Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Показать, что прямая Р, заданная уравнениями х = О, х= 1, не пересекаетсн с С, но не существует никакой плоскости, проходящей через Р, которав бы пе пересекалась с С, б) Пусть А — полное выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е и В -- предкомпактное замкнутое выпуклое множество такое, что АПВ = О. Показать, что существует замкнутая гнперплоскость, отделяющая А и В.
[Перейти к пополнению Е.[ Рассмотреть тот случай, кагда А копечномерно. 7) Пусть Р— прямая в нормированном пространстве Е = Р ()Г)) сУммиРУемых последовательностей вещественных чисел х = (."и)ябн определяемая уравнениями Ея = 0 (п)~1). Показать, что существуют две возрастающие последовательности (яя), (йн) вещественнык чисел ~0 такие, что выпуктое множество А, определенное неравенствами са)~[«я(н — Ея[, замкнуто, неограниченно и не пересекает прямую Р и что не существует никакой замкнутой гиперплоскости, которая бы отделяла А и Р. [Выбрать ая и йн так, чтобы А — Р было всюду плотно.) 8) Показать, что всякие два замкнутых выпуклых множества А, В бЕЗ Общнд ТОЧЕК В ПрОСтраиетнв )чя ОтдЕЛяЮтСя ЗаМКНутОй ГИПЕрПЛО- скостью.
[Пусть )(ян для каждого целого щ) О, — пересечение иножества В с замкнутым шаром с центроч 0 и радиусом яг н пусть Нж — зачкнУтаЯ гипеРплоскостгь отделающав А и Кяб пеРейти к пРеделу н воспользоваться компактностью сферы 8н т.] я) Пример ныпуклого множества А ~ Е (в,'бесконечномерном векторном пространстве Е), ие содержащегося ни в каком полупространстве, :м. в 5 1, упражнение 4, 1О2 гл. и, Ь з ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9) Пусть Š— локально выпуклое пространство и С вЂ” непустой замкнутый выпуклый конус в Е с вершиной О, отличный от Е.
Покаэатгь что для любой гипсрнлоскости Н таной, что нсс точки конуса С налодятся от иес по одну сторону, существует параллельная ей опорная гипернлоскость к С. Вывести отсюда, что для любой точки а ( С существует замкнутая опорная гипсрплоскость к С, не содержащая а и отделяющая а и С. ч)0) Пусть Š— отлелимое локально выпуклое пространство и С в замкнутый выпуклый конус в Е с гсршнной О. а) Пусть М вЂ” конечномерное векторное ноднространство в Е такое, что С П М =.-(О). Показать, что С -,'- М замкнуто в Е.
(Рассуждать от гротнвного: если бы Ь (М -, 'С было точкой прикосновения для М -1- С, то для любой симметричной выпуклой окрестности нуля У в Е пересечение Ь вЂ”;М с С+(У~С+2(У было бы не пусто; воспользоваться далее тем, что в подпространстэе Н = М + ВЬ сфера компактна.) б) Вывести нз а), что при тех же предположениях С обладает замкнутой опорной гиперплоскостыо, содержащей М.(Использовать упражнение 9.] в) Пусть С вЂ” замкнутый выпуклый конус в Вт, определенный в упражнении 5, и М вЂ” прямая, заданная уравнениями х = О, я= О. Показать, что С+ М незамкнуто н ((3. 11) Пусть А — компактное множество в Вч, обладающее внутренпичи точками. Показать, что если чсрез каждую граничную точку мне>лестна А проходит по крайней мере одна опорная гиперплоскость, то А выпукло.
(Рассуждая от противного, показать, что ссли х и у— две точки множества А такие, что соединяющий нл отрезок не содержится в А, и х — внутренняя точка м|южсства А, нс лежащая на этом отрезке, то треугольник с вершинами х, у, х содержит граничнун точку множсстна А, отличную от х и у.] ч!2) Пусть А — замкнутое множество в йч, обладающее следующим снойством; лля каждой точки х л (Тч существует, и притом только одна, точка у л А такая, что г((х,у) = л'(х, А) (где Ф вЂ” евкли. Аово расстояние) (см, упражнение 4).
а) Показать, что при х1йА гнпсрплоскость Н, проходящая через у перпендикулярно к отрезку, соединяющему х и у, служит опорной гиперплоскостью к А. (Доказать невозможность существования в А точек, расположенных вместе с х строго по одну сторону от Н, рассмотрев для этого пролоднщнс через у сферы с центрами на полу- прямой с началом у, прояодящей через х.] б) Вывести из а), что А — выпуклое множество. (Рассуждая от противного, рассчотреть две точки х, у множсстна А и точку х ( А соединяющего их отрезка.] 13) Пусть Р— замкнутый выпуклый конус в Вз с вершиной О, порожденный выпуклым множеством, заланным соотношениями х = 1, ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ г>(уэ) Явах( — уз,0)), тан что РП( — Р)=-(О).
Пусть М вЂ” под- пространство л= 0 в )ст. Показать, что на М линейная форма) (х, у) = у положительна относительно структуры порядка, определяемой кону- сом РПМ, но пвт нн одной линейной формы у' на 1(т, положительной относительно структуры порядка, определяемой конусом Р, которая служила бы продолжением дляЕ 14) Пусть Š— топологическое векторное пространство нал )1 и 3 — сильнейшая нз локально выпуклых топологий в Е,мажорируемых его топологией ~э. Непрерывные линейные отражения пространства Е в локально выпуклое пространство Р— одни и те же в обеих тополо- гиях л'э и й'.
Для того чтобы на Е существовала ненуленая непре- рывная линейная форма, необходимо и достаточно, чтобы для э э существовала окрестность нуля с не всюду плотной (в топологии в а) выпуклой оболочкой. э)5) Пусть Š— бесконечномерное метризуемое локально выпуклое пространство. а) Показать, что в Е существуют последовательность точек (ая), стремящаяся к нулю, и убывающая последовательность замкнутых векторных подпространств (Ея) такие, что каждое Е„имеет в Е фак- торразмерность и и а„, для каждого и, принадлежит Еш но пе при- надлежит Е„эт.
б) Пусть Е, кроме того, полно. Показать, что последовательности (л„) и (0„), удовлетворяющие условиям, указанным в а), можно опре- делить так, чтобы, сверх того, для каждой ограниченной последова- тельности вещественных чисел (ья) ряд с общим членом ьмая был коммутативпо сходящимся в Е и линейное отображение (),я) -» ~~~~ Ляля я бапаховского пространства Я((Э)) н Е было непрерывным и взаимно однозначным, в) Вывести из б), что если Š— бесконечночерное пространство Фреше, то мощность каждого его базиса над й не меньше мощности континуума (см. гл. 1, $ 1, упражнение 9).
Если в Е существует счет- ное вса>ду плотное множество, то каждый базис в Е имеет мощность континуума. 16) Пусть Š— бесконечномсрное пространство Фреше, в котором существует счетное всюлу плотное множество (см. гл. 1, 6 2, упра- жнение Вб). а) Показать, что в Е существует последовательность (л„) линейно независимых элементов такаяг.что каждая из последователшюстей (аэ„) и (аэяьт) тотальна в Е. [Использовать упражнение 1бв.] б) Пусть Р— векторное подпространство в Е, порожленное эле- ментами атя+т (и 6 й)), и М„ дла каждого и ) 0 — подпРостРанство, порожденное элементами атл с индексами й ( и.
Пусть, далее, Т» для каждого и — сужение на Р канонического отображения Е на Е/Мл и 3 „ †прообр топологии пространства ЕгМя относительно отображе- ния уа. Показать, что каждое йя является отделимой локально 104 гл. и, аь ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА выпуклой топологией в р, но их нижней гранью в множестве всех локвзьно выпуклых топологий в Р служит слабейшая топология. 17) Пусть Аь (! (1(п) и ненустых выпуклых открытых множеств в топозогическом векторном пространстве Е нвд й, имеющих пустое пересечение. Показать, что в Е существует замкнутое линейное многообрззие У фькторразмерностн и — 1, не пересекающее ни одного из этих множеств.
[Провести доказательство иидукцией но и.) $4. Компактные множества в топологнческих векторных пространствах 1. Выпуклые оболочки компактных множеств ПРедложение 1. Выпуклая оболочка объединения конечного числа компактных выпуклых множеств А; (1 (1 (и) в отделимом топологическом векторном пространстве Е над й ком1шктна, Действительно, пусть В в компактное множество в К", опредеи ленное соотношениями )ч, 0 (1 (1(п), ~~'„)и=1. Рассмотрим 1 1 и непрерывное отображение множества В Х Я Агс=й"' Х Е" в Е, 1 — 1 определяемое формулой (Л,, ..., )чн х,, ..., х„) -+ ~ )чх;.
С объединения Ц Аз есть образ множества 1=1 и отображении, и так как В Х ИА; компактно, 1 Выпуклая оболочка ч В Х ИА; при этом 1 то компактно и С. ПРедложеиие 2. уравновешенная выпуклая оболочка пред- компактного множества в отделимом локально выпуклом пространстве Е предкомпактна.
Действительно, пусть А — предкомпактное множество в Е. Его уравновешенная выпуклая оболочка есть выпуклая оболочка его уравновешенной оболочки (гл. 1, й 1, и' 3), а мы знаем, что эта последняя предкомпактна (гл. 1, й 1, и'5). Таким образом, остается доказать, что выпуклая оболочка предкомпактного множества А пред- компактна. Для каждой выпуклой окрестности нуля У в Е сушествует конечное число точек а1~ А (1 (1( п) таких, что А содер- 2 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 105 жится в объединении окрестностей а;+»' (1 (» ( и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
