Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 26
Текст из файла (страница 26)
странство над )с. ! р(х) — р(у) ~ ( р(х — у), (5) непосредственно вытекающее из соотношений р(х) ( р(у)+ р(х — у) н р(у) (р(х)+ р(у — х), поскольку р(у — х) =р(х — у). Полунорма есть выпуклая функция на Е, ибо из (Ба)д и (БХВ) следует, если 0 ( Л ( 1, что р(Лх+(1 — Л)у) (р(Лх)+р((1 — Л)у) =).р(х)+(1 — Л)р(у).
119 полуновмы 1' Каждая полунорма р, определенная на Е и непрерывная в точке х = О, равномерно непрерывна на Е; множество (г тех точек х~Е, для которых р(х) <1, есть симметричное выпуклое тело (й 3, определение 4), внутренность которого образует мно жество тех точек к~ Е, для которых р(х) <!. 2' Обратно, для каждого симметричного выпуклого тела А в Е существует, и притом лишь одна, полунорма р на Е такая, что А совпадает с множеством тех х~ Е, для которых р(х) < 1; при этом р непрерывна на Е.
1' Равномерная непрерывность полунормы р вытекает из неравенства (5). Множество (г замкнуто (в силу непрерывности р) и симметрично; кроме того, если х, у~)' и О (Л( 1, то р (Лх + (1 — Л) у) ( Лр (х) + ( ! — Л) р (у) ( Л + (1 — Л) = 1, так что ьг выпукло. Множество Ту' тех х, для которых р(х) < 1' открыто и содержится в Р; если же р(у) = 1, то ру((г при р ) 1, так что у не содержится внутри у'; тем самым Ть'=1). Заметим, что какова бы ни была точка х~Е, множество тех чисел р ) О, для которых х Р р(г, совпадает с интервалом [р(х), +со[, поскольку отношение х !- р(г равносильно неравенству р(х) ( р. Другими словами.
р(х)= !п( р для каждого к~Е. Р >О, хаги 2' Последнее замечание показывает, что если сушествует полу- норма р такая. что А совпадает с множеством тех х ~ Е, для которых р(х) (1, то эта полунорма единственна и определяется формулой (6) р (х) = !п1 р. р>ь, мЕрА Покажем, что формула (6) действительно определяет полунорму. Прежде всего, так как А — поглошаюшее множество. то р(х) конечно для каждого х ~ Е. Так как А симметрично, то отношения х Е рА н — х !-"- рА равносильны, откуда р (Лх) = ! Л ( р (х) для каждого Л ~ й. С другой стороны, пусть х и у — произвольные точки из Е; если а и [1 — положительные числа, для которых х ~ аА, у!- рА, то х+у~аА+рА, а так как А выпукло, то аА+рА=(а+р)А; н силу формулы (6], отсюда следует, что р(х+у) (р(х)+р(у).
Если р(х) ( 1, то х ~ рА для всех р ) 1 и, следовательно, х ~ А, поскольку А замкнуто. Обратно. из х ~ А очевидным образом Гл. и. а 5 !2О ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА следует. что р(х) ( 1. Наконец, каково бы ни было е > О, множество тех х~Е, для которых р(х) (з, есть окрестность нуля 5А, так что р непрерывно в точке О, а значит, и на всем Е. 3 а м е ч а н и я. 1) Пусть Š— векторное пространство над Я и А — поглощающее симметричное выпуклое множество в Е. Если наделить е сильнейшей локально выпуклой топологией 51 (й 2, и' 1).
то О будет в А внутренней точкой. Полунорму р, для которой А служит множеством всех х~ Е таких, что р(х) ( 1, назовем калибровочной функцией множества А. Внутренность А множества А в топологии в„ будет тогда множеством тех х, для которых р(х) ( 1, откуда сразу видно. что и здесь р(х) задается формулой (6). Выпуклые множества, имеющие р своей калибровочной функцией,— это выпуклые множества, содержащие А и содержащиеся в А. Ясно. 1 что калибровочной функцией для ),А, где Л> О, служит — р. Х Обратно. каждая полунорма р на Е непрерывна в топологии в поскольку множество (г тех х, для которых р(х) ( 1, в силу (61ч!),— поглощающее; предложение 3 показывает тогда, что р служит калибровочной функцией для всех выпуклых множеств, содержащих Ъ' и содержащихся в его замыкании (7.
2) Пусть р; (1 (1(п) — конечный набор полунорм на Е. Из определения 2 сразу следует, что р(х) = ацр р! (х)' также есть 1ь!Сп полунорма. Кроме того, множество У тех х, для которых р(х) (1, есть пересечение множествЪ; тех х. для которых р;(х) (1(1 (1(п). 4! Полунормы в локально выауклых нространсвавах Пусть Š— векторное пространство над )е, à — множество полу- норм на Е и Š— множество всех поглощающих симметричных выпуклых множеств в Е, определяемых соотношениями вида р(х) ()., где р пробегает Г, а ). — множество всех чисел > О.
Тогда множество 6 пересечений всевозможных конечных наборов множеств из Ф есть базис фильтра,' образованного поглошающими симметричными выпуклыми множествами и инвариантного относительно всех гомотетий. коэффициент которых > О. Следовательно, существует (и притом только одна) топология. согласующаяся со структурой векторного пространства в Е, для которой 8 служит фундаментальной системой окрестностей нуля ($ 2. и' 1). Мы будем в полунопмы 12Е называть эту (очевидно, локально выпуклую) топологию топологией определяемой множеством Г полуяорм.
Примеры. 1) Топология нормированного пространства над )Г определяется множеством, состоящим нз одной единственной нормы. 3аметим, что топология, определяемая в векторном пространстве Е' над )с кояечным числом норм рг (1(г (и), может быть задана и одной нормой р(х) зпр рг(х). Напротив, локально выпуклая 1<г «ач топология, определяемая бесконечным множеством норм, вообще говоря не может быть задана одной только нормой (гл. П1, й 2, упражнение 2). 2) Пусть (а',),бг — семейство локально выпуклых топологий в векторном пространстве Е и каждая из этих топологий З; задана множеством Г, полунорм.
Из предыдущего определения следует, что локально выпуклая топология, заланная множеством полуиорм Г = Ц Г„ ег есть верхняя грань топологий б;. 3) Пусть б — векторное пространство над 1(, образованное всеми бесконечнодифференцируемыми числовыми функциями на )(. Для каждой функции убб и каждой пары целых чисел т ьб, п)~О положим Непосредственно ясно, что р„, т — полунормы на б, Для того. чтобы функции У«бб сходились к нулю (по некоторому фильтру 8) в топологии б, определяемой полунормами р„,, необходимо и достаточно, чтобы функции у~1аг для каждого целого и ) О равномерно сходились к нулю (по фильтру 5) на каждом компактном множестве из 1( Говорят, что й' есть топология компактной сходимости для функций У'бб и всех их производных.
ПРедложвине 4, Каждая локально выпуклая топология в векторном пространстве Е над Гс может быть задана некоторым множеством полуяорм. Это — непосредственное следствие предложения 3: топология пространства Е определяется множеством всех непрерывных полу- норм на Е. В частности, множество всех полунорм на векторном пространстве Е определяет сильнейшую локально выпуклую топологию в Е (й 2, и«1). 3 а меч ание. Пусть р и о — две полунормы на векторном пространстве Е, Если существует такая постоянная «)О, чтор(х) ( «о (хг во всех точках некоторого поглощающего множества А, то, поскольку р.
гл. и, ь ь ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА н о положительно однородны, зто неравенство выполняется во всех точках пространства Е. Тем самым отношение „существует а ) 0 такое, что р <ао' равносильно отношению р(д по фильтру окрестностей нуля для сильнейшей локально выпуклой топологии в Е (Функц. вещ. перем., гл. Ч, э" 1, и' 1 (гв)). Допуская вольность речи, мы говорим, что множество Гь повунорм на Š— фильтрующееся(по отношению ~), если для любых двух полунорм рп рхСГь существует полунорма о в Гь такая, что рг ~~В н рт~ф Тогда множества, определяемые всевозможнымн неравенствами вила р(х) ()„гле р с Гь и 1) О, образуют фунланентальную систему окрестностей нуля лвя топологии, заданной множеством 1'ь, Каково бы ни было множество Г полунорм на Е, можно получить фильтрующееся множество полунорм, определяющее ту же топологию, что и Г, образовав множество 1'ь верхних граней всевозможных конечных наборов повунорм, принадлежащих Г.
Пгедложение 5. Пусть à — множество полунорм на веквпорном пространстве Е. Для того чтобы топология, определяемая зтим множеством, была отделимой, необходимо и доста.точно, чтобы для каждого х ~ О из Е существовала полунорма р~Г такая, что р(х) Ф О. Это предложение очевидным образом следует из определений. П~едложение б. Для того чтобы локально выпуклое проктранство было метризуемым.
необходимо и достаточно, чтобы юно было отделимым и его топологию можно было задать счет- мым множеством полунорм. Действительно, для того чтобы отделимое локально выпуклое векторное пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы существовала счетная фундаментальная система окрестностей нуля. Пусть Š— локальна выпуклое пространство, топология которого задана множеством Г полунорм.
Так как для каждой полунормы р выполняется неравенство р (х — г) ~( р (х — у) + р (у — г), то Р (х — У) есть отклонение на Е (Общ. топ., гл. 1Х, $ 1, п' !) н из определений следует, что когда р пробегает Г, множество этих отклонений определяет равномерную структуру топологического векторного пространства Е.
Пусть теперь Е отделимо. функции р~ Г, будучи равномерно жепрерывны на Е, по непрерывности продолжаются иа пополнение Е взространства Е (Общ. топ., гл. Гп й 3, теорема 1). Пусть à — мно- полунОРмы жество этих продолженных функций. В силу принципа продолжения неравенств (Общ. топ., гл. 1У, $ 5. теорема 1), функции нз Г являются полунормами на Е; прн этом, если через р обозначить лродолжение функции р~ Г на Е„ функции р(х — у) образуют <истему отклонений, определяющих равномерную структуру пространства Е (Общ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
