Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Множество 6 множеств о(К), где о пробегает Го есть базис фильтра в К. Действительно, если о ~ Г, и э ~ Г,, то, полагая и = = ого =топ, имеем и~ Г, и и(К) = о(то(К))с=о(К) и так же и(К)с=э(К). В силу непрерывности сужений отображений о~ Г, на К, множества нз 3 компактны. Следовательно, пересечение А всех мно, жеств из 3 не пусто. Мы покажем, что для каждого х ~ А и каждого и ~ Г имеет место равенство и(х) =х, чем и будет установлена справедливость теоремы. Пусть х ~ А. Каково бы ни было целое и > О, 1 имеем х~ин(К), так что х= — (у+и(у)+ ...
+и"-'(у)) для некоторого у ~ К, откуда и(х) — х= — (и(у)+.иг(у)+ ... +и" (у))— 1 1 и 1 — — (у+и(у)+ ... +и" '(у))= — (и" (у) — у)Š— (К вЂ” К). 140 поиложенип к главк и Пусть 1' — уравновешенная окрестность нуля з Е и В' — уравновешенная окрестность нуля такая, что Ть'+%'с(г.
Так как К вЂ” К=К' компактно (как образ компактного множества КХ К из Е Х Е при непрерывном отображении (х, у)-+х — у), то существует конечное число точек а; (1 (1(т) таких, что К' содержктся в объединении окрестностей а;+ В'. Так как (ь' — поглощающее множество, то существует число и такое, что О < и <1 и иа;~%' (1 <1<т). Отсюда иК'сВ'+и)ьгс)ь'+ ьсгсЪ'. Взяв и ) —, видим, что и(х!— — х~(Г. Так как Е отделимо, то заключаем, что и(х) =х.
Пример: существование инвариантного среднего на топологической коммутативной группе. Пусть Π— топологическая коммутатнвнья группа, е аддитнвной записи,н Е = стт (О) — векторное пространство всех ограниченных непрерывных числовых функций на О. Снабженное нормой !!у!! =- звр!у(х)1, Е есть банаховское пролби странство; кроме того, Š— упорядоченное векторное пространство (где отношение у'>О означает .у(х) >0 для всех хс О*). Алгебраическое сопряженное Я) Еь к Е, наделенное топологией простой сходииости на Е, есть отделимое локально выпуклое пространство. Пусть К вЂ” подмножество в Е", образованное положительными линейными формами р на Е, удовлетворяющими условию !ь (1) = 1 (.срелнне" на О; см. Интегрир., гл.
!П, б 1). Дтя каждой линейной формы 1ьсК н каждой функции усе имеем )1ь(у)! = )р(уь — у ) )< "- р(у~)+!ь(У' ) < 2!!У!!. Ясно, что К замкнуто в Е', а последнее неравенство показывает (в силу теоремы Тихонова), что К компактно; кроме того, К очевидно выпукло. Пусть теперь уь, для каждого во О и каждой функции УеЕ,— функция х-ьу(х+ в); очевидно, у еЕ. для каждой линейной формы и б Е*, У-+ р (г" ) есть снова линейная форма на Е; обозначим ее р . Наконец, и -ь иь есть линейное отображение Е" в себя; обозначим его У . Непосредственно ясно, что У (К) с К и У непрерывно на Е".
Кроме того, так как, для любых двух элементов в, Г б О Л (х+ в) =уь ьь(х), то рь(Л) = !ьь+ь (1) для любых 1 б Е и р б Еь и, следовательно, у уг = = УьУь = Уь+т. Таким образом, к компактному множеству К и семейству линейных отображений У (где в пробегает О) применима теорема 1, н, следовательно, существует среднее и с К такое, что !ь = р для вб О;говорят, что и инвариантно относительно сдвигов из О (см. Интегрир., гл. 1П, б 1). *) Т.
е. векторное пространство всех линейных форм на Е (см. гл. 1Ч, б 1, п'1). — Прим. перев. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 141 У п р а ж н е н и я. 1) Пусть Š— топологическое векторное пространство над Гч, К вЂ” непустое компактное выпуклое множество в Е и Г— разрешимая группа (Алг., гл. 1, й б, упражнение 14) аффннных линейных отображений пространства Е в себя, сужения которых на К непрерывны, причем и(т()<:К для всех ияГ. Показать, что существует точка хабК такая, что и(хь)=ха для всех ибГ.
[Индукцией по дание композиционного ряда для Г, последовательные факторгруппы которого коммутативны, с использованием теоремы Ц 2) Пусть П вЂ” топологическая группа и Е =- ст 'с (0) — упорядоченное векторное пространство всех ограниченных непрерывных числовых функций на 0 (где У)~0 означает .у (х) мО для всех х б 0'). Говорят, что положительная линейная форма р на Е есть среднее на О, если 1ь(1) = 1. для каждого зл П и каждой функции уб Е обозначим через у (соотв. у ) ограниченную непрерывную числовую функцию на П, определенную формулой у(х) =У(зх) (соотв. Уе(х) =У(хз)). Говорят, что среднее !ь на 0 инзариантно слева (соотв.
сарова) относительно сдвигов из Й, если !ь(еу) = р(у) (соотв. (А(Уе) =р(у)) для всех зяб и всех УбЕ. Если на П существует среднее р, инвариантное слева, то существует среднее !ьп инвариантное слева и справа. [Полагаем 1ь'(У) = у (д), где л(х) =у (х-г), и 1ьт (У) = =П'(ут), где ут(х) = р(уа).) Показать, что на разрешимой группе 6 существует среднее, инвариантное слева и справа.
[Использовать упражнение Ц "3) Пусть 5 — множество, наделенное группой операторов Г (Алг., гл. 1, й 7, п' 2), и Е = йр(Е) — векторное пространство (над 11) всех числовых функций, определенных и ограниченных на 8. Наделим Е группой операторов Г, положив зу(х) = у(з-тх) для каждой функции уй Е и каждого з б Г. Предположим, что группа Г (наделенная дискретной топологией) обладает инвариантным слева средним !ь.
Пусть я> 0 в функция из Е, Е, †.векторное надпространство в Е, порожденное преобразованиями зя функции л посредством операторов з й Г, и Е, — векторное подпространство в Е, порожденное функциями) О, мажорируемыми функциями из Е,. Показать, что если на Ег существует положительная линейная форма Т~О такая, что Т(зу) = у(у) для всех у 6Ет и всех з0Г, то иа Ез существует положительная линейная форма ф~О такая, что ф(з/) = ф(у) для всех убЕз и всех збГ. [Используя упражнение 2 й 3, доказать прежде всего сУЩествование положительной линейной фоРмы Т на Ет, пРодолжающей Т.! Случай е= 1. '4) а) Показать, что суьцествует аддитивная функция множества А(А))~0, определенная для всех ограниченных множеств на числовой плоскости 1(т, инвариантная относительно всех движений н равная 1 для замкнутого квадрата С с центром 0 и стороной 1. [Применить упражнение 3, приняв за Г группу всех движений в Кз и за ив 142 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ П характеристическую функцию квадрата С; принять во внииание, что 1' разрешима.) б) Показать, что существует адлитивная функция множества 1(А)) О, определенная на всех множествах из )ст, иивариантная относительно всех подобий и равная 1 для А=)сз.
(Тот же метод, в применении к группе подобий.]„ 5) Пусть Š— векторное пространство иад (с и 0 — разрешимая группа его автоморфизмов, М вЂ” векторное подпространство в Е, инвариантное относительно Зй, и р — полунорма на Е такая, что р (зх) = =р(х) для всех хбЕ и всех абб. Показать, что для всякой линейной формы и на М такой, что ( и(л) ~ ~~ р(х) и и(лх) = и(х) для всех хРМ и всех ас О, существует линейная форма и, продолжающая и на Е и такая, что )и(х)!(р(х) и и(зл)=и(х) для всех хсЕ и всех зс 0.
[В пространстве Й рассмотреть множество К всех линейных форм у на Е таких, что у(л) = и(л) для хсМ и ~/(х) ~ к;р(х) для всех хб Е; показать, что К вЂ” иепустое компактное выпуклое множество, и использовать упражнение Ц ГЛАВА 111 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Все векторные пространства, рассматриваемые в этой и следующей главах, всюду, где не оговорено противное, имеют своим телом скаляров тело вещественных или комплексных чисел; если тело скаляров явно не указано, то это означает, что утверждение справедливо как в том случае, когда телом скаляров служит й, так и в том случае, когда телом скаляров служит С.
Если одновременно рассматривается несколько векпгорных пространств. то подразумевается (еели не оговорено противное), что они имеют одно и то же тело скаляров. 5 1. Бочечные пространства У. Определение бочечного пространства Опгзделение 1. Бочкой в локально выпуклом пространстве Е называется каждое замкнутое поглощающее уравновешенное вь(пуклое множество. Локально выпуклое пространство Е называется бочечным, если каждая бочка в Е есть окрестность нуля.
Существуют не бочечные локально выпуклые пространства (упражнения 4 и 5), а следующее предложение доставляет важные примеры бочечиых пространств: Пгвдложвние 1. Казкдое локально выпуклое пространство Е, являющееся бэровским пространством (Общ. топ., Рез., ф 1, и'17; гл. 1Х, ф 5, определение 3). бочечно. Действительно, пусть Т вЂ” бочка в Е; так как Т вЂ” поглощающее множество, то Е есть объединение замкнутых множеств пТ (где и †цел О); так как Š— баронское пространство, то по крайней мере одно из этих множеств обладает внутренней точкой (Общ.
топ., Рез., ф 1, и' 17; гл. !Х, ф 5, определение 3), а значит, и Т само имеет внутреннюю точку хв. Если хе = О, то тем самым Т 144 пРОстРАнстВА непгегывных линейных отонглжения Гл. Не а! есть окрестность нуля; если же хв чь О, то, поскольку н — хеЕ Т. О, как точка открытого отрезка с концами хе и — х, есть внутренняя точка выпуклого множества Т (гл. И, ф 1, предложение 16) и снова справедливо то же заключение. Следствие.
Каждое пространство Фрсше (и, в частности, каждое банахоеское пространство) бочечно. Замечание. Пусть р — полунорча, опредеаенная на локально выпуклом пространстве Е, н Т вЂ” поглощающее уравновешенное выпуклое множество, образованное теми хсЕ, для которых р(х)~(1. Для того чтобы Т было бочкой, необходимо н достаточно. чтобы р было полунепрерывно снизу на Е (Общ. топ., Рез., 6 6, пь18; гл. 1Ч, ф 6, предложение 1 (гг)). Следовательно, для того чтобы Е было бочечным пространством, необходимо н достаточно, чтобы каждая полунепрсрывнвя снизу пояуиорма на Е была непрерывна (гл. П, ф 5, предложение 3). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
