Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, выпуклая оболочка В множества А содержится в выпуклой оболочке этого объединения, т. е. в С-+1г, где С вЂ” выпуклая оболочка конечного множества, образованного и точками а; (й 1, предложение 8). Но С компактно (предложение 1); поэтому существует конечное число точек да~С (1 <)г < т), таких, что С содержится в объединении окрестностей Ьа+Ъ'. А тогда В содержится в объединении окРестностей Ьь + 2(г, и пРедложение доказано. Отметим, что в бесконечнонерном отделимом локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка компактного множества необязательно замкнута (упражнение Зб). Следствие. В полном отделимом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного множества компакена. Напротив, в неполном пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного множества может быть не компактной (уяражненне Зв).
2. Экстремальные точки компактных выпуклых множеств Опеедвление 1. Лурть А — выпуклое множество в векторном пространстве Е над !ч. Говорят, что точка х~ А есть экстремальная точка множества А, если в А нет никакого открытого отрезка, содержащего х. Иными словами, из соотношений х=Лу+(1 — Л)2, у~ А, 2~ А. О <Л(1 следует Л=О илн Л= 1 (так что х=2 или х=у). Отсюда вытекает, что х не может быть центром тяжести никакого множества точек из А, снабженных неотрицательными массами, и не будучи само одной из этих точек. Действительно, если х = ~~~ Л»х», х»~А, Л»)~ 0 (1 <» < и) н ~~~~)ч= 1 и если бы, например, мы имели »» ЛА> 0 и Ль> 0 (так что ЛА~ 1), то можно было бы написать х = Льхл+(1 — Ль)у„, где у„— центр тяжести точек х» с индексами Л» » ~ )», снабженных массами — '; и так как уь~А, то мы пришлибы 1 — Л„ к противоречию.
П ри м е р ы. !) В пространстве ми каждая точка сферы Ви есть экстремальная точка замкнутого шара В„. Действительно, если 106 ГЛ. П,54 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~~~ у$4 1, ~ х; ( ! и О < ), < 1, то равенство $=! $-! Л ~~~~ уз+ (! — )) ~~~~ а!+ 2) (1 — Л) ~~$'усл. = 1 = (Л+(1 — Л)]~ $ ! и и и возможно лишь если г у, = х,х! = р унв! =1.
Но последние раг жз з $-! $'-! $. ! $! венства означают, что ~~~ (у! — х!)э=О, откуда ус=с! для каждого $=! индекса 0 н утверждение доказано. 2) В нормированном пространстве ю$(М) ограниченных последовательностей вещественных чисел экстремальные точки шара ~!хй ~ 1 вто точки х = (Е„), в которых (Еи) = 1идля каждого и. Действительно, предположим, что ~ си ! ( 1 для всех и н ! Ер ~ < 1 для какого то номерар. Тогда можно написать 1+Ел 1 Е х= , у+ , т где у (соотв. «) — точка с теми же координатами, что и х, за исключением р-той координаты, равной +1 (соотв. — 1). Это показывает, что х — не экстремальная точка, поскольку !! у !! ( 1 и ~! л~! < 1.
Напротив, если (Еи! = 1 для всех и, то х — экстремальная точка, ибо из соотно$пений Еи= )гт+(1 — Л) Е$$ ~ $) $! ~, 1 ! Еи!(1 и 0< 1 <1 следует, что Еи =. Вам е ч а н не. Пусть С вЂ” выпуклый конус в Е с вершиной О. Ясно, что С не может иметь ни одной экстремальной точки, кроме вершины (а последняя будет экстремальной, лишь' если С вЂ” выступакзщий заостренный конус). А(ы говорим, что полупрямая Р с началом О, содержащаяся в конусе С, есть его экстремальная образующая, если кажлый открытый отрезок, содержащийся в С и имеющий общую точку с Р, содержится в Р, Пусть Н вЂ” гипсрплоскость, не проходящая через 0 н пересекающая полупрямую Р с: С с началом 0 в некоторой точке хэ. Для того чтобы Р была экстремальной образующей конуса С, необходимо и достаточно, чтобы хс была экстремальной точкой множества НДС. Действительно, необходимость этого условия очевидна.
Обратно, пусть оно выполнено н предположим, что существует прямая Р' чь Р, проходящая через хэ и такая, что Р'ПС содержит открытый отрезок, содержащий хэ. Пусть у — ненулевой вектор, параллельный Р'," из наших предположений следует, что точка (! + Л) хс+ ру при достаточно малых $ Л ~ и ! !$ ! будет принадлежать С.
Но тогда в плоскости Р полупрямых Р и Р', наделенной ее единственной отлелимой локально выпуклой топологией,ха будет внутренней точкой множества РПС и, следовательно, прямая РПНбудет содеожать КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА открытый отрезок, содержащийся в г(ПС и содержащий хь, что, однако, противоречит предположению. Пусть С вЂ” выступающий заостренный выпуклый конус. Рассмотрич структуру порядка в Е, для которой С образует множество всех элементов )~ О (ф 1, предложение 13). !(ля того чтобы элемент х 0 из Е принадлежал экстремальной образующей конуса С, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент > О, мажорируемнй этим элементом х, был пропорционален х.
Действительно пусть элечеит у)~0, не пропорциональный х, мажорируется элементом х. Тогда х — у ) О, следовательно, х+ Лу с С для всех Л ~ — 1, так что в С содержится открытый отрезок, содержащий х и не принадлежащий нолупрямой В с началом О, проходящей через х; тем самым В не экстремальна. Обратно, если В не экстреиальна, то существует замкнутый отрезок с концами у, е, принадлежащими С, не содержащийся в В и такой, что х= )у+(1 — )) е, тле 0( Л(1. Так как тогда Лу ~ 0 и (1 — Л) х' ~ О, то элементом х иьжорируется элемент ).у, не пропорциональный х. Мы видели (ф 3, предложения 2 и 4), что в отделимом локалыю выпуклом пространстве каждое компзктное выпуклое множество обладает замкнутой опорной гиперплоскостью. Но более того: Пгедложениг.
3. Пусть А — компактное выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е. Каждая замкнутая опорная гиперплоскосгпь Н множества А содержит по крайней мере одну его экстремальную точку. Будем говорить, что линейное многообразие М в Е есть опорное многообразие множества А, если оно имеет общую точку с А и обладает следующим свойством: какова бы ни была точка х~ А П М, каждый открытый отрезок, содержащийся в А и содержащий х, необходимо содержится в М.
Непосредственно ясно, что каждая опорная гиперплоскость множества А есть опорное многообразие (чем и объясняется принятая (гамм терминология). Сказать, что линейное многообразие, сводящееся к точке х, множества А, есть опорное многообразие этого множества, все равно что сказать, что х„ есть экстремальная точна множества А. Пусть теперь Я вЂ” множество всех замкнутых опорных многообразий множества А, содержащихся в Н; !) не пусто, поскольку НЕ !1.
Упорядочим Д по включению ~„. покажем, что б индуктивно по этому отношению порядка (Теор. мн., Рез., ф б, п' 9). Действительно, пусть Э— совершенно упорядоченное подмножество в Я; все сводится к доказа- 108 гл. и, а А ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА тсльству того, что И= И М будет опорным многообразием мноьггн жества А (ибо замкнутость И очевилна).
А для этого нужно только проверить, что И П А = П (М П А) не пусто. Но когда М пробемсн гает Е, пересечения конечных наборов множеств вида М П А суть тоже множества этого вида, поскольку Е совершенно упорядочено. Таким образом (поскольку М П А, по предположению, не пусто ни для какого М~Е), эти замкнутые множества образуют базис фильтра в компактном пространстве А, что и доказывает, что И П А не пусто.
Поэтому, в силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез„ 3 б, и' 1О), в )у существует минимальный элемент Иь. Мы покажем, что Иь сводится к точке, чем предложение и будет доказано. Предположим противное. Тогда И, П А будет непустым компактным множеством в замкнутом линейном многообразии Иь размерности ) О, следовательно, И, П А будет обладать замкнутой опорной гиперплоскостью Е в Иь (й 3, предложения 2 и 4). Но Š— опорное многообразие множества А. Действительно, если х~Е ПА н 5 — открытый отрезок, содержащий х н содержащийся в А.
то О содержится в Иь, поскольку х~Ир, а Иь — опорное многообразие множества А; таким образом, 5~ИВПА, и так как Š— опорная гиперплоскость множества ИАПА в И„, то В~Е, чем наше утверждение доказано. Но тогда, очевидно, Е~Д, ЕсИь и Е чь И,, в противоречие с мннимальностью И,, и предложение доказано. Теоеемл 1 (Крейн — Мильман). Каждое компактное выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е есть замкнутая выпуклая оболочка множества своих экстремальных точек. Действительно, пусть  — замкнутая выпуклая оболочка множества всех экстремальных точек множества А.
Ясно, что В~А. Для докааательства того, что Ас= В, достаточно доказать, что. какова бы ни была непрерывная линейная форма 1' на Е, г(А)~У(В) (й 3, следствие 4 предложения 4). Но 1(А) — компактное выпуклое множество в )с, т. е. некоторый компактный интервал 1х, 'р1. Гиперплоскость, заданная уравнением 1(х) = а, есть замкнутая опорная гиперплоскость множества А и, слеловательно (предложеиие 3), солержит его экстремальную точку, что, по определению, означает, 2 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1ОВ что а~у(В).
Так же устанавливается, что ~~ у(В), и так как у(В) выпукло и, значит, является интервалом в м, то тем самым г(А)с- ~/(В), и теорема доказана. Эта теорема допускает следующее уточнение. Пгедложение 4. Пусть К вЂ” компактное множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е, обладающее компактной замкнутой выпуклой оболочкой А. Тогда каждая экстремальная точка множества А принадлежит К. Пусть х — экстремальная точка множества А. Для каждой замкнутой симметричной выпуклой окрестности нуля )г в Е существует конечное число точек а;~ К (1 (! ( и) таких, что множества а;+!г покрывают К, Пусть А, — замкнутая выпуклая оболочка множества КП(аг+-!г), Так как А;~А, то А; компактно.
Отсюда вытекает, что А есть выпуклая оболочка и множеств Аг, поскольку последняя компактна (предложение !), содержится в А и, очевидно, содери н жит К. Поэтому х=,~~)чхп где хг~АО Лг) О и .~,Л! = 1.Так как г=! г=г х — экстремальная точка множества А, а все х; принадлежат А, то это означает, что х =- х; для некоторого !. Иначе говоря, х~ А; для некоторого й но так как Ъ' выпукло и замкнуто, то А;<=а; )-(г; следовательно, х~ К+ )г. Будучи ззмкнутым, К является пересечением множеств К+-)г, когда !г пробегает множество всех симметричных окрестностей нуля.
Тем самым х ~ К. Замечания. !) Денге в конечномерном пространстве Е множество всех экстремальных точек компактного выпуклого множества необязательно замкнуто (упражнение 8). 2) В бесконечномерном отлелимом локально выпуклом пространстве компактное выпуклое множество может обладать экстремальными точками, через которые не проходит никакая его опорная гинерплоскость (гл. !Н, ф 5, упражнение Зб). 3) Компактное множество К в неполном отлелнмом локально выпуклом пространстве, имеющее некомпактную замкнутую выпуклую оболочку, может обладать зкстремальнымн точками, не принадлежащими К (упражненне Зв). 4) Может случиться, что замкнутый шар с центром 0 и радиусом ! в бесконечномерном банахозском пространстве пе обладает ни одной экстремальной точкой, ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Гл п,йч У п р в ж н е н и я, 1) 1(ать пример замкнутого некомпактного множества в (чт, аыпуклая оболочка которого незамкнута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
