Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 10
Текст из файла (страница 10)
гл. !Ч, Е 2, упражнение 19). Пгедложение 3. Пусть Š— отделимое топологическое векторное пространство над полным недискретным нормированным телом К и М вЂ” замкнутое векторное надпространство конечи о й факторразмерности п в Е. Каждое подпространство А/ в Е, алгебраически дополнительное к М„топологически дополнительно к М. Напомним, что М всегда обладает алгебраическим дополнением в Е (Алг..
гл. И. $3, предложение б). Так как Е/М отделимо и п-мерно над К, то Е/М и А/ оба изоморфнььК," (теорема 2) и каноническое отображение Е/М на А/ (Алг., гл. П, $1, и' 4) есть изоморфизм Е/М на А/ (следствие 2 теоремы 2). Следствие. Пусть Е и Р— отделимые топологические векторные пространства иад полным недискретным нормированным телом. Если Р конечномерно, то каждое непрерывное линейное отображение Е на Р есть гомоморфизм.
4, Локалано компактные топологические векторные просгнранстеа Теогемл 3. Для локальной компактности топологического векторного пространства Е (не сводящегося к одному элементу О) над полным недискретным нормированным телом К необходимо и достаточно, чтобы К было локально компактно, а Š— отделимо и конечномерно над К.
ЛИНЕИНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Достаточность условий очевидна, ибо, в силу теоремы 2, Е тогда изоморфно пространству вида К,", которое локально компактно. Установим нх необходимость. Что Е' должно быть отделимым — ясно. Пусть теперь У вЂ” компактная уравновешенная окрестность нуля в Е) покажем прежде всего, что когда Л пробегает К*, множества ЛУ образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Действительно, для каждой уравновешенной окрестности нуля Ф в Е существует конечное число точек а~~У таких, что аг+Ю образуют покрытие множества У; далее, так как Ф вЂ” поглощающее множество, то для каждого индекса 1 существует Лс + О в К такое, что )„а;~Ф'. Если поэтому Л вЂ” ненулевой элемент из К такой, что 1Л)(1)ч~ для всех 1, то Лас~Ж для всех 1, нбо Ю вЂ” уравновешенное множество.
Так как, кроме того, можно считать, что (Л~.с.!. то ЛУс=Ц1Ла;+И')с%'+)Ус, чем наше утверждение и доказано, поскольку множества %'+)У образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. 1 Пусть теперь О ( е . —, и и — элемент из К' такой, что ~а~ (з. По предположению, в У существует конечное число точек Ь~ (1( у (и) таких, что Ус=~ ~1Ь1+аУ); тогда тем более Ус=М+аУ, с=1 где М вЂ” конечномерное подпространство, порожденное элементами Ьу. .Покажем, что предположение о несовпадении М с Е ведет к противоречию. Действительно, пусть с †точ из СМ и Š— множество 'тех Л~ К', для которых с +ЛУ пересекает М. Так как М замкнуто (следствие 1 теоремы 2), то о = !п1)Л! ) О, ибо когда Л пробегает К', "Еь ' о множества с+ЛУ образуют фундаментальную систему окресттей для с. Поэтому существуют точка у~М и элемент И~К* Такие, что с — у~рУ и о (~р! (о(1+е).
Положим хо=р-1(с — у). Так как хоЕУ, то хо1=М+аУ, т. е. хо — л+а1, где а~М ЕГОЗУ. Отсюда с=у+рл+ри8 или с — )ьоЬ=у+)ьл~М. Но так как 1ра( (з()ь~ (е11+з)о (о, то мы пришли к противоречию, и тен самым доказано„что М=Е. Ив теоремы 2 следует тогда, что Е изоморфно пространству вида К,"; следовательно, Е может быть локально компактным, лишь 52 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. !, $ 3 если само К локально компактно (Общ. топ., гл. 1, $ 1О, предложение 14), н доказательство закончено. За меч ани я. 1) Отметин, что при локазательстве конечномерности пространства Е было использовано лишь то, что У предколепактно, Мы видим, таким образом, что если в Е существует предкомпактиая окрестность нуля, а К есть полное недискретное нормированное тело, то Е изоморфно пространству вида К," и, следовательно, полно; но тогда Е локально компактно и потому К локально компактно, а Š— конечномерно над К.
2) Утверждение теоремы 3 теряет силу, если К в дискретное тело, как показывает пример тела й (наделенного обычной топологией), рассматриваемого как топологическое векторное пространство над дискретным телом (). У п р а ж н е н и я. 1) Пусть а топологическом произведении Е = м~, рассматриваемом как топологическое векторное пространство над )т, е„(па)г)) — элементы канонического базиса прямой суммы й 1. Пусть [д 1 аэ —— е„а„=еэ+ — е„лля и>1. Показать, что элементы аь где и 0(Г (л, для каждого целого л>0 образуют топологически свободное семейство в Е, ио бесконечное семейство (а„)„ и не является топологически свободным, Пусть М вЂ” замкнутое векторное надпространство йаа и а„ вЂ” класс элемента а„ в Е/М.
Классы ая (л.л.1) образуют в Е[М топологически свободное семейство, однако замкнутое надпространство ~Ч, порожденное элементами а„ с и ~ 1, содержит М. *2) Пусть Š— векторное пространство пал )1, образованное непрерывнымн числовыми функциями на интервале 1 [О, 1[. Пусть Уа „ длв каждой пары чисел (3, т) такой, что З 0 и О(э(1,— множество тех хае, для которых [х(г) [(э всюду вне (зависящего от х) открытого множества значений б связные компоненты которого имеют суммарную длину (э. а) Показать, что множества Уз, образуют в Е базис фильтра Ж, удовлетворяющий аксиомам (ЕЧг), (ЕЧП) и (ЕЧщ) (Я 1, предложение 5) и, следовательно, определяют в Е топологию, согласующуюся со структурой векторного пространства; показать, что эта топология отделима. б) Показать, что для любой пары (Ь, з) указанного вида существует целое л) 0 такое, что е= ~я~',Аь где все Ае= 1;- к [Рассмо1=1 треть надлежащее разбиение единицы на 1.) в) Вывести нз б), что каждая непрерывная линейная форма 1 на Е тождественно равна нулю.
[Принять во внимание, что если непрерыв- ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООВРАЗИЯ ная чнсловая функция х равна нулю всюду вне интервала У~удлини (Н то Лхр Ка, для всех Л б)й.] Вывести отсюда, что в Е не существует максимального топологическн свободного подмножества. 3) Пусть К вЂ” недискретное топологнческое тело, удовлетворяющее следующей аксиоме: (КТа) )(ля любых окрестностей нуля У и К в К существует ЛаК такое,что Л(СК) с-У н(СЪ') Лс:У. [Каждое недискретное тело, удовлетворяющее аксиоме (КТь) упражнения 13 в Общ.
топ., гл. П1, й 5 ( ), тем более удовлетворяет аксиоме (КТа),] Распространить предложение 2 н теорему 1 на топологнческне векторные пространства над К; распространить также теорему 2 и предложение 3 лри дополнительном предположении, что К полно. 4) Пусть К вЂ” топологнческое тело, полученное путем перенесения иа тело ь) (г' 2) топологии из От посредством отображения (х, у)-» -»х+у гг2 ° а) Пусть Š— множество б) ()Г2 ), наделенное структурой векторного пространства пад К и топологией, индуцированной нз й. Показать, что Š— одномерное отделимое топологическое векторное пространство над К, не нзоморфное К.
б) Пусть р — топологнческое векторное пространство Е )( Е над К. В р гиперплоскость Е>((0) замкнута, но не выражается никаким уравнением вида у(х) = 0 с непрерывной линейной формой У на Е. 5) Пусть К в неполное неднскретное нормированное тело, Е— топологнческое векторное надпространство К+ Ка его пополнения Ка где а(К, н Е=КХЕ. В р надпространство М=К)((0) замкнуто н имеет факторразмерность 2.
Пусть М вЂ” дополнительное к М надпространство, порожденное векторами (О, 1) н (1, а); показать, что г не является топологической прямой суммой подлростраиств М н М. *б) Пусть р — простое число, Π— тело р-аднческнх чисел, нолур ченное путем пополнения тела (), наделенного р-аднческой топологией (Общ. топ., гл. 1 Х, б 3, и' 2). Пусть Еа — произведение топологнческнх пространств ()р н )с н К в тело (а, наделенное дискретной топологией. Еа есть топологическое векторное пространство над К. Пусть М вЂ” векторное надпространство в Еа, образованное элементами (г, г), где г пробегает (); пусть, далее, 6 — иррациональное число н М вЂ” векторное надпространство, образованное злементамн (О, гб), где г пробегает (); пусть, наконец, Š— надпространство М + М пространства Е» Показать, что М есть замкнутая.гнперплоскость в Е, не обладающая топологнческим дополнением.
]Принять во внимание, что М всюду плотно в Е»] 7) Пусть Š— топологнческое векторное пространство над )с и 7— представление аддитквной группы Е в адднтивной группе й. Показать, что если в Е существует окрестность нуля, на которой У ограниченно, то Г" непрерывно и является линейной формой на Е. тОполОГические ВектОРные пРОстРАнстВА гл.
с а а 8) Пусть 8 — любое бесконечное множество. а) Показать, что наименьшая из мощностей тотальных множеств в нормированном пространстве УР(8) ограниченных отображений 8 в й (б 1, пь 2) равна мощности тз(8). (Рассмотреть множество характеристических функций всех подмножеств из 8 н принять во внимание, что в и существует счетное всюду плотное множество.! б) Показать, что наименьшая из мощностей тотальных множеств в нормированном пространстве г.г(8) суммнруемых семейств вещественных чисел, имеющих 8 своим множеством индексов (й 1, и' 2), равна мощности 8. $ 3. Метриауемые топологические векторные пространства е. Окрестности нуля в метризуемом топологинеском векторном пространстве Мы говорим, что топологическое векторное пространство Е метризуемо, если его топология метризуема. Таким образом, наделенное структурой аддитивной группы и своей топологией, Е есть метризуемая группа (Общ.
топ., гл. !Х, 2 3, и' 1). Как известно, для метризуемости топологической группы необходимо и достаточно, чтобы ее нейтральный элемент е обладал счетйой фундаментальной системой окрестностей, пересечение которых сводилось бы к е (Общ. топ., гл !Х, $3, предложение !). 1(ля топологических векторных пространств над недискретным нормированным телом имеет место следующее более точное предложение: Пгедложение !. В метризуемом топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом К существуют последовательность (У„) замккутык окрестностей нуля и стремящаяся к нулю последовательность (1 ) элементов из К такие, что семейство (Х (г„) (где т и п — произвольные целые числа > О) есть фундамектальная система окрестностей нуля, удовлетворяющая следующим условиям: а) все ӄ— уравновешенные поглощающие множества; б) для каждого целого р существует целое о такое, что Чв+(Гас(ГР; в) Пересечением всех множеств 1 Ъ'я служит О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
