Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Следствие 2. Пусть Š— векторное пространство над недискретным нормированным телом, а а и о — две топологии в Е, согласующиеся со структурой векторного пространства и такие, что в каждой из них Е метризуемо и полно. Если Я'1 и Уг сравнимы, то они совпадают. МЕТРИЗУВМЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следствия 3. Пусть Е и Р— полные метризуемые вектормые пространства над недискретным нормированным шелом. Для того чтобы непрерывное линейное отображение и пространства Е в Р было гомоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы и (Е) было замкнуто в Р.
Условие необходимо, ибо если и — гомоморфизм, то и(Е), будучи -1 изоморфным факторпространству Е(и(0), полно (и' 2) и потому замкнуто в Р. Условие достаточно, ибо если и(Е) замкнуто в Р, то оно является полным метризуемым векторным пространством и потому и есть гомоморфизм Е на и(Е) в силу теоремы 1.
Следствие 4. Пусть Š— полное метризуемое векторное пространство над недискретным нормированным телом. Если М и Ж вЂ” взаимно дополнительные (алгебраически) замкнутые векторные подпростронства в Е, то Е есть их топологическая прямая сумма Я 1, и' 8). Действительно, Л4 Х М есть полное метризуемое векторное пространство, н так как его отображение (у, г) -+у+я на Е непрерывно и взаимно однозначно, то оно есть изоморфизм (следствие 1). Следствие 5 (теорема о замкнутом графике). Пусть Е и Р— полные метризуемые векторные пространства над недискретным нормированным телом.
Для того чтобы линейное отображение а пространства Е на Р было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы его график в Е Х Р был замкнут. Условие необходимо, поскольку график непрерывного отображения в отделимое пространство всегда замкнут (Общ. топ., гл.
1, $ 8. следствие 2 предложения 6). Чтобы убедиться в достаточности условия, заметим, что в силу этого условия график О отображения и, будучи замкнутым векторным подпространством полного метризуемого пространства Е Х Р, сам есть полное метризуемое пространство. Но проекция л-+рг1'(г) пространства б на Е является непрерывным взаимно однозначным линейным отображением и потому изоморфнзмом (следствие 1); а так как обратным к нему служит отображение х-ь(х, и(х)), то и непрерывно на Е. Это следствие можно выразить также в следующей форме: если дая любой последовательности (хн) точек нз Е, стремящейся к нулю ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. 3 % 3 и такой, что последовательность (и(хя)) стремится к некоторому пределу у, этот последний необходимо =-. О, то и непрерывно.
П р н м е р. Пусть Š— векторное надпространство пространства числовых функций, определенных на 1= [О, 11; пусть 111[1 — норма на Е такая, что Е, снабженное этой нормой, полно, причем его топология мажорирует топологию простой сходнмостн; пусть, наконец, Е содержит множество ~1 всех бесконечно днфференцируемых функций на 1. Покажем, что тогда существует целое й)~0 такое, что Е содержит множество уу~) всех функций, имеющих непрерывную д-ю производную на 1. Пусть )слп, для каждой пары целых чисел т) О, и) О, — множество всех функций уй Уг таких, что ~ 1~ ) (х) [ ч, — для 0 ( й ~', и н т каждого хс1; легко видеть, что множества Ит„образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для метризуемой топология, согласующейся со структурой векторного пространства в Яг, кроме того, ,Уг полна в этой топологии (Функц, вещ.
перем., гл. П, б 1, теорема 1). Пусть и — каноническое отображение 5~1 в Е; покажем, что и непрерывно. В силу следствия 5 теоремы 1, достаточно доказать, что если последовательность (уя) сходится к нулю в уг н имеет предел 1 в Е, то необходимо 1 0; но это очевидно, поскольку, в силу предположения, 1 есть предел (Тя) в топологии простой сходимости. Поэтому существуют целое Д ) 0 н число а) 0 такие, что для функций обут нз ра(1)= звр [100(х)[~а следует [11[1~~1, кбг этажа НО Ра(1) — НОРМа В У11, а Ыг ОбРаЗУЕт В ф(1~) НОДПРОСтРаНСГВО, всюду плотное по этой норме (ибо, как сразу следует из теоремы Вейерштрасса — Стоуна, множество полнномов всюду плотно в ~~®)).
И гак как, в силу предыдущего, тождественное отображение ут (снабженного нормой рл) в Е непрерывно, то оно продолжается но непрерывности на всь пространство ~т1"), чем наше предложение и доказано. Упражнения. "1) а) Пусть Š— векторное пространство над нормированным телом К предположим, что Е наделено метризуемой топологией, согласующейся с его структурой аддятнвной группы, и что, кроме того, х-ь )эх непрерывно в Е для каждого АэбК н А-ьЛхь непрерывно в К для каждого хьбЕ. Показать, что если одна из двух метризуемых групп К н Е полна, то топологкя в Е согласуется с его структурой векторного пространства, [См.
Общ. топ., гл. 1Х, б 5, упражнение 22.[ б) Пусть П„, для каждого вещественного с) О,— топологнческая группа ()[сХ н П вЂ” произведение топологнческих групп О, (где а пробегает множество всех чисел) 0). Пусть 1„(х), для каждого х б)ч, — образ х при каноническом отображении )с на 0„. Ото- МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА бражение х-+(Ф„(х)) есть непрерывное взаимно однозначное представление Т группы В на некоторую подгруппу гт' группы б, Следовательно, прообраз топологии подгруппы )т относительно отображения Т согласуется со структурой алднтивной группы в й; пусть Š— топологнческая группа, получающаяся путем наделения В этой топологией.
Показать, что отображение (Л,х) -ь Лх произведения В Х Е в Е не непрерывно и, однако,х -ь Лэх непрерывно в Е для каждого )э е Й и Л -ь Лхэ непрерывно в Я для каждого хай Е. 2) а) Показать, что если отделимое топологнческое пространство Е над недискретным нормированным телом К таково, что каждая окрестность нуля содержит векторное подпростраиство, не сводящееся к одному элементу О, то его топология не может быть задана нормой. В частности, топология произведения бесконечной последовательности (Е„) отделимых топологических векторных пространств над К, не сводящихсл к одному элементу О, не может быть задана нормой. б) Пусть Е=КТ, кля каждого х = (6а) й Е положим [х[=- [1п! . Показать, что топология пространства Е опреде= с~й~ ~а + [~ 1 .
п=а ляется расстоянием Ф(х, у) = [х — у [, что [Лх[~( ~ х[ при 1![~1 и 1Лх~~(1Л[[х[ при ~ Л[) 1 и что [Лхэ[ стремится к нулю виесте с [Л[ для каждого хай Е. аЗ) Пусть Е и Р— полные метризуемые векторные пространства пал иеднскретиым нормированным телом н и †непрерывн линейное отображение Е в Р. Показать, что если и не есть отображение Е на Р, то и(Е) ! категории в Р.
[Рассуждая как при доказательстве теоремы 1, доказать, что если и(Е) не есть множество 1 категории в Р, то и(1") для любой окрестности нуля (г из Е есть окрестность нуля в Р) 4) Пусть Е и Р— полные метрнзуемые векторные пространства над иедискРетным ноРмиРоваиным телом, Тэ — топологиЯ пРостРанства Р и й' — отделимая топология в Р, мажорнруемая топологией Е'э. Показать, что если линейное отображение и пространства Е в Р непрерывно в топологии й, то оно непрерывно также в топологии й'э.
[Воспользоваться следствием 5 теоремы Ц Вывести отсюда, что если й т и й'т — две различные топологии в векторном пространстве Е над неднскретным нормированным телом, согласующиеся со структурой векторного пространства в Е, н в каждой нз них Е полно н метрнзуемо, то в Б не существует отделниой топологии, мажорнруемой топологиями $ т н Я т. 5) Пусть Е и Р— отделимые топологнческне векторные прострамства иад недискретным нормированным телом, причем Е полно и метрнзуемо. Пусть, далее, и — непрерывное взаимно однозначное линейное отображение Е в Р н 0 — векторное подпространство в и(Е). Пусть, наконец, в 0 существует топология й; мажорнрующая топологию, индуцнруемую из Р, и согласующаяся со структурой векторного тОполОГичесКие ВеКтОРные пРОстРАнстВА Гл.
1 % в пространства в О, причем 0 в втой топологии метризуемо и полно. Показать что сужение иа 0 отображения, обратного к и, непрерывно в топологии В . [Воспользоваться следствием 5 теоремы Ц 6) Пусть (Ен) — последовательность полных метризуемых векторных пространств иад неднскретным нормированным телом г( н и„, для каждого л, — непрерывное линейное отображение Е„ в отделймое топо- логическое векторное пространство Е над К причеи Е есть объединение подпространств и„(Е„). Показать, что каждое непрерывное линейное отображение и пространства Е иа полное иетризуемое векторное пространство Р над К есть гомоморфизм Е на Р. [Воспользоваться упражнением 3.] У) Пусть Е и Р— полные метризуемые векторные пространства над иедискретным нормированным телом н и — линейное отображение Е в Р.
Пусть М вЂ” замыкание и в Р по фильтру окрестностей нуля в Е (Обпь топ., гл. 1, 6 6, п' 4). Показать, что зто †замкнут векторное подпространство в Р и что Иля непрерывности отображения и необходимо н достаточно, чтобы й( сводилось к злементу О. [Воспользоваться следствием 5 теоремы 1.] Показать, что М есть наименьшее из замкнутых векторных подпространств М в Р, для которых Р ь и, где Р— каноническое отображение Р на Р)М, есть непрерывное отображение Е в Р/М. ГЛАВА П ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Во всей атой главе, за исключением й 6, рассматриваются лишь векторные и аффинные пространства над телом В вещественных чисел. Говоря о векторном (или аффинном) пространстве без указания его тела скалярое, мы всегда будем подразумевать, что этим телом служит П.
Напомним (Алг., гл. !1, 2-е изд., Приложение П), что аффинное пространство Е может быть, определено как однородное пространство (Алг., гл. 1, э 7, п' 6) аддитивной группы векторного пространства Т, имеющее О единственным оператором из Т, оставляющим инвариантнымн все элементы из Е. Мы говорим, что Т есть пространство переносов аффинного пространства Е; точка, в ноторую а ~ Е переводится переносом 1~ Т, обозначается а+ С или г+а; для любых двух точек а и Ь иа Е существует и притом только один . перенос, переводящий а в Ь; он обозначается Ь вЂ” а; при этом а — и=О, а — Ь= — (Ь вЂ” а). Для любой точки а~Е, х-ьх — а есть взаимно однозначное отображение Е на Т; отождествляя Е с Т посредством этого отображения, говорят, что Е рассматривается как векторное пространство, в котором а принято за начало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
