Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Так как. по сказанному выше, Я-топология согласуется со структурой алдитивной группы в Н, то для того, чтобы она согласовалась со структурой векторного пространства в Н, необходимо и достаточно, чтобы множества НПТь(М, 1г) были поглогцаюиьими в Н (гл. 1, й 1, и'3); но это означает, что для каждого и~ Н, каждого множества МЕЖ и каждой уравновешенной окрестности нуля (г в Е существует Л) О такое, что и(М)г=Л(г, т. е.
(й 2, и'1) что и (М) ограниченно в Е. Наконец, справедливость последнего утверждения предложения вытекает из того, что выпуклость У влечет выпуклость Ть(М, (г). Следствиа. Пусть Е и Š— тополагические векторные пространства, Я вЂ” некоторое множества ограниченных подмножеств пространства Е и Е(Е, Г) — векторное пространство всех непрерывных линейных отображений Е в Е. Я-топология в Ь(Е, Р) согласуется тогда со структурой векторного пространства и притом локально выпукла, если Е локально выпукло. Достаточно заметить. что и(М), где и — непрерывное линейное отображение Е в Р, ограниченно в Р для каждого ограниченного множества Мг=.Е ($ 2, и' 3, следствие 2 предложения 5).
Пусть Е и Р— топологические пространства и Я вЂ” некоторое множество ограниченных подмножеств пространства Е. Через Ьи (Е, Г) мы будем обозначать топологическое векторное пространстио, получаемое путем наделения векторного пространства Е (Е, Г) Я-топо- 162 пРОстРАнстВА непРеРыВных линейных ОтОБРАжений Гл, пг, $ 3 логией, и для каждого М~Я и каждой окрестности нуля )г в Е положим Т(М, 1/)=Е(Е Е) ПТо(М, У) (см. гл. !)7, ф 2, упражнение 1). Наиболее важны следующие случаи: 1) Я есть множество всех конечных подмножеств пространства Е; Я-топология в Е(Е, Е) есть тогда топология простой схадимости. 2) Я есть множество всех компактных полмножеств пространства Е; Я-топология в 7.
(Е, Е) есть тогда топология компактной сходимасти. 3) Я есть множество всех ограниченных подмножеств пространства Е; Я-топология в Е(Е, Е) называется тогда топологией ограниченной сходимости. Ясно, что эта — сильнейшая из Ь-топологий в Е(Е, Е) (поскольку все Я образованы ограниченными множествами).. Заметим, что й-топология в Е(Е, Е) не изменяется при замене ® любым из следующих множеств подмножеств; 1) множеством всех подмножеств множеств из Ь; 2) множеством объединений любых конечных наборов множеств из ю; 3) множеством образов множеств из ~ при всевозможных гомотетиях; 4) множеством всевозможных конечных сумм Мт+ Мт+ ... + Ми множеств из Сй; б) множеством уравновешенных оболочек всех множеств из Ж; 6) множеством замыканий всех множеств из сю; 7) при локальной выпуклости пространств Е и Е— множеством замкнутых уравновешенных выпуклых оболочек всех множеств из Я.
Мы ограничимся установлением справедливости последних двух утверждений. Если Тг — замкнутая окрестность нуля в Е, то при изб (Е, Е) из и (М) с Ь' следует и (М) с и(М) с= Ь; поскольку и непрерывно; при ятом М ограниченно ($ 2, замечание после предложения 2). С другой стороны, если Е н Е локально выпуклы, то выпуклые оболочки множеств из 1а также ограниченны (5 2, предложение 2); если К в выпуклая окрестность нуля я Е, М вЂ” множество из Я и АГ— его выпуклая оболочка, то из и (М) с= (г, где и Е Е (Е, Е), следует и(дг)с Ь'(см. упражнение 2).
Предположим, что Е локально выпукло, и пусть Р— множество полунорм, определяющее его топологию (гл. !1, ф 5, п' 4). Для каждой полунормы р~1' и кажлого множества МЕЯ положим рм(и) = р р(и(х) ), (1) ием Ясно, что р — полупорма на Е(Е, Е). Кроме того, если )г— окрестность нуля в Е, определяемая неравенством р(у) ( 1, то в пРОстРАнстВА непРеРИВных линепных ОтОБРАжений 1ба включение и(М)~)г равносильно неравенству р, (и) (1; мы видим, таким образом, что Я-топология в 1.(Е, Г) определятся семейством полунорм р, где р пробегает множество Р, а М вЂ” множество Я (или лишь его часть.Яв такую, что каждое множество из Я содержится в гомотетичпом образе некоторого множества из Яе, — как это следует из равенства р, (и) =(),)рм(и)).
Если, в частности, Е и à — нормированные пространства, то топология ограниченной сходимости в Е(Е, Г) определяется нормой )(и(! = Внр )~и(х)~) (2) 6е1сг (см. Общ, топ., гл. Х. й 2, п'2). Рассматривая Е(Е, Г) как нормированное пространство, мы всюду, где не оговорено противное, будем предполагать его снабженным нормой (2). 3. Условие отделимости пространства Ев (Е, Г) ПРедлОжение 2. Пусть Е и à — топологичесние векторные пространства, Г отделимо и Я вЂ” некоторое множество ограниченных подмножеств пространства Е.
Если обьединение всех множеств из С тотально в Е, то пространство Ьи (Е, Г) отделимо. Лействительно, пусть А — обьедипепие всех множеств из С и ив~Е(Е, Г), ив Ф О. Так как А тотально, то существует точка х,~ А такзЯ, что ив(хв) ~ О, и, следовательно, окРестность ПУЛЯ и' в Г такая, что ив(х )('Р'; тогда для любого множества М~ С, содержащего хв, имеем и„(Т(М, )Г), и пРедложение доказано (см. УпРажненис 3).
В чзстности, при отделимости пространства Г топологии простой, компактной и ограниченной сходимостей в 1.(Е, Г) отделимы. 3. Связи между Е(Е, Г) и Е(Е, Г) Пусть Е и à — отделимые топологические векторные пространства, причем Г полно; и пусть Š— пополнение пространства Е. Так как каждое непрерывное линейное отображение и пространства Е в Г однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения и пространства Е в Г, то отображение и -+ и есть нзоморфизм .структуры векторного пространства в Е (Е, Г) на структуру векторного пространства в Е (Е, Г). Пусть, далее, Сс — некоторое множество ограниченных подмножеств пространства Е.
Из определения 164 простРАнстВА непРеРыВных линеиных отоВРАжении' Гл. и1, г 3 явствует, что при отождествлении Е(Е, Г) с Е(Е, р) посредством отображения и — + и Я-топология в Е (Е, Р) отождествлпетсл с Я-топологией в Е (Е, Е). Обозначая через Ф множество замыканиИ множеста из Я в Е, заметим, что Я-топология и Я-топология в Е(Е, с) совпадают (п' 1).
Например, если Š— нормированное пространство, то топология ограниченноп с1(одимости в Ь(Е, г) совпадает с топологиеИ ограниченной сходимости в Е(Е, р) (при указанном выше отождествлении пространств Е(Е, р) и Е(Е, Е)). йействительно, каждое ограниченное множество нз Е содержится в замыкании (в Е) некоторого ограниченного множества из Е. Впрочем, шар ()х~)(! в Е есть замыкание в Е своего пересечения с Е; если поэтому à — нормированное пространство, то из формулы (2) следует, что (в принятых выше обозначениях) ()и(~ = ЙиИ'; иными словами, отображение и-+и есть изоморфизм структуры нормированного пространства в Ь(Е, Р) на структуру нормированного пространства в Е(Е, с).
Можно привести примеры отделимых локально выпуклых пространстз Е, для которых не всякое ограниченное множество в Е содержится в замыкании ограниченного множества из Е (гл. 1Н, Е 1, упражнение 11). 4. Ограничелмые множества в 1а(Е, Г) Пусть Е и à — топологические векторные пространства и Я вЂ” множество ограниченных подмножеств пространства Е. Утверждение, что множество Н1=Л (Е, Р) ограниченно в Я-топологии, означает, что для каждого множества МЕЖ и каждой окрестности нуля Н в Е существует Л) О такое, что НсЛТ(М, Н), т. е. и(М)сЛ1' для всех и~Н, или, иначе, Ц и(М)сЛР, т.
е. что множество Ц и(М) ограРЕп пЕм наченно в Е для каждого М ~ Я. Так как отношение „и(М)сЛ1' для всех и ~Н' равносильно отно- -1 шению МсЛП и(Н), то этот признак выражается также следуюпяп щим образом: Пгедложенне 3. Пусть Е и Š— топологические векторные пространства и Ъ вЂ” некоторое множество ограниченных подмножеств пространства Е.
Для того чтобы множество пРостРАнстВА непРеРывных линейных ОтОБРАженйй 165 Нс Е (Е, Е) бала ограниченнам в Ь-топологии, необходимо и достаточно, чтобы для каждой окрестности нуля У из Е мнив 1 жество П и(1/) поглощало все М~Я. иЕН Если сО и ю' — два множества ограниченных подмножеств нз Е н юг=Я'. то ю-топология в Е(Е, Е) мажорируется Я'-топологией н, следовательно, каждое множество из Е (Е, Е), ограниченное в Я'-топологии, тем более ограниченно в Я-топологии. Мы увидим, что в некоторых важных случаях ограниченность множества Н~Е (Е, Е) в С-топологии не зависит от Я, если только ограничиться множествами Ж, образующими покрытия пространства Е (см.
и'7, замечание после следствия 1 теоремы 4). ТеОРБМА 1. Пусть Е и à — отделимые локально выпуклые пространства и (ь. — множество всех и о л н а х ограниченных уравновешенных выпуклых множеств из Е. Каждое множество Нс1.(Е, Е), ограниченное в топологии простой сходимости, ограниченно в ье-топологии.
Пусть (г — замкнутая уравновешенная выпуклая окрестность нуля в Е; в силу предложения 3, дело сводится к доказательству того, -1 что множество Т= П и(г') поглощает все М~чь,. Ясно, что Т— иЕН вамкнутое уравновешенное выпуклое подмножество пространства Е.
Далее, Т вЂ” бочка в Е, т. е. (й 1, определение 1) поглощающее множество; в силу предложения 3, это вытекает из предположения, что Н ограниченно в топологии простой сходимостн. Тем самым справедливость теоремы вытекает из следующей леммы: Лемма 1. В отделимом локально выпуклом пространстве Е каждая бочка Т поглощает всякое полное ограниченное уравновешенное выпуклое множество А. Путем замены пространства Е, если нужно, его векторным подпространством, порожденным множеством А, вопрос сводится к тому случаю, когда А порождает Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
