Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда гиперплоскость Н,, содержащая М и параллельная Н, не содержит х. Следствие 4. 1)усть С вЂ” замкнутое выпуклое множество в локально выпуклом пространстве Е. Для того чтобы множество А из Е содержалось в С, необходимо и достаточно, чтобы для каждой непрерывной линейной формы г' на Е выполнялось условие з'(А) ~ У(С). Действительно, ес,ти точка х ~ А не принадлежит С, то существует замкнутая гиперплоскость с уравнением Г" (х) = а, строго отделяющая х и С, так что г (х) (У(С). Следствие 5.
Пусть Š— локально выпуклое пространство, М вЂ” его векторное надпространство и ) — линейная форма, Гл.п,аз 98 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА определенная и непрерывная на М. Тогда существует непрерывная линейная форма ~, определенкая на Е и служащая продолжением для !'. Продолжив, если нужно, у по непрерывности, можно считать, что М замкнуто; кроме того, в силу тривиальности утверждения при у = О, можно ограничиться тем случаем, когда )' ~ О. Пусть И вЂ” линейное многообразие, составленное теми х~М, для которых г" (х) = 1.
Так как )' непрерывна на М, то <ч< замкнуто в Е и 0(<<<. Пусть Π— замкнутая гиперплоскость в Е, содержащая )у' и не содержащая 0 (слелствие 3), и )"(х)= 1 — ее уравнение, так что у— непрерывная линейная форма на Е. Так как уравнения у(х)= 1 в )'(х)=1 на М равносильны, то ! и )' на М совпадают, чем доказательство и завершено. 3 ам еч анне, <(ля каждого непрерывного линейного отображе иня е надпространства М в произведение 11~ существует продолжаю щсе его непрерывное линейное отображение д всего пространства Е в р<г. !(ействительно, е=(е,) (<С<), где е, — непрерывные линейны< формы на М; если взять для каждого <бУ непрерывную линейпук форму е, на Е, служащую продолжснисм для е„то непрерывное ли нсйпое отобрвжсние в =-(е,) и будет требуемым продолжением для е Заметим, что непрерывное лннсйпос отображение А векторног< подпрострапства М в произвольное локально выпуклое пространство! уже необязательно допускае< продолжение до непрерывного линей ного отображения всего пространства Е в Е (гч.
1Ч, б 2, упражне нис 9в, б 4, упражнение 11 н й 5, упражнение 5в). Слвдствиг. б. Для каждого конеч номерного векторног< подпространства М отделимого локально выпуклого простран ства Е существует замкнутое векторное надпространство <ч< л<опологически дополнительное к М. г(ействительно, для того чтобы надпространство М в Е обладзл< топологически дополннтслы<ым подпространством, необходимо и доста точно, чтобы тождественное отображение М на себя продолжзлос до непрерывного линейного отображения р пространства Е на М которое необходимо является тогда непрерывным проектором (гл. 1 1, предложение 12). Но мы видели, что в случае конечиомер ного М такое продолжение действительно существует. Напротив, как уже указывалось, в некоторых банаховских прс странствах имеются замкнутые бесконечномсрпыс надпространства, н обладаюн<не топологичсским дополненном (гл.
Л, й 5, упражнение 5 99 ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ Напомним, однако, что каждое замкнутое надпространство конечной факторразмерностн обладает топологнческнм дополнением (гл. 1 5 2 предложение 3). 'С другой стороны, мы увидим, что в гнльбертовом пространстве каждое замкнутое векторное подпространство обладает топологнческим дополнением (гл. Ч), (см. также гл. 1Ч. 5 1, упражнение 11л). 4. Положительные линейные формы на упорядоченном векторном пространсгнве Пгедложг~Ве 5.
Пусть Р— выступающий заостренный выпуклый конус в отделимо.и топологическом векторном пространстве Е над Рч, облидающий и> крайней мере одной внутрекней точкой. Каждая линейная форма г -Р О на Е, положительная относительно структуры порядка, определяемой конусом Р Я 1, и' 5), непрерывна. При этом г (х) ) О для каждой внутренней точки х конуса Р и 1(х) О для всех его точек прикосновения. Это сразу вытекает из предложения 16 й 1„примененного к множеству' Р и гиперплоскости, заданной уравнением г"(х) = О.
Пгедложение 6. Пусть Р— выступающий заостренный выпуклый конус в отделимом лака,гьно выпуклом пространстве Е обладающий по крайней мере одной внутренней' точкой, и М— векторное подпространство в Е, проходнщее через внутреннюю точку хь конуса Р. Для каждой положительной линейной формы ) на М (относлтельно структуры порядка, определяемой конусом РПМ) существует положительная линейная форма ) на Е (относительно структуры порядка, определяемой конусом Р), служащая продолжением для г".
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда ) чь О. Уравнение 1(х) = О определяет в М замкнутую гиперплоскость 1Ч; в силу предложения 5, )Ч не содержит нн одной внутренней точки конуса РП М, значит тем более ни одной точки конуса Р, внутренней по отношению к Е. Теорема 1 показывает, что существует ззмкнутая гиперплоскость Н, содср>кащая 1»' н пе пересекающаяся с внутренностью Р конуса Р; так как хе~ М, то М пе может содержаться в гт' и, значит, М П И = >Ч. Если ((х) = Π— уравнение гиперплоскости Н н г> — сужение )' на М, то у>(х) =- О есть уравнение гиперплоскостн Ч в М и, следовательно, существует скаляр а Ф О такой, !00 гя,п,яз ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫВ ПРОСТРАНСТВА ! что ау=у,; умножив, если нужно, )' на —, мы можем поэтому считать, что у" есть сужение у' на М.
Так как теперь у'(ха) ) О, то у(хз) ) О и, следовательно, у(х) ) 0 для каждого х~Р; отсюда вытекает, что у(х))~ 0 на всем Р, чем н доказано, что у есть положительная линейная форма, 3 а м е ч а н и е. Утвержление предложения б необязательно сохраняет силу, если не предполагать, что М содержит внутреннюю точку конуса Р, даже если Е конечномерно и РПМ содержит внутренние точки относительно М (упражненне 13).
Упражнения. ч!) Пусть Š— векторное пространство пад )2. Заостренный выпуклый конус С в Е (с вершиной О) называется лгаксимальным, еслн он является максимальным элементом в множестве всех выпуклых конусов ~ Е, упорядоченном по включенню. Зля того чтобы выпуклый конус С был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы он был полупространством вида у(х)>О, где у — ненулевая линейная форма на Е. Для установления этого результата доказать последовательно следуюигне свойства максимального конуса С: а) С[[( — С) =Е.
[Рассужденнеч от противного]. б) Если х — не окруженная точка нз С (б 2, упражнение 3), то — ай С. [Тем же методом.) Вывести отсюда, что С содержит окруженные точки. в) Нанбольшее векторное надпространство Н = СП( — С), содержащееся в С, есть гиперплоскость. [Переходом к факторпространству Р= Е|Н свести к доказательству того, что если все точки максимального конуса в Р— окруженные, то Р одномерно; для этого использовать б).[ "2) Пусть Š— векторное пространство над (с, М вЂ” его векторное надпространство, Н вЂ” гнперплоскость в М, А — выпуклое множество в Е такое, что все точки нз А ПМ находятся по одну сторону от Н н обладающее, кроме того, следующим свойством: для каждого у Ф. О нз Е существует х б АД М такое, что х+ Ау а А для всех достаточно малых !1!.
Показать, что тогда в Е существует гиперплоскость Н такая, что все точки нз А находятся по одну сторону от Н н Н Д М = Аг. [Свести к случаю Н = (О); для точки а + О, принадлежащей А ПМ, рассмотреть множество й всех заостренных выпуклых конусов, содержащих А н не содержащих - — а; показать, что в Й имеется макснмальный элемент С и что С есть максимальный конус (упражнение 1).[ Получить отсюда новое доказательство теоремы Хана — Валаха.
3) Пусть А — выпуклое множество в топологнческом векторном пространстве Е над )с и хэ — точка из Е. Для существования замкнутой гиперплоскостн Н, содержащей хэ н такой, что все точкн из А ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ВГНОЖЕСТВ находятся по одну сторону от Н, необяодимо и достаточно, чтобы существовал выпуклый затупленный конус С с вершиной ха, обладающий по крайней мере одной внутренней точкой и не пересекающийся с А Я). 4) Пусть А — зачкнутое выпуклое множество в )сн и ха — точка из )сч, не принадлежащая А. Будем через 8 обозначать евклидово расстояние в ((я а) Показать, не использув теоремы 1, что существует, и притом только одна, точка х с А такая, что А (ха, х) й (ха, А), и что гиперплоскость, проведенная через х пери ендикулярпо к прямой, соединяющей ха и х, служит опорной гиперплоскостью к А.
б) Получить из а) новое доказательство теоремы 1 для того случая, когда пространство Е копечпомерно. [Свести к случаю, когда М есть граничная точна ха множества А; принять во внимание, что нижняя грань расстояний от ха до опорных гиперплоскостей к А равна пулю, и воспользоваться компактностью сферы 8я 5) Пусть С вЂ” замкнутый выпуклый к опус в )ст, определенный неравенствами х ~~О, у ~~0, к~~О, хт ~ ху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
