Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 9
Текст из файла (страница 9)
топ., гл. Х, $5, .теорема 3). Точно так же в подпространстае Р пространства (Ус(1), образованном функциями У(х) из сто(1), удовлетворяющими условию у(О)=у(1), сужения функций егхюж (лба) образуют тотальное множество (Общ. топ., гл. Х, й 5, предложение 8). 2) Каждое поглощающее множество в топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом (и, в частности, каждая окрестность нуля в Е) тотально, ибо порождает все Е (э 1, п'3). Отсюда вытекает, что линейное многообразие, не плотное в Е, нигде не плотно в Е (Общ, топ., гл.
1Х, 8 5, и'1), ибо его замыкание не может содержать внутренней точки. Опееделеиив 2. Семейство (а,) точек топологического векторного пространства Е называется топологически свободным, если, каково бы ни было а~Е замкнутое векторное подпространство, порожденное точками а, с индексами г+ х, не содерзкит а„. Пример.
В нормированном пространстве Ес(1) непрерывных функций на у= [О, 1[ сужения функций еа""~ (и с Х) на у образуют топологически свободное семейство. Действительно, каково бы ни было п 52, для любой линейной комбинации ~ еле~яка (где лишь конечное Ьии 46 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. ~ Ф З число коэффициентов са отлично от нуля) имеем )егячся — ! (х) 1э ггх = 1+ ~~'„', ~ са 1т > 1 э и тем более, в силу теоремы о среднем, зпр 1э ячгх г(х) аб! что и доказывает, что е я т~ не содержится в замкнутом векторном подпространстве пространства (у с (!), порожденном функциями е ~ сдфл.
Множество, образованное элементами топологически свободного семейства, называется глонологичесни свободным множеством в Е. Каждое подмножество топологически свободного множества топологически свободно; если пространство Е отделимо, то каждое его подмножество, сводящееся к одной точке х + О, топологически l свободно. Топологически свободное семейство свободно 'в алгебраическом смысле (см.
Алг., гл. П, й 3, предложение 1 (')); но обратное неверно. П р и м е р. В нормированном пространстве С с(!) непрерывных функцийнау= 10,11 сужения одночленов х" (лб)й) на ! образуют алгебраически свободное семейство. Но так как существует послеловательность (р„) полиномов такая, что р„(хт) равномерно сходится к х на ! (Общ. топ., гл. Х, 5 5, яемма 2(э)), то х содержится в замкнутом векторном подпространстве пространства (ус(!), порожденном одиочленами х" (лб1Ч).
3 а меч а ни я. 1) (В отличие от того, что имеет место для алгебраически свободных подмножеств векторного пространства, множество всех топологически свободных подмножеств топологического векторного пространства Е, вообще говоря, не индунглиэно относитрльна включения (упражнение 1); кроме того, в Е не обязательно содепжится максимальное топологически свободное подмножество (упражнение 2), а потому и не обязательно имеется топологически свободное подмножество, которое было бы в то же время тоягальным. 2) Пусть л( — замкнутое векторное подпространство в Е и (а,),чг— топологнчески свободное семейство в Е~М.
Семейство (а,),бг, где а,— любой элемент из а„ топологически свободно, как это следует из определения 2 и непрерывности канонического отображения Е на 47 ЛИНЕИНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Е/М. Отметим, однако, что залагнутое векторное полпространство М, порожденное элементами а„может быть таково, что МП)(г+ (0) (упражнение 1), твк что сумма М+ гь' не обязательно прямая в алгебраическом смысле (и тем более в топологическом: см.
б 1, я'8). 2. Прпмые и замкнутые гиперплоскости Пгедложвнив 2. Каждое одномерное отделимое топологическое векторное пространство Е над недискретным нормированным телом К изоморфно К,; более точно, для каждого а + О из Е отображение с-+го пространстви К, на Е есть изоморфизм (иначе говоря, каждое линейное отображение К, на Е есть изоморфизм). Так как отображение ь -ьси пространства К, на Е взаимно однозначно и непрерывно (э 1, определение 1), то достаточно доказать, что оно взаимно непрерывно. Пусть а — вещественное число ) О. Нужно показать, что в Е существует окрестность нуля ьг такая, что са~(' влечет )(((а.
Так как К недискретно, то существует элемент $о~К такой, что О(((е!(а; с другой стороны, так как Е отделимо, то в Е существует окрестность нуля ~', не содержащая (еа, причем можно предполагать ее уравновешенной (й 1, предложение 4). Покажем, что са~(г влечет (((()(ь(; действительно, если бы это было не так, то мы имели бы )сес '! (1, и, следовательно, сеа=((ьГ )((а) ~ Ъ', в противоречие с предположением; тем самым предложение доказано.
3 а м е ч а н н е. Утверждение предложения 2 не обязательно сохраняет силу, если не предполагать Е отделимым. Точно так же оно не сохраняет силу, когда К в дискретное нормированное тело. Действительно, пусть Кь — нелискретиое нормированное тело и К вЂ” аискрет ное тело, получающееся из него путем введения несобственной нормы; Кь есть одномерное топологическое векторное пространство нал К, не нзоморфное К .
Следствии. В отделимом топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом К каждое одномерное векторное подпространство П изоморфно К,. Таоввмь !. Пусть Š— топологическое векторное пространство над недискретным нормированным телом и Н вЂ” гиперплоскость в Е, заданная уравнением у (х) = а, где у — линейная форма. 48 топологичвскив вакторныв пространства гл. пах не равная тождественно нулю.
Для того чтобы Н было замкнуто в Е, необходимо и достаточно, чтобы у" была непрерывна. Достаточность условия очевидна (Общ. топ., гл. 1, $ 4, теорема 2); докажем его необходимость. Н можно предполагать однородной замкнутой гиперплоскостью, заданной уравнением у(х) = О. Тогда факторпространство Е)Н будет одномерным отделимым топо- логическим векторным пространством над К.
г можно представить в виде я а ф, где е †каноническ отображение Е на Е!Н, а д'— линейное отображение Е)Н иа К,; ио я в силу предложения 2 непрерывно, следовательно, непрерывно и у. Слвдствив 1. Каждая ненулевая непрерывная линейная форма на Е есть гомоморфизм Е на К,. Следствие 2. Каждое (одномерное) векторное подпростронство 1), алгебраически дополнительное к замкнутой однородной гиперплоскости Н, топологически дополнительно к Н. Действительно, множество а О, сводящееся к одному элементу О, замкнуто, как пересечение В с замкнутым множеством Н; следовательно, В отделимо.
Но так как Е)Н также отделимо, то каноническое отображение О на Е)Н, будучи линейным, есть нзоморфизм в силу предложения 2. 3 ь м е ч а н и е. Можно указать примеры отделимых топологическнх векторных пространств над и, иа которых каждая непрерывная линейная форма тождественно равна нулю (упражнение 2); следовательно, з таком пространстве каждая гиперплоскость всюду плотна (следстеие предложения 1).
3. Кояечыотеряые векторяые яодпространства Таоевмь 2. Каждое отделимое топологическое векторное пространство Е конечной размерности и над полным недискретным нормированным телом К изоморфно К",; а именно для каждого базиса (е;) к ь „пространства Е над К линейное отобран жение (Ц)ь ~~.", (ьеь есть изоморфизм К," на Е. ч Предложение 2 показывает, что теорема 2 верна при и= 1; применим индукцию по и.
Пусть Н вЂ” векторное подпространство пространства Е, порожденное элементами е,. е„ ..., е„ ,; в силу 3 линанныв мнОГООБРАзия 49 Е-1 предположения индукции отображение (11)1 ага„,-ь,~~ 11е1 есть изот=1 морфизм К„" ' на Н. Подпространство Н, будучи изоморфным произведению полнь1к пространств, полно (Общ.
топ., гл. П, 3 5, предложение 4); следовательно, оно замкнуто в Е (Общ. топ., гл. П, $3, предложение 6). Пусть 0 — надпространство Ке„в Е, дополнительное к Н; так как Š— прямая топологическая сумма подпространств Н и 0 (следствие 2 теоремы 1), то отображение Д)1<1<„-+~~'.,Е1е1 произведения К," Х К, на Е есть изоморфизм. 1=1 Предположение полноты тела К существенно для справедливости теоремы 2 при п)1. Действительно, пусть К вЂ” неполное нормированное тело и К вЂ” его пополнение. Ка всюду плотно ь К дня каждого а ф О нз К ибо х-1 ха есть гоиеоморфизм К нв себя. Если а1ЕК, то надпространство К+ Ка топологического векторного пространства К нвд К имеет размерность 2 над К и, однако, не изоморфно Кт, нбо в К+ Ка каждое одномерное подпространство плотно.
Слвдствии 1. В отделимом топологическом векторном пространстве Е над полным недискретным нормированным телом К каждое конечномерное векторное подпространство Р замкнуто. Действительно, если Р п-мерно, то оно изоморфно К„значит полно и, следовательно, замкнуто в Е (Общ. топ., гл. П, 9 3, предложение 6). Слвдствин 2. Пусть К вЂ” полное недискретное нормированное тело„Š— конечномерное отделимое топологаческое векторное пространство над К и Р— любое топологическое векторное пространство над К, Каждое линейное отображение Е в Р непрерывно, Действительно, каждое линейное отображение К„" в Р имеет вид (сг) -г ~~'~ сгд1 и потому непрерывно. Следствие 3.
В отделимом топологическом векторном пространстве Е над полным недискретным нормированным телом каждое конечное свободное подмножество топологически свободно. 30 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. 1, $ З Следствие 4. Пусть Š— топологическое векторное пространство иад полным недискретным нормированным телом, М вЂ” замкнутое и Р— конечномерное векторные подпро странства в Е. Подпространстео М+Р замкнуто в Е. Действительно, факторпространство Е/М отделимо. Пусть р— канонический гомоморфиэм Е на Е/М. Подпространство М+ Р -1 равно р(р(Р)). Но р(Р) конечномерно в Е/М, поэтому (след— 1 стане 1) р(Р) замкнуто в Е/М н, следовательно, р(~у(Р)) замкнуто в Е. Заметим, что сумма М+ Аг произвольных замкнутых векторных надпространств М и Аг отделимого топологического векторного пространства Е не обязательно замкнута в Е 'даже если Š— гильбертово пространство, (сн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
