Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Показать, что существует номер и такой, что А ~ ив(Рв). [Применить а) к подпростраиству Р пространства Е, порожденному множеством А и наделенному топологией, определяемой нормой Р, равной калибровочной функции етого множества.) 182 пРОстРАИОГБА непРеРыВных линейных ОтОБРАжения Гл. 1н, 1 3 в) Пусть Š— пространство Фреше, (Р„) — последовательность пространств Фреше, Р— векторное пространство (над тем же телом скаляров, что и пространства Е и Р„) и ия, для каждого и,— линейное отображение Р„в Р, причем Р есть объединение подпространств е„(Ря). Наделим Р сильнейшей локально выпуклой топологией, пРи котоРой фУнкции ея непРеРывны, и пУсть | — линейное отображение Е в Р. Показать, что если его график 0 замкнут в Е Х Р, то Г непрерывно. (Свести к тому случаю, когда все Р„ — подпространства в Р, а ия — канонические отображения Р„ в Р, б есть объединение векторных подпространств Сг()(Е Х Р„); рассматривая Н„ = = 0()(ЕХ Р„) как подпространство пространства Фреше Е Х Р„, применить а) к последовательности (Н„), проекциям Н„иа Е и тождественному отображению Е на себя; наконец, воспользоваться теоремой о замкнутом графике (гл.
1, й 3, следствие 5 теоремы 1).) г) Распространить результат из в) на случай пространства Е, определенного следующим образом: существуют семейство (Е,) банаховских пространств и для каждого ~ — линейное отображение й, пространства Е, в Е; далее, Е есть объединение подпространств А,(Е,), а топология в Š— сильнейшая локально выпуклая топология, при которой непрерывны все Ь,. (Свести к тому случаю, когда Е есть банаховское пространство.1 Случай ультра ограниченно замкнутого Е (упражнение 11). Вывести отсюда, что каждое непрерывное линейное отображение Р на Е есть гомоморфизм. 14) Пусть Е и Р— отделимые топологические векторные пространства и Н вЂ” равностепенно непрерывное множество из Е (Е, Р).
Показать, что если в Е существует счетное всюду плотное множество и каждое ограниченное множество в Р метризуемо, то Н метризуемо в топологии простой сходимости на Е. Если, кроме того, каждое ограниченное множество в Р содержит счетное всюду плотное подмножество, то и Н содержит счетное всюду плотное подмножество (в топологии простой сходимости на Е). 15) Пусть Е и Р— топологические векторные пространства, причем Š— баронское. а) Показать, что каждое множество Н в 5(Е, Р), ограниченное в топологии простой сходимости, равностепепно непрерывно.
(Рассмотреть для каждой замкнутой окрестности нуля Ы из Р множества М„= П и (п)г).) иЕН б) Показать, что если множество Н из Е(Е, Р) не равностепенно непрерывно, то множество тех хРЕ, для которых Н(х) не ограниченно в Р, имеет своик дополнением множество первой категории. Вывести отсюда, что для каждой последовательности (Н„) не равно- степенно непрерывных множеств из Е (Е, Р) существует х Р Е такое, что ни одно нз множеств Ня(х) не ограниченно в Р („принцип кон денсации особенностей"). ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 183 ч16) Пусть Т вЂ” метризуемое топологическое пространство, Е и Р— топологические векторные пространства, из которых Š— бэровское, н М вЂ” множество отображений Е Х Т в р, удовлетворяющее условиям 1' и 2' теоремы 3. Показать, что М равностепенио непрерывно.
[ПРи данных точке Га Р Т и замкнУтой УРаввовешепиой окРестности нуля !г из Р пусть й для каждого х й Š— верхняя грань радиусов открытых шаров в Т с центром га, на которых 7(х, г) — 7(х, га) й )г для всех убМ. Показать, что функция х-ьйе полунепрерывна сверху в каждой точке хай Е; для этого показать, что если бы для точек х, произвольно близких к хм выполнялись неравенства и )а)йх, то мы имели бы 7(хв, Г) — 7 (ха Гв) й !'+ Ж' пРи й(Г, Га) ~<Я и 7 чМ для каждой окрестности нуля %' в Р. Наконец использовать теорему 2 из Общ.
топ., гл. !Х, й 5 (хз).) 17) Пусть Š— ннфрабочечное пространство (й 2, упражнение 12) и Р— локально выпуклое пространство. Показать, что каждое множежество из Е(Е, р), ограниченное в топологии ограниченной сходи- мости, равностепенно непрерывно. 18) Пусть Š— ограниченно замкнутое пространство (й 2, упражнение !2) и < — множество его ограниченных подмножеств, содержа щее все компактные множества.
Показать, что если отделимое локально выпуклое пространство р квазиполно (соотв. полно), то и нростран ство Ее (Е, Р) квазиполно (соотв. полно). [Принять во внимание, что линейное отображение и пространства Е в Р, сужение которого на каждое компактное множество из Е непрерывно, непрерывно на Е; см. й 2, упражнение 11.] $4. Гнпонепрерывные билинейные отображения х. Разделано непрерывные билинейные отображении Пусть Е, Р, б — топологнческие векторные пространства.
Для каждого билинейного отобра)кения и произведения Е Х Р в 0 и каждого к~ Е (соотв. каждого у~ Е) обозначим через и. (соотв. и.„) линейное отображение у -ь и (х, у) пространства Е в 6 (соотв. линейное отображение х -ь и (х, у) пространства Е в О). Опгеделеиие 1. Билинейное отображение и произведения и Х Р в 0 называется раздельно непрерывнылх, если линейное отображение и . непрерывно для каждого х~Е и линейное отображение и.в непрерывно для каждого у~ Е. Из этого определения непосредственно вытекает следующее предложение: 184 пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОБРАжении гл.
Не $4 Пеедложение 1. Для того чтобы билинейное отображение и произведения Е р, Е в 0 было раздельно непрерывны.и. необходимо и достаточно, чтобы и.„для каждого у~ Е было непрерывным линейным отображением Е в 0 и чтобы линейное отображение у — + и.в было непрерывным при наделении пространства Е(Е, О) топологией простой сходимости. Раздельно непрерывное билинейное отображение Е)(Е в 0 не обязателыю непрерывно на Еу(Е (упражнение 4). Однако справедливо следующее важное предложение: ПРедложение 2. Пусть Š— метризуемое бочечное пространство, Š— метризуемое векторное пространство и 0 — локально выпуклое пространство. Тогда каждое раздельно непрерывное билинейное отображение Е У( Е в 0 непрерывно.
Действительно, достаточно применить теорему 3 ф 3, приняв Е за Т, 0 за Е н мгюжество, состоящее из одного данного билинейного отображения, за М. Ниже вводится понятие, промежуточное между понятиями непрерывного и раздельно непрерывного билинейных отображений. 2. Гипонепрерыеные билинейные отображения Пеедложенне 3.
Пусть Е, Е, 0 — типологические векторные пространства, Я вЂ” множество ограниченных подмножеств пространства Е и и — раздельно непрерывное билинейное отображение Е у( Е в О. Следующие условия равносильны: а) Для киждой окрестности нуля (к' из 0 и каждого множества М~Я существует окрестность нуля 1' в Е такая, что (М Х (г) =В'. б) Образ каждого множества М~ Я при отображении х — + и .
есть равностспенно непрерывное множество в Е(Е, О). в) Отображение у -+ и.„пространства Е в Е - (Е. О) непрерывно. Действительно, в силу определения окрестностей нуля в Ее (Е, О) Я 3, и' 1), а) выражает непрерывность отображения у — + и.„ в точке О; точно так же а) выражает, что образ М при отображении х -+ и, равностепенно непрерывен в точке О Я 3, и' 5). ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ НИЛИНЕННЫЕ ОТОВРЛжЕНИЯ 185 Опгеделение 2.
Билинейное отображение и произведении Е Х с-' е 0 называется Ь-гипонепрерыеным, если оно раздельно непрерывно и удовлетворяет одному из трех равносильных условий а), б), в) предложения 3. Условие в) предложения 3 показывает, что понятие ю-гипонепрерывпого билинейного отображения не изменяется ври замене ~ю любым множеством подмножеств 9', получаемым из Я с помощью операций, описанных в п' 1 ф 3, поскольку тогда ю'-топология в А (Е, О) совпадает с Со-топологией. Совершенно так же, поменяв лишь в предложении 3 ролями Е и Р, определим для каждого множества ь ограниченных подмножеств из Г" понятие к-гиионеирерыеного билинейного отображения.
Раздельно непрерывное билинейное отображение и называется (Ь, 'л)-гипонепрерыеным, если оно одновременно и Ь-гипонепрсрывно и Ьь-гипонепрерывио. Каждое непрерывное билинейное отображение Е Х р в 0 (Я, 7)-гипонепрерывно для любой пары С, л множеств ограниченных подмножеств. Действительно, для любой окрестности нуля Ф' из 0 существуют окрестность нуля У в Е и окрестность нуля ~' в Г такие, что и(УХЪ')с=%', так как каждое множество М~Я ограниченно, то существует Л) О такое, что ).М с= У; а отсюда и (М Х Льг) = и (ЛМ Х У) с= и (У Х 'г') с= 1г'.
Обратное вообще неверно (упражнение 5). Пгедложение 4. С-гипонепрерыеное билинейное отображение и произведения Е Х Е е 0 непрерывно на М Х Г" длн каждого М~Я, причем и(М Хс,'1) ограниченно е 0 для каждого ограниченного множества () из Г'. Действительно, пусть В' — окрестность нуля в 0; по предположению, в Е существует окрестность нуля У такая, что и(МХ Ь')~В'. Так как существует Л ) О, для которого ЛЯ с= Ь', то Ли (М Х С,)) = = и(М Х Щ) ~ (Р', чем вторая часть предложения доказана.
С другой стоРоны, пУсть (хге Уо) — точка из М Х Е. Дла каждой точки (х У)бМ Х Р имеем и (" у) — и(хо, уь) = и(х — хс,. уо)+ и (х, у — у,). 186 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. Ш, 5 4 Если, поэтому, у — ув~Ъ', то и(х. у — уе)~Ж' для каждого к~ М. Так как, с другой стороны, и раздельно непрерывно, то в Е существует окрестность пуля У такая, что и(х — хв, ув) ~ В', когда х — хе~ У. Таким образом. из х — хе~ У, у — уз~ Ь' следует и(х, у) — и(хе, ув)~ 1Р'+Ф', чем доказана и первая часть предложеиия. Пяедложеиие 6. (Я. л)-гипонепрерывное билинейное отображение и произведения Е Х Е в О равномерно непрерывно на М Х И для любой лары множеств М~Я, О1~А.
))ействительио, для каждой окрестности нуля Ж' из 0 существуют окрестность нуля У в Е и окрестность нуля (г в Р такие, (х,, у,)б.МХД1, (х,.у,)~МХИ.,— х,бУ. у,— у,~( следует, что и (х,— хг, уг) ~ %' и и (х,, у, — у,) ~ В', а значит и(х,, у,) — и(х,, у,) = и(х,, у,— у,)+и(х,— х,, уг)~ Ф'+гг', и предложение доказано. Пгедложеиие 6. Если Š— бочечное пространство, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение и произведения Е Х Е в локально выпуклое пространство 0 ~-гипонепрерывно для любого множества Я ограниченных подмножеств пространства Е. Действительио, достаточно (предложение 3) доказать, что образ каждого ограниченного множества М из Е при отображении х — + и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
