Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда: Пгвдложвниз 9. Для того чтобы заостренный выпуклый конус С был выступающим, необходимо и достаточно, чтобы затупленный конус С'=СП С(О( был выпуклым. Если С содержит прямую. проходящую через О, то, очевидно, С' — не выпуклый. Пусть теперь С вЂ” выступающий, а х и у — две точки из С'. Замкнутый отрезок с концами х, у содержится в С; если бы он содержал О, то мы имели бы Лх+.(1 — Л)у=О для некоторого Л, заключенного между 0 и 1, и, следовательно, х= — 1ьу с р < О, так что С содержал бы прямую, проходящую через 0 и х, в противоречие с предположением.
Пгвдложнние 10. Для того чтобы множество Сс=Е было выпуклым конусом, необходимо и достаточно, чтобы С+Се= С и ЛС ~ С для каждого Л > О. Действительно, условие ЛС с= С для каждого Л ~ 0 характери- 1 стично для конусов. Если при этом С выпукло, то С-+С= — С+ 1 + — С = С. Обратно, если конус С таков, что С+ Се= С, и 0 < Л < 1, то ЛС+(1 — Л)С=С+С с= С и, значит, С вЂ” выпуклый.
Следствие 1. Если С вЂ” непустой выпуклый конус, то порожденное им надпространство есть множество С вЂ” С (т. е. множество всех х — у, где х и у пробегают С). Действительно, пусть У =С вЂ” С. У не пусто, ЛУ= У для каждого Л + 0 и У+У =С+С вЂ” (С-+С) с= С вЂ” С=У, так что У в векторное надпространство. И, очевидно, каждое векторное подпространство, содержащее С, содержит У.
Следствие 2. Если С вЂ” заостренный выпуклый конус, то С П ( — С) есть наиболыиее векторное подпространство, содержалсееся в С. гл. п,зь 70 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Действительно, пусть %'=СП( — С). %' не пусто, ))Г=)г' для каждого А ~ 0 и %'+ В' с: (С+ С) П ( — (С+С) ) ~ С П ( — С) = Ф', так что Ф' — векторное подпространство. И, очевидно, каждое векторное надпространство, содержащееся в С, содержится в %'. Ясно, что при однородном линейном отображении 1 аффинного пространства Е в векторное пространство Г образ г"(С) каждого выпуклого конуса С из Е есть выпуклый конус в Е. Каждое пересечение выпуклых конусов в Е (с вершиной 0) является выпуклым конусом. Следовательно, для каждого множества А с= Е пересечение всех выпуклых конусов, содержащих А (одним из которых является само Е), есть наименьший выпуклый конус, содержзщий А; его называют выпуклым конусом, порожденным множеством А.
Пгедложениз 1!. Пусть (С,) — семейство выпуклых конусов в Е. Выпуклый конус, порожденный обзединением всех С„ совпадает с множеством всех сумм ~~.', х„где г' — любые не'че пустые конечные множества индексов из Е а х,~С, для каждого еу. Действительно, множество С этих сумм есть, очевидно, выпуклый конус, содержащий объединение всех С, и содержащийся в каждом выпуклом конусе, содержащем это объединение.
Следствие. Выпуклый конус, порожденный множеством А с= Е, совпадает с множеством всех линейных комбинаиий ~~,'„)чхо вчем где (х;)е — любые непустые конечные множества точек из А и )ч) 0 для каждого 1~./. Достаточно заметить, что если выпуклый конус содержит точку к~А, то он содержит множество С всех точек )х, где ), пробегает положительные числа, и что С есть выпуклый конус. Пгвдложение 12. Выпуклый конус, порожденный выпуклым множеством А г.
Е, совпадает с С=Ц).А. ь>о (т)ножество С, очевидно, — конус, так что достаточно показать, что оно выпукло. Пусть ),х и !ьу — две точки из С (),) О, )ь) О, х~А, у~А), и пусть и) О, 3) 0 таковы, что а+р= 1. Имеем в ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 71 аЛх+рру=(пЛ+рр)г, где г~А и пЛ+рр>0. Следовательно, аЛх+ рру~ С. Замечания. 1) Если, в условиях предложения 12, 0( А, то С вЂ” затуплениый конус и, значит, С()(0) — выступающий. 2) Пусть А — любое выпуклое множество из Е.
Рассмотрим в Р=ЕХК выпуклое множество Ах=А)((1) и порожденный им выпуклый конус С с вершиной О. Предло>кение 12 показывает, что Аг есть пересечение С с гиперплоскостью Е Х(1) в Р. Таким образом, каждое выпуклое множество в Е можно рассматривать как проекцию на Е пересечения выпуклого конуса в Р с вершиной 0 и гиперплоскости Е Х (1). б.
Упорядоченные векторные пространства Пусть Š— векторное пространство над 1(. Мы говорим, что структура порядка в Е согласуется со структурой векторного пространства. если оиа удовлетворяет следующим двум аксиомам: (ЕОз) х (у влечет х+г <у+г для любого я~Е., (ЕОП) х) 0 влечет Лх) 0 для любого скаляра Л) О.
Множество Е, наделенное этими двумя структурами, называется упорядоченным векторным пространством. Отметим, что аксиома (ЕО1) означает согласованность структуры порядка со структурой аддитивной группы в Е, иными словами, что Е, наделенное двумя этими структурами, есть упорядоченная группа (Алг., гл. Ч1, й !). В частности, из теории упорядоченных групп вытекает, что отношения х (у и х+г(у+ г равносильны. Точно так же из (ЕОП) следует равносильность отношений х ( у н Лх (Лу для любого скаляра Л) 0: действительно, отношение Лх (Лу равносильно отношению Л(у — х):~ О, значит, влечет Л 'Л(у — х) ) О, что равносильно отношению х(у.
Если Л(0, то отношение х(у равносильно отношению — Лх( — Лу и, значит, отношению Лу (Лх, Можно сказать, что аксиоиы (ЕОг) и (ЕОП) выражают инеариавтяость структуры порядка в Е относительно всех переносов и всех гомотетий с козффициентом ) О. П р и и е р. В векторном пространстве Е = и всех вещественных л функций, определенных на множестве А„отношение порядка .х(Е)(у(Г) для всех ЕсА" согласуется со структурой векторного пространства.
72 гл, и, Э с ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пеедложение 13. Множество Р всех элементов ) 0 упорядоченного векторного пространство Е есть выступающий заостренный выпуклый конус. Обратно, пусть Р— выступающий заостренный выпуклый конус в векторном пространспсве Е; тогда отношение у — х~Р в Е есть отношение порядка.
Введем для него обозначение х <у. Определяемая этим отношением структура порядка будет единственной согласующейся со структурой векторного пространства в Е и такой, множество положительных элементов которой совпадаевс с Р. Если Š†упорядоченн векторное пространство, то аксиомы (ЕОс) и (ЕОП) влекут Р+Рс= Р и»Рс= Р для каждого».) 0; при этом, если х~Р и — х~Р, то х) 0 и х (О„значит х=О, так что Р есть выступающий заостренный выпуклый конус. Обратно, если Р— выступающий заостренный выпуклый конус, то из соотношений Р+ Р с= Р и РП( — Р) = (0) следует, что отношение у — х ~ Р в Е есть отношение порядка, согласующееся со структурой аддитивной группы в Е (Алг., гл.
Ч1, й 1, предложение 3); если записывать его в виде у) х, то Р— это множество всех элементов ~0, а соотношение».Р ~ Р для». ) 0 означает, что выполнена и аксиома (ЕОП). П р и м е р. «Пусть Н вЂ” гильбертово пространство и .Я'(Н) — векторное пространство всех непрерывных операторов в Н. Положительные эрмитовы операторы образуют в.Я'(Н» выступающий заостренный выпуклый конус.
Таким образом, этот конус определяет в .Я'(Н» структуру порядка, согласующуюся со структурой векторного пространства, причем А ~ В означает, что  — А есть положительный эрмитов оператор. Пусть Р— любой заостренный выпуклый конус в векторном пространстве Е над К. Тогда РП( — Р) образует в Е векторное надпространство Н (следствие 2 предложения 10). Образ Р' конуса Р при каноническом отображении Е на Е1Н есть выпуклый конус, и его прообразом в Е служит Р. Следовательно, Р' Д ( — Р') = 10) и Р' определяет в Е(Н структуру порядка, согласующуюся со структурой векторного пространства.
Линейную форму с на упорядоченном векторном пространстве Е называют положительной, если У(х)) 0 для каждого х) 0 из Е. 'То же самое можно выразить, сказав, что выпуклый конус Р эле- в ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 73 ментов > О из Е содержится в множестве тех х, для которых 7(х)) О. Ясно, что положительные линейные формы образуют в пространстве Е* всех линейных форм на Е выпуклый конус. 6. Выпуклые множества в гпопологпчеснах векторных пространствах Пгвдложвнив 14. Замыкание выпуклгго множества (соотв выпуклого конуса) в топологическом векторном пространстве Е над )с есть выпуклое множество (соотв. выпуклый конус с той жевершиной). Действительно, пусть А — выпуклое множество; функция (х, у)-ьЛх+(1 — Л)у для каждого Л, заключенного между О и 1 непрерывна на Е Х Е и отображает А Х А в А; следовательно (Общ.
топ., гл. 1, э 4, предложение 1), она отображает А )( А в А. чем выпуклость множества А н доказана. Так же доказывается. что если С вЂ” выпуклый конус с вершиной О, то С+Сс=С и ЛСс=С для каждого Л> О. Опувдвлвнив 4. Пусть А — произвольное множество в топологическом векторном пространстве Е. Замкнутой выпуклой оболочкой множества А называют пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих А, т.
е. наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее А. Вследствие предложения 14 замкнутая выпуклая оболочка множества А есть замыкание его выпуклой оболочки. Очевидно, она совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества А. Пгвдложвнив 15. Пусть А — выпуклое множество в топо- логическом векторном пространстве Е, имеющее по крайней мере одну внутреннюю точку хь. Если х ~ А, то каждан точки открытого отрезка с концами хь и х есть внутренник точка множества А. Действительно, пусть у — точка этого отрезка и 7 — гомотетии: с центром у и коэффициентом Л<О, переводящая хв в х. Если 17 — открытая окрестность точки хь, содержащаяся в А, то 7(17) есть окрестность точки х и, следовательно, содержит точку 7" (г) ~ А Имеем 7 (г) — у = Л (г — у) = Л (г — 7 (г) ) + Л (/ (г) — у), гл. Н,эг ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА А .откуда у — У(г)=.
(г — з(г)), так что у есть образ г при комотетии а с центром у(г) и коэффициентом р= —; так как О(1ь(1, то а преобразует Ъ' в окрестность точки у, содержалцуюся в А, и предложение доказано. Следствие 1. Внутренность А выпуклого множества А вылукла. Если А не пусто, то оно совпадает с внутренностью иножества А, а А есть выпуклое множество, совпадающее с замыканием множества А. Действительно, из предложения !5 следует, что если А не пусто, то оно выпукло и каждая точка из А принадлежит его замыканию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
