Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 19
Текст из файла (страница 19)
упражнение 26). в) Пусть Е и Р— два векторных пространства н А (соотв. В)— выпуклое множество в А (соотв. В). Для того чтобы (х, у) было окруженной точкой множества А Х В, необходимо и достаточно, чтобы х было окруженной точкой множества А, а у †окруженн точкой множества В. г) Пусть А и  — два выпуклых множества в векторном пространстве Е. Показать, что если х †окруженн точка множества А н у — окруженная точка множества В, то каковы бы нн были скаияры «н К, «х+ру есть окруженная точка множества «А+5В.
д) Пусть лэ — окруженная точка выпуклого множества А с: Е. Показать, что хэ есть также окруженная точка порождаемого им выпуклого конуса с вершиной О. е) Пусть А — выпуклое множество в топологическом векторном пространстве Е вад )1, обладакнцее по крайней мере одной внутренней точкой. Показать, что множество всех окруженных точек множества А совпадает с его внутренностью (см. й 5, упражнение 12 и 6 1, упражнение 15). ж) Показатгь что выпуклое множество Р, определенное в упражнения 96 й 1, не содержит ин одной окруженной точки.
4) Пусть Š— векторное пространство пад )1, обладающее счетным базисом н наделенное сильнейшей топологией. Показать, что если пересечение выпуклого множества Ас-Е со всяким копечномерпым подпространством замкнуто в Е, то А замкнуто в Е (см. й 5, упражнение 12). *5) Пусть Е н Р— два векторных пространства над Рх, наделенные оба сильнейшей локально выпуклой топологией. а) Показат«ь что если каждое нз этих пространств обладает счетным базисом, то всякое билинейное отображенне произведения Е Х Р в произвольное локально выпуклое пространство 6 непрерывно.(Воспользоваться теоремой Дюбуа-Реймонз (Функц. вещ. перем., гл.
Ч, Приложение, упражнение 8('е) ).) 6) Показать, что еслн одно нз пространств Е, Р обладает базисом континуальпой мощности, то на ЕХ Р существует ве непрерывная бнлннейнав форма. б) Пусть (Е„) — любая бесконечная последовательность локально выпуклых пространств н Š— их топологическая прямая сумма. Показать, что топология пространства Е совпадает с топологией уе, определенной в упражнении 7 5 1 гл. 1. 7) Пусть У вЂ несчетн множество.
Показать, что в векторном пространстве Е =- К! сильнейшая локально выпуклая топология 3 (т) отлична от топологии Эе, определенной в упражнении 7 й 1 гл. 1. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91 Для этого доказатгь что множество тех х =(1,) 6Е (1, =О, за исключением конечного числа индексов), для которых ~~ЧР~(,~(1, открыто Ег в 3', но не открыто в 3'э. 8) Пусть Š— векторное прострапстно над Й, обладающее счетным базисом (с„), )г — уравновешенная выпуклая оболочка множества всех ев и %' — уравновешенная выпуклая оболочка множества точек а„= св+ (и — 1) лт (и = 1, 2,...).
Пусть 3 т (соотв. 3 т) — локально выпуклая топология, для которой множества ЛЪ' (соотв. Л(Р), где ), пробегает множество всех чисел )О, образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Показать, что 3'т и 3т отделимы, но их нижняя грань в множестве всех локально выпуклых топологий в Š— не отделимая (см.
6 3, упражнение 16). *9) Пусть Š— векторное пространство над К, являющееся объединением возрастающей последовательности (Е„) своих векторных подпРостРанств. ПУсть 3'в длв каждого и — локально выпУклаЯ топологиЯ в Е„, мажорирующая топологию, индуцируемую в Е„топологией 3 вэт. Предположим, что индуктивный предел К топологий й„отделим. з(ля того чтобы пространство Е, наделенное топологией 3', было полным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого и и каждого фильтра Коши в топологии 3, содержащегося в Е„, существовал номер р э и, для которого этот фильтр сходилсв бы в Е в топологии, которую инлуцирует Л.
[)Лля фильтра Коши 5 в Е рассмотреть фильтр Коши 6) в Е, базис которого образуют множества М+ )г, где М пробегает 1Т, а )г — фильтр окрестностей нуля в Е. Свести к доказательству того, что след Е на Е„ по крайней мере для одного и есть фильтр. Лля этого рассуждать от противного, предположив, что для каждого и сУЩествУют множество Мвк)У и симметРичнаЯ выпУклаЯ окРестность нуля )гв в Е такие, что М„ мало порядна Ь'„, а М„ + (гв не пересекается с Е„, причем последовательность (Ря) — убывающая.
Показать, что Я не может содержать никакого множества малого порядка В', 1 где йх — выпуклая оболочка объединения множеств — ()гвД ЕвУ для 2 этого рассмотреть для каждого и выпуклую оболочку Ф'я мно- 1 1 жества — 1'в и всех множеств — ()гАПЕА) с А(п; установить суще- 2 2 ствование множества Р„ Р $ такого, что Р„ + В'в нс пересекается с Е„, и вывести отсюда, что для некоторого множества Д Р)у малого порядка йт должен был бы существовать индекс и, для которого ()П .=О.) В частности, если Š— строгий индуктивный предел пространств Ея и каждос Е„ замкнуто в Е„ьт, то для полноты Е необходимо и достаточно, чтобы каждое Е„ было полно. 10) Пусть Š— строгий индуктивный прсдел возрастающей последовательности локально выпуклых пространств Е„ .(и' 5). Показать, что топология пространства Е является сильнейшей из топологий 3 (безразлично — локально выпуклых или нлш), согласующихся со ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫИ ПРОСТРАНСТВА гл.
и, эз структурой векторного пространства в Е н нндуцирующнх в каждом Е„ топологию, мажорируемую топологией 3 . [Пусть )га — окрестность нуля для такой топологии 3 и ((гп)я> э — последовательность окрестностей нУлЯ длЯ У таких, что (гя„, + (гчч.тс )гч длв каждого и > 0; рассмотреть в Е„, для каждого и ~ 1, выпуклую окрестность нуля В'и, содержащуюся в ЕчП Ьв, и образовать выпуклую оболочку объединения всех %'„.) *11) Для кажлого подмножества А аддитивиой группы О и кажлого и целого и ) 0 обозначим через + А множество всех элементов вида ~,хв где хгс А (см.
Алг., гл. 1, й 2, п' 9). Множество А в б г=г называется выпуклым, если для кажлого целого п)0 нз лхб+А следует х с А. а) Показать, что если (аддитивно записываемая) топологическая коммутативная группа б нзоморфпа подгруппе локально выпуклого векторного пространства, то в О существует фундаментальная система симметричных выпуклых окрестностей нуля. б) Обратно, пусть Π— отделимая адднтнвиая топологическая коммутативная группа, в которой существует фундаментальная система лэ симметричных выпуклых окрестностей нуля. Показать, что П вЂ” группа без кручения и может поэтому рассматриваться (алгебранчески) как подгруппа вполне определенного векторного пространства Е над () (Алг., гл.
П1, б 2, и' 3). Пусть )г длн кажлого )Г б З вЂ” множество всех элементов вида гх, где х Р (Г, а г пробегает множество всех рациональных чисел от 0 до 1. Показать, что )г симметрично н выпукло (в определенном выше смысле). Вывестн отсюда, что если, кроме того, в О пе содержится никакой открытой подгруппы, отличной от самой П, то множества тг образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии, согласующейся со структурой векторного пространства Е над О. На этом основании установить, что 0 нзоморфна подгруппе некоторого отделимого вещественного локально выпуклого пространства. в) Пусть Π— лснсиногрифичесни упорядоченная адднтнвиая группа й )< 11 (Алг., гл.
т11, б 1, и' б). Отделимая топология аа(О) в О [Общ. топ., гл. %, б 1, упражнение 2(ц)[ согласуется со структурой группы. Показать, что эта топология обладает фундаментальной системой симметричных выпуклых окрестностей нуля, но П нс изоморфна никакой подгруппе какого бы то нн было отделимого топологического векторного пространства над Й. 9 3. Отделение выпуклых множеств 1. Теорема Хана — Банаха (геолгеизранесжам форма) Тпогвмл 1 (Хан — Банях). Пусть Š— топологичесное векторное пространство над (ч, А — нвпустое выпуклое открытое г отделение выпкклых множеств 93 множество в Е и М вЂ” линейное многообразие, не пересекающееся с А.
Тогда существует замкнутая гиперплоскость Н, содержащая М и не пересекающаяся с А. Можно ограничиться тем случаем, когда М проходит через начало. Пусть обг — множество всех векторных надпространств, содержащих М и не пересекающихся с А. оФ не пусто, поскольку содержит М, и, очевидно, индуктивно; кроме того, если ДГ~ ояс, то также Й~оЖ.
Пусть Н вЂ” максимальный элемент в обе (Теор. мн., Рез., 6, и' 10); очевидно, Н замкнуто. Остается показать, что Н вЂ” гнперплоскость, или, иначе, что пространство Е(Н одномерно. Пусть ф — каноническое отображение Е на Е= Е1Н. В = ф(А) есть непустое выпуклое открытое множество в Е, не содержащее нулевой точки, и, по определению Н, в Р нет ненулевого векторного надпространства, которое бы не пересекалось с В. Таким образом, достаточно показать, что при этих условиях Е одномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
