Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обратно, пусть Š— векторное пространство над К и ((г„)— счетный базис фильтра в Е, а () ) — стремящаяся к нулю после- МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 55 дозательность элементов из К, удовлетворяющие условиям а), б), в). Тогда множества ) 1~и образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для метризуемой топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е. Первая часть утверждения есть непосредственное следствие предложений 4 н 5 2 1.
Обратно. так как последовательность (Л ) стремится к нулю, то для любого Л+ О из К существует номер т такой, что (Л,„! ( (Л!, откуда Л„К,сЛЪ'и, поскольку Ъ'и †уравновешенное множество. Предложение 5 $ ! показывает тогда, что множества Л„,Ъ'и образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для отделимой топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е; так как семейство этих множеств счетно, то определяемая ими в Е топология метризуема. Как было уже отмечено (5 1, и' 3, замечание 2 вслед за предложением б), если К= (с или К= С, то из условий а) и б) предложения 1 вытекает, что для каждого номера и и каждого Л ) О существует номер т такой, что Л1г с 1гп. Следовательно, если базис фильтра ( Кп) удовлетворяет условиям а) н б) и пересечениеи всех множеств Ри служит О, то сани множества (гп образуют фундаментальную систему окрестностей нули для метризуемой топологии,согласующейся со структурой векторного пространства в Е.
Равномерную структуру метризуемого топологического векторного пространства Е можно задать инзариантным расстоянием И(х, у) = ~х — у~, где х — Р !х! есть непрерывное отображение Е в Й+, удовлетворяющее следующим трем условиям: 1) ! — х!=!х(; 2)Т|х+у) < !х!+)у(; 3) отношения !х( = О и х= О равносильны (Общ. топ., гл. П(, $3, и' 1). В гл. !Х .Общей топологии" показано 5 1, предложение 2), как можно ввести такое расстояние и с помощью убывающей последовательности (игп) окрестностей нуля в е, образующей фундаментальную систему и такой, что йги+г+ йги+х+ йти+г с йгп(е).' Так как Е есть метризуемое векторное пространство над недискретным телом К, то можно, кроме того, считать множества йгп уравновешенными Ц 1, предложение 4); как показывает способ введения расстояния а (там же), тогда из !Л! <1 следует ! Лх! (!х!. Кроме того, из условий (ЕЧТ,) и (ЕЧТй) п' 1 5 1 вытекает, что ! Лха! стремится к нулю вместе с ЛС К длЯ каждого хзбЕ и что !Лзх! стРемитсЯ к нУлю вместе с ! х! для каждого 1еб К.
Обратно, если функция ! х! обладает всеми указанными свойствами, а И'„означает множество тех хб Е, для которых ! х! (2 ", то Траву видно, что йуи образуют фун- 56 топологичесхие ВнктОРныв пРОстРАнстВА гл. г % 3 дьментальиую снстемуурзвновешенных окрестностей нуля для метрнзуемой топология, согласующейся со структурой векторного яространства в Е.
3 а меч а н и е. Нормированные пространства составляют один из наиболее важных классов метризуемых векторных пространств (з 1, и' 2). Но следует заметить, что существуют метризуемые векторные пространства, топология которых не может бьипь определена нормой (упражнение 2); позднее мы поанакомимся с важными примерами таких пространств. 2.
Свойства мепгризуемы» векторным просвгранств Каждое векторное подпространство метризуемого топологического векторного пространства Е метризуемо; то же верно для каждого факторпространства Е/М пространства Е по аамкнутому векторному подпространству М (Общ. топ., гл. !Х, й 3, предложение 4). Произведение любого счетного семейства метризуемых топологических векторных пространств метризуемо (Общ. топ., гл. !Х, з 2, следствие теоремы 1).
Если Кь — полное нормированное тело и К в его всюду плотное подтело, то пополнение Е метризуемого векторного пространства Е над К есть метризуемое векторное пространство над Кь (й 1, п' 5 и Общ. топ., гл. 1Х, з 2. предложение!). Наконец, если Š— полное метризуемое векторное пространство, то Е)М полно для каждого замкнутого векторного подпространства М (Общ. топ., гл. 1Х, з 3, предложение 4). 3. Непрерывные линейные Янкгйии па метризуемом веквгорном просгприпсвгве ТеоРемА ! (Баках). Пусть Е и г" — полные метризуемые векторные пространства над недискретным нормированным телом К. Каждое непрерывное линейное отображение и пространства Е на Р есть гомоморфизм. Достаточно доказать, что при отображении и образ каждой окрестности нуля из Е есть окрестность нуля в Е. Теорема будет вытекать из следующих двух лемм.
Лвммл 1. Пусть Е и Р— типологические 'аекторные пространства над недискретным нормированным телом К и и— непрерывное линейное отображение Е на Г. Если à — бэровское пространство (Общ. топ.. гл. !Х, 3 5, и' 3), то и(У) есть окрестность нуля в Р для каждой окрестности нуля У из Е. 3 МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 57 Пусть Ф" — уравновешенная окрестность нуля в Е такая. что Ф'+)Р"с-(г ($1, предложение 5), и а — элемент из К с 1а( 1. Объединение множеств а"УР' есть тогда все Е; в самом деле, для каждого х~Е существует ~)~К такое, что х~рЮ" (Э 1, ЕРедложение 5)ь и если п столь велико, что !Р1(1а"), то также х~а"УР, поскольку )Р" уравновешенно. Следовательно, объединение множеств и(а"Ф') =а"и(УР') есть все Е.
Так как Š— бэровское пространство, то по крайней мере одно из множеств а"и(!Р') имеет внутреннюю точку (Общ. топ., гл. !Х, Э 5. определение 3); следовательно, и((Р') имеет внутреннюю точку уь; а так как — и (Ф') = и (%'), то — и(Ф') = и()ь') и, следовательно, О=у„+( — у ) есть внутренняя точка множества и(Ю)+и(1Р). Но в силу непрерывности суммы у+а на Е)(Г, и(1Р)+и()Р') содержится в замыкании множества и(11т)+и(%')=и(Ф'+!Р') ~ и(У'); следовательно, и(Ь') есть окрестность нуля.
Будем обозначать через В„(х) замкнутый шар с центром х и радиусом г. Лемма 2. Пусть Е и à — метрические пространства, причем Е полно. Пусть, далее, и — непрерывное отображение Е в Е, обладающее следующим свойством: для каждого г ) О существует р ) О такое, что образ и(В„(х)) плотен в шаре Вр(и(х)) для каждого х~ Е. При этих условиях, для каждого а) г образ и(В„(х)) содержит шар Вр(и(х)). Действительно, пусть (г„) †бесконечн последовательность чисел ) О такая, что г,=г и ~иг„=а(ОО. Для каждого и существует число р„) О (с р,=р) такое, что и(В,„(х)) плотно в В (и(х)) для всех х~Е.
При этом можно предполагать, что гч 1нп р„= О. Пусть хь — точка из Е и у — точка из В,(и(хь)). Покажем, что у содержится в и(В„(х,)). Для этого определим по индукпии последовательность (х„)„> ь точек из Е так, чтобы х„~В„(х„,) и и(х„)~Вр (у) для всех и) 1. Пусть хо удовлетворяющие этим услоииям, уже определены для значений 1 от О до и — 1; имеем у~В, (и(х„,)). и так как гв и (В, (х„г) ) плотно в В, (и (х„,) ), то существует точка е ге 38 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. Ь $ 3 х„~В, (х„), образ которой и(х„) содержится в окрестности ь В, (у) точки у; тем самым существование последовательности (х„) В и+1 доказано. (х„) есть последовательность Коши, ибо расстояние между х„ и х„эр мажорируется суммой г„ьг+гзьг+....+г„ьв, произвольно малой при достаточно большом и. Так как Е полно, то эта после.довательность сходится к некоторой точке х~ Е, причем расстояние между хь и х мажорируется рядом ~~'.,г„ = а, так что х ~ Во(хь).
я=1 Но так как и непрерывно, то последовательность (и(х„)) сходится к и (х); а так как и (х„) 1- В (у), то и (х) = у и лемма 2 доказана. Г и+1 Вернемся теперь к теореме. Введем в каждом из пространств Е и Е расстояние, согласующееся с топологией этого пространства и инвариантное относительно переносов (п' 1). Так как Е, будучи полным метрическим пространством, есть баронское пространство (Общ. топ., гл. 1Х, ф 5, теорема 1), то лемма 1 показывает, что и (В„(0)) есть окрестность нуля в Е для каждого г ) 0; следовательно.
существует р ) 0 такое, что «;(В„(0)) плотно в окрестности нуля В, (О) пространства с'. Путем переноса заключаем, что и (В,(х) ) плотно в Вр (и (х) ) для каждого х~ Е. А так как Е полно. то лемма 2 показывает, что и(Ви(О)) есть окрестность нуля з Е для каждого а) г. Тем самым теорема 1 доказана. Из теоремы 1 вытекает ряд следствий. Следствие 1. Если Е и Š— полные метризуемьье вектор ные пространства над недискретным нормированным телом, то каждое непрерывное взаимно однозначное линейное отооражение и пространства Е на Е есть изоморфизм. В частности, если Е и Š— полные нормированные пространства, то существует число а) 0 такое, что йи(х)(()~айхй для каждого х~Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
