Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 48
Текст из файла (страница 48)
топ., гл. ЧП, 6 1(ы).[ Лля того чтобы полгруппа Р была дискретной (в топологии, индуцируемой топоаогией а(Р, О)), необходимо и достаточно, чтобы она была коиечномериа, в) Вывести из а) и б), что каждая замкнутая подгруппа в 0 (наделеимом топологией ь(0, Р)) может быть преобразована посредством автоморфизма топологической группы 0 в произведение вада Йг Х 2,", где г н У в нечересекающиеся подмножества из )1). г) Показать, что в пространстве Е = мп, наделенном топологией ь(Е, Е*), подгруппа 2ч замкнута и не содержит никакой прямой.
не будучи, однако, свободным 2-модулем. [Алг., гл. ЧП, 6 3, упражнение 10(ю)..)[Тем самым результаты из'б) ие распространяются на случай несчетного А. $2. Сопряженное к отделимому локально выпуклому пространству В этом и следующих парагра4ах всюду, где нг оговорено противное. рассматриваются лишь отделимыс локально выпуклые пространства (над [с или С). У. Слабая и ослабленная толологии Пусть Š†. отделимое локально вмпуклое пространство и й— его топология.
Напомним, что (топологическое) сопряженное к Е есть надпространство Е' алгебраического сопряженного Е', образованное из всех непрерывных линейных форм иа Е; мы видели (й 1, п' 1, пример 2), что Е и Е' приводятся в двойственность канонической билинейной формой (х, х'). В ятом параграфе мы изучим связи между топологией Х.
заданной в Е, и топологиями е(Е, Е') 212 гл. 1ч, г з двоистввнность н о(Е', Е)1 напомним, что последние локально выпуклы и отделимы (21, п'2). В Е' мы будем рассматривать г атом параграфе одну только топологию о(Е', Е), которая будет именоваться слабой топологией. Напротив, в Е определены уже две топологии: топология о, которую мы будем называть также исходной топологией в Е, и топология е(Е, Е'), которая, по определению, мажорируется топологией о и будет называться ассоциированной с ней ослабленной топологией в Е. 3 а м е ч з н и я. 1) Если наделить пространство Е топологией з(Е, Е'), то его сопряженным снова будет Е' (б 1, предложение 1; см.
ниже и'3); тем самым ослабленной топологией, ассоциированной с з(Е, Е'), является а(Е, Е'). Тзм, где зто не сможет повлечь путаницы, мы будем употреблять прилагательное „слабое" н наречие .слабо* для обозначения свойств, относящихся как к слабой топологии в Е', тан и к ослабленной топологии в Е, Е', наделенное слабой топологией е(Е', Е), будет иногда называться .слабым сопряженным к Е. 2) Пусть Š— комплексное локально выпуклое пространство и Ез— его базисное вещественное локально выпуклое пространство.
Как известно (гл. П, б б, и' 1), отображение У-»г)г" есть (алгебраический) изоморфнзм пространства Е', сопряженного к Е, на пространство Ее| сопряженное к Ез. Кроме того, мы знаем (тан же), что если б = ИЕ то, обратноу(х) = б(х) — ги(1х) для всех хс Е, откуда ( б(х)( ~~у(х)( и ~У(х) !-я,~ б(х) 1+ ( л (Гх) !. Это показывает, что указанный выше изоморфизм является также нзоморфизмон дая слабых топологий ч (Е', Е) и ч (Ез, Ез~)и что ослабленные топологии в Е н Ез совпадают. 2.
Свойства слабого сопржзгсвнного Во всем дальнейшем, если Е означает отделимое локально выпуклое пространство, под Е' понимается сопряженное пространство, н, говоря о поляре М' (соотв. М") множества М из Е (соотв. М' из Е'), мы всюду, где не оговорено противное, имеем в виду попару множества М (соотв. М') в Е' (соотв. Е), определяемую двойственностью между Е и Е'. Слабая топология в пространстве Е', сопряженном к вещественному (соотв. комплексному) локально выпуклому пространству Е, есть не что иное, как топология простой сходимости в Ь(Е, В) (соотв. Ь(Е, С)). Поэтому к ней применимы результаты й 3 гл, В1 Всюду, где в этом и следующем параграфах говорится о разно степенно непрерызных множествах в Е'.
это понятие относится я СОПРЯЖВННОВ ПРОСТРАНСТВО 213 к исходной топологии в Е. Разумеется, оно не зависит ни от какой топологии, которая может рассматриваться в Е'. Пгвдложгнив 1. Пусть Š— локально выпуклое пространство. Для того чтобы множество М'с=Е' было равностепенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы его поляра М" была окрестносгпью нуля (в исходной лгопологаа) в Е ила (что то же) чтобы М' содержалось в поляре (г' некоторой окрестности куля У (в исходной пгопологаа) из Е. Действительно, каждая окрестность нуля в теле скаляров содержит гомотетичный образ окрестности У, определяемой неравенством ч ! ( 1.
Поэтому для равностепенной непрерывности множества М' -г необходимо и достаточно, чтобы пересечение У множеств х'(У) (х'~М') было окрестностью нуля в Е (гл. !П, $ 3, и' 5); но это пересечение есть не что иное, как поляра уравновешенной выпуклой оболочки множества М' ($1, и' 3), чем первое утверждение и доказано. Очевидно, тогда М'с=(г'1 обратно, если М'с=р', где Ъ'— окрестность нуля в Е, то М"=г$"'=>Ъ', что и завершает доказательство предложения. Пеядложзние 2. Каждое равностепенно непрерывное множество в пространстве Е', сопряженном к локально выпуклому пространслгву Е, относавгельно компаклгно в слабой мопологаа.
Это следует из общего условия компактности равностепенно непрерывного множества в Е (Е, Е) в топологии простой сходимости (гл. Ш, $ 3, следствие предложения 4). поскольку каждое ограниченное множество в Й или С относительно компактно. Твогвмь 1. Пусть Š— бочечное пространство. Следующие свойства множества М'~Е' равносильны: а) М' ограниченно в слабой топологии; б) М' относительно компактно в слабой глопологии, в) М' равностепенно непрерывно.
Действительно, мы уже видели, что в) влечет б) (предложение 2), а, с другой стороны, каждое относительно слабо компактное множество слабо ограниченно (гл. Ш, $2, предложение 3), так что б) влечет а). Наконец, то, что а) влечет в), 214 двоистввнность гл. ~ч, аз является частным случаем совпадения в ИЕ, Р) множеств, ограниченных в топологии простой сходимости, с равностепеино непрерывными множествами. когда Е бочечно (гл. Ш, ф 3, теорема 2).
Следствия 1. Если Š— бочечное пространство, то замкнутая выпуклая оболочка каждого слабо компактного множества в Е' слабо компактна. Действительно, из теоремы 1 и предложений 1 и 2 следует, что каждое слабо компактное множество из Е' содержится в поляре г" некоторой окрестности нуля У пространства Е, а Ъ выпукло и слабо компактно. Следствие 2. Если Š— бочечное пространство, то Е' в слабой топологии квазиполно. Действительно, каждое слабо замкнутое ограниченное множество в Е' слабо компактно (теорема 1) и потому полно. Следствие 3. Пусть Е и Р— локально выпуклые пространства.
Наделим Р' слабой топологией о(Р', Р), а пространство Е(Е, Р') всех непрерывных линейных отображений Е в Р'— топологией простой сходимости. Если тогда Р бочечке, то каждое равностепенно непрерывное множество в Е(Е, Р") относительно компактно; если и Е и Р бочечны, то каждое ограниченное множество в А(Е, Р') относительно компактно.
Действительно, в силу теоремы 1, тогда в Р' каждое ограниченное (в топологии е(Р', Р)) множество относительно компактно, так что первое утверждение следствия вытекает из характеризации множеств из Е (Е, Р'), относительно компактных а топологии простой сходимости (гл. Ш, ф 3. следствие предложения 4). Второе утверждение вытекает из совпадения в 1.(Е, Р') множеств, ограниченных в топологии простой сходимости, с равностепенно непрерывными множествами, когда Е бочечно (гл. 1П, ф 3, теорема 2). Пгвдложзнив 3. Пусть Š†локаль выпуклое пространсиьво, содержащее тотальное счетное множество.
Тогда каждое равностепенно непрерывное множество Р' в Е', замкнутое в ела бой топологии, является в втой топологии метризуемым комвактным пространством. 215 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО Действительно, Р' компактно в силу только что доказанного предложения 2. С другой стороны, Р' метризуемо, так как к нему применимо условие метризуемости равностепенно непрерывных множеств из Е(Е, Р) (гл. !11, й 3, предложение 6), поскольку К и С— метризуемые пространства. Следствия.
Если Š— метризуемое локально выпуклое пространство, содержащее тоталькое счетное мкожество, то в Е' сущеспьвует счетное множество, всюду плотное в слабой топологии. Действительно, пусть (У„) †счетн фундаментальная система окрестностей нуля в Е. Е' есть объединение множеств Уев; в силу ь предложения 3. каждое Ув есть слабо компактное метризуемое проь странство и потому содержит счетное подмножество А„.
всюду плотное в (1е в топологии с(Е', Е) (Об|ц. топ., Рез., й 8, и'3; гл. 1Х, й 2, п'7). Объединение множеств А„есть счетное множество, плотное в Е'. 3. Топологии, согласующиеся с заданной двойственностью Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство и Е'— его сопряженное. Е' будет сопряженным к Е и в том случае, если Е наделить ослабленной топологией в(Е, Е') (й 1, предложение 1). Для исследования связей между исходной топологией в Е и ослабленной топологией а(Е, Е') мы рассмотрим, более общим образом, произвольную пару (Р, О) векторных пространств в двойственности Опгеделение 1. Пусть Р и Π— векторные пространства в двойственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
