1 — — 0 н точка Л является полюсом резольвенты.) б) Пусть А — банахова алгебра с единицей, х щ А, У вЂ” открытая окрестность Зрх, содержащая только конечное число компонент связности У; (!' ы!), и [!а У(У). Показать, что для того, чтобы [(х) =О, необходимо и достаточно выполнение следующих условнА: а) для каждого 1, такого, что Зр х П У! — бесконечное множество нли содержащее существенно особую точку резольвенты, [[У! =0; Ь) каждый полюс резольвенты порядка р является нулем порядка ар функции Ц.

(По поводу необходимости этого условия см. упоажнеиие 5).) 112 //армированные алгебры У) Пусть А — круг ~г!(! в С, Каждой последовательности (ео)о>о комплексвых чисел, такой, что ~и~~ ! е„! < + оо, сопоставим функцию о о /(г) ~и~~с„г", непрерывную в А и голоморфную в 6.

Положим !!/!1= = ~~~~ (с„!. Множество всех этих функций на 6 оказывается, таким образом, банаховой алгеброй А с образующей г. Показать, что Х(А) отождествляетси с А, и если /гм А, а функция у голоморфна в некоторой окрестности /(А), то и д /~и А. 8) Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей и х зм А, Пусть 5 — некоторая часть Х (А), замкнутая в топологии Джекобсона, и / — комплексная функция, голоморфная в некоторой окрестности (Ух)(3). Показать, что существует элемент у зм А, такой, что Уу / Ух на 3.

(Пусть Д вЂ” пересечение ядер всех )(<и 5. Использовать функциональное исчисление в А/3 ) 9) Пусть Я вЂ” открытая непустая часть в С. Показать, что па пространстве гу(Я) не существует нормы, относительно которой бг(С) ивлялось бы банаховой алгеброй. (Применяя теорему 1 й 3, показать, что функции из бт(Я) были бы ограниченными.) 1О) Пусть А — банахова алгебра с единицей, х ш Л и й ) Π— целое число, а) Предположим, что Брх~:(1 и что 1!/с(Л, х)!!=0((! — (Л!) ), когда ) Л) -ь 1. Показать, что 1(хв!(+ О ( ) и !э), когда п -ь ж оо.

(Для каждого 6) 1 с помощью интеграла Коши получить неравенство )о 6-л 2п!!х"!1( М + М, (6 1)ь (! 6 !)э где М не зависит от и и 6. Положить 6 = пДп — й) в том случае, когда л -ь+ оо, и 6 = и/(и + й), когда а -ь — оо.) Ь) Предположим, что !!х"11=0()п)э) при п-ьж оо. Показать, что Брхзы 1! и что !!/с(Л, х)!1=0((1 — (Л !)э+ ), когда !Л1-ь(. (Так как р(х)=р(х ') 1, то Бух~ $/, При 1Л(<1 справедливо равенство /з(Л х) = — х 1(! + Лх 1+ Лзх з+ Лзх-3+ ) Теперь остается оценить !!/т (Л, х)!!. Аналогичным образом поступить в случае (Л)) 1.) 11) Пусть Х, (соответствеэао Хз) — множество всех (гь гз) зм С', для которых '/з ~(! г! ( + (гз) (1 (соответственно ! г, ! + (гз! ~(1).

Пусть Х= Х, ()((О, ОЦ ш Сз, Пусть, далее, А = У(Х) и а!, аз — сужения на Х координатных функций на С'. Показать, что совместный спектр Зрл(гп г ) совпадает с Х. Построить два различных непрерывных морфнзма алгебр с единицей из !У(Х) в Л, переводищих г, в а,, г, в аь (Первый морфнзм строится с помощью теоремы 1. Второй получается после применения следующей теоремы: для каждой функции /, голоморфной в некоторой окрестности множества Хь существует функция д, голоморфная в некоторой окрестности множества Х,, котораи совпадает с / в некоторой окрестности Х, (см.

5 3, упр. !4).) $12) Пусть А — коммутатизвая банахова алгебра с единицей. а) Для каждого конечного семейства У элементов из А пусть 5 (Х)<: ~: С вЂ” совместный спектр /. Показать, что если /' содержит У, то кааог цкческая сюръекция рг „, нз С ка С такова,что рг,(5(Д))=3(/). у' л йиралсиения ПЗ Таким образом, определен инъективный морфием ф У, нз О(8(У) ) в О (5 (У')). Пусть О (Х (А)) — индуктивный предел О (8 (У)) относительно , (индексами фактически служат конечные части из А Х Ы), Канонические отображения р: О (5 (У)) — О (Х (А» инъективны. Наделим О(Х (Л)) топологией индуктивного предела, порожденной топологиями на О(Х(У)).

Характеристики

Список файлов книги