Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2) Показать, что выпуклая оболочка кочцактного множества в пространстве )ч» компактна (см. й 1, упражнение 8). *3) Пусть т' — интервал (О, 11 в )ч и Р— векторное пространство с-,(() непрерывных числовых функций на Е Пусть Š— пространство )ч (состаалениое из всех конечных числовых функций, опрсделсн- Р ных на Р) и ач лля кажлого а е т' — элемент из Е такой, что та (у) = у(а) для всех ~'бР. а) Показать, что множество К всех ам (хат) компактно в Е. 1 б) Пусть Р— элемент нз Е такой, что Р (Х) = — ~ у (г) Ж лля всех у й Р о (,мера Побега'). Показать, что Р есть точка прикосновения ныпуклой оболочки множества К в Е, но не цриналлежит этой оболочке (см.
Функц. вещ. перец., гл. П, В 1, предложение 5). н) Пусть (т — векторное надпространство пространства Е, порожденное миожсстаои К и элементом Р. Показать, что Р есть экстремальнав точка замкнутой выпуклой оболочки множества К в П (см. предложение 4). ч4) Пусть А — выпуклое множество в векторном цространстис Е над )Т и ха А, )(азовем гранью точки х а А множество, образованное точкой х и теми точками учьх нз А, для которых прямая, проходящая через х и у, содержит открытый отрезок, содержащийся а А и солержащнй х.
Окру;кенныс (5 2, упражнение 3) (соота. экстречальные) точки множества А — это точки, грань которых относительно А совпадает с А (соота. сводится к сачок только этой точке). а) Показать, что грань Р. точки ха А есть наибозьшсе ныпуклос чножестао, содержащееся в А и имеющее х своей окруженной точкой. б) Какояа бы ни была точка у грани Р,„точки х иио'кестаа А, ес грань Р в А совпадает с гранью в Ре. Для того чтобы Р, = Р, необходимо и лостаточно, чтобы у было окруженной точкои мпожестна Р .
Вывестн отсюда, что если Рл конечночерпа н у — ее не окруженная точка, то размерность Р, меньше размерности Р, в) Поквзвтгь что линейное многообразие А4, порожденное гранью Р произвольной точки х б А а А, есть пересечение опорных ицогообразий мио,кества А, проходящих через х, и что А(ДА = Р . Каково бы пи было опорное многообразие Аг множества А, А(ПА является гранью (в А) каждой своей окруженной точки. г) Пусть А и В--даа выпуклых множества н Е. Какова бы ни бьща точка х й А ДВ, грань х а А П В есть пересечение граней х а А и В. Показать, что если Š— топологическое векторное пространство над В и  — зачкиутос выпуклое множество в Е, солсржащее замкнутое линейное многообразие М конечной факторразиерпости л, то каждая грань точки из В (в В) содержит замкнутое линейное много. образие факторразмерности и (см. й 1, упражнение 11).
Вывести отсюда, КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА что при этих условиях, для того чтобы грань точки хбАПВ в АПВ была конечномсрна, необходимо и достаточно, чтобы была копечномерна грань к в А; при этом, ес.ти тогда р и я — размерности граней х в А и в АПВ, то р~(д+ и. 5) Пусть А — выпуклое множество в плоскости )с~, определяемое неравенствами — 1(х< 1, — 1 — )г1 — хт < у (1+ гг! — хз.
Показать что существуют граничные точки множества А, грани которых в А отличны от пересечения множества А с его опорными прямыми, проходящими через зти точки. б) Пусть А — замкнутое выпуклое множество в нормированном пРостРанстве ВР(г!) огРаниченных последовательностей к= (си) веще- 1 ственных чисел, определяемое неравенствами — — ~<(и < 1 для и> 1 и и — 1~(сэ~(1. Показать, что А — выпуклое тело, 0 — его граничная точка и ее грань в А незамкнута. Показать, что А компактно в топологии, ипдуцированной из пространства )!', но грань точки 0 в А я незамкнута в этой топологии.
Т) Показать, что множество всех экстремальных точек замкнутого выпуклого множества А в пространстве (!э замкнуто. [Показать, что точки множества А, грань которых в А одномерна, образуют па границе этого множества открьпос множество.[ 8) Пусть А — компактное выпуклое множество в пространстве )ч: служащес выпуклой оболочкой объединения круга л = О, хэ+ ут — 2х = 0 и пары точек (О, О, 1) и (О, О, — 1). Показать, что множество экстремальных точек множества А незамкнуто 9) Показать, что всякое зачкпутос выпуклое множество А в )чч, нс содержащее никакой полупрямой, есть выпуклая оболочка множества своих экстремальных точек. [Ипдукцней по размерности грани точки множества А.] 10) Пусть ев в банаховском пространстве Я ()!)) — последовательность.
член которой с помором и равен 1, а все остальные члены равны О. Пусть А — замкнутая выпуклая оболочка множества, образованного точками 0 и —," — (и) 0). Показать, что А компактно, яо и+! пе совпадает с выпуклой оболочкой своих экстремальных точек. 11) Пусть Š— замкнутое векторное подпрострапство бапахопского пространства Я (Х), образованное последовательностями х = (с„), для которых !пп си = О. и -ь са а) Показать, что замкнутый шар ,'[х[! < 1 в банаховском пространстве Е пе обладает ни одной экстремальной точкой. -и.
б) Пусть и — нспрсрывная линейная форма (эи) -и д 2 („на Е. ,~=о Показать, что шар )[х,", (! не обладает пи одной опорной гиперплоскостью, параллельной замкнутой гнперплоскостн, заданной уравнением и(х! = О. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл. и, я ч 12) Пусть А — компактное множество в нормированном пространстве Е. а) Показать, что расстояние между двумй параллельными опорными гиперплоскостями множества А не превосходит диаметра д этого множества. б) Показать, что в А существуют пары точек (а, Ь) такие, что ![а — Ы1 = Ь; для такой пары точек существует пара параллельных опорных гнперплоскостей, проходящих соответстненно через а и Ь и отстоящих друг от друга на расстояние Ь.
[Рассмотреть замкнутый шар с центром а н радиусом Ц ч13) а) Пусть А — л-мерное компактное выпуклое множество в пространстве )с", снабженном евклидовой нормой. Для каждого вектора хр 8п т обозначим через р(х) верхнюю грань длин отрезков, параллельных х и содержащихся в А. Показать, что в А существует пара точек и, о такая, что соединяющий их отрезок параллелен вектору х и имеет длину р (х).
Вынести отсюда существование двух параллельных опорных гнперплоскостей множества А, проходящих соответственно через точки и и о. [Рассмотреть множество А+ р(х) х и применить предложение 1 ф 3, приняв во внимание упражнение 9 ф Ц б) Пусть и' — нижняя грань расстояний между парами параллельных опорных гиперплоскостей множества А.
Показать, что на его границе суьцествуют точки а н Ь такие, что ра — Ы1 =а и гиперплоскости, проходящие соответственно через а и Ь перпендикулярно к соединяющему нх отрезку, нвляются опорными гиперплоскостями множества А. [Использовать а).[ 14) Пусть А — компактное выпуклое множество в пространстве Я(М), определенное в упражнении 1О, и Š— порожденное нм замкнутое векторное подпространство пространства йг(М). Показать, что нижняя грань расстояний между парами параллельных замкнутых опорных гиперплоскостей множества А в пространстве Е равна нулю, но А не содержится ни в какой замкнутой гнперплоскости этого пространства.
ь!5) Говорят, что точка х выпуклого множества А в векторном пространстве Е над )1 есть точка строгой вылуклосши множества А, если существует опорная гиперплоскость Н множества А такая, что НП А = (х). Каждая точка строгой выпуклости экстремальна, но не обратно (см. упражнение 5 и гл. 1Ч, ф 1, упражнение 2). Далее предполагается, что Е = Яч и А — компактное выпуклое множество в )(ч. а) Пусть Н вЂ” гнперплоскость в Е. Показать, что в каждом определяемом ею открытом полупространстве, содержащем по крайней мере одну точку из А, имеется точка строгой выпуклости множества А.
[Рассмотреть в Н замкнутый (л — 1)-мерный евклидов шар С достаточно большого радиуса, содержащий НП А, и затем л-мерные евклиловы шары В большего радиуса, содержащие А и такие, что ВПН = С.[ КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА б) Показать, что А есть замкнутая выпуклая оболочка множе- ства своих точек строгой выпуклости.
[Использовать а).] в) Показать, что каждая экстремальная точка множества А есть точка прикосновения множества всех точек строгой выпуклости этого множества. [Используя б), а также упражнение 8а ф 1, принять во внимание, что экстремальная точка есть предел последовательности я я точек вила ~~Э~ !вял!,„, где !!ж~ О, ~~~~ 1;,я= 1 и хя„— точки строгой ч=о ч=о выпуклости; заметить, кроме того, что каждую из последовательно- стей (х;,„) и (),см) можно считать сходящейся.) 16) Пусть А — компактное выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е. а) Показать, что если О ( А, то заостренный выпуклый конус С с вершиной О, порожденный множеством А, замкнут. Показать на при- мере (с Е = )ст), что это заключение уже не сохраняет силу, если 0 я А .
б) Показать, что С есть замкнутая выпуклая оболочка множества своих экстремальных образующих. [Рассмотреть пересечение конуса С с замкнутой гиперплоскостью, строго отделяющей 0 и А, и показать что оно компактно.] в) Пусть т) — экстремальная образующая конуса С; показатгч что Е! ДА есть замкнутый отрезок, имеющий своими концами экстремаль- ные точки множества А, 17) Пусть Е и Š— два отделимых локально выпуклых простран- ства, А — выпуклое множество в Е и и — линейное отображение Е в Р.
а) Прообраз опорного многообразия множества и(А) о~носительно отображения и есть опорное многообразие множества А. б) Если А компактно, а и непрерывно, то каждал экстремальная точка множества и(А) есть образ экстремальной точки множества А при отображении и.
в) Если А — конус, порожденный компактным выпуклым множест- вом, не содержащим 0 (упражнение 16), а и непрерывно, то каждая экстремальная образующая конуса и(А) есть образ экстремальной образующей конуса А при отображении и. ч18) Пусть А — произвольное множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е. а) Обозначим через Гэ(А) множество всех точек лЕЕ, обла- дающих тем свойством, что каково бы ни было непрерывное линейное отображение и пространства Е в конечномериое векторное простран- стао, и(х) принадлежит выпуклой оболочке множества и (А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
