Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Действительно, пусть ио — точка из Е, Н вЂ” компактное множество в Х и о — произвольное положительное число. Числовая функция ио ограниченна на Кй пусть а = зяр(ио(Ф) Л Для любой точки и из Е и любого 1бо имеем сны ! Ли(Г) — Лоно(Г) ~~ ! Л ! ° 1и(Г) — ио(Г)1+ а ~ Л вЂ” Ло~ если, следовательно, 1л — ло~ ~ о и /и(г) — ио(г) / (о лля всех ге О, то / "и (Π— Лоио (П / ( о (а+ | Ло ! + о); тем самым акскомо (ВОТ) еыполиена. Так же проверяется согласованность топологии компактной сходимости со структурой аддитнвной группы в Е.
Напротив, если Х некомпактно, топологии раономерной сходи- мости (на Х) не обязательно согласуется со структурой векторного пространства в Е. Например, если Х= (1 и ио — неограниченная непрерывная функция на )1, то Л -ь Лио не будет непрерывным отображением (1 в Е, наделенное топологией равномерной сходимости. Так же, как в определении 1, вводится топологическое правое векторное пространство над топологическим телом К. Но каждое правое векторное пространство над К можно рассматривать как левое векторное пространство над телом К', противоположным К (Алг., гл.
11, й 1, и' 1), а топология в К согласуется со структурой тела К'. По этой причине мы, как правило, рассматриваем левые топологические векторные пространства; и говоря просто „топологическое векторное пространство". мы всегдц подразумеваем, что это векторное пространство †лев. Пусть К' — подтело тела К и Š— топологическое векторное пространство над К. Ясно, что топология в Е согласуется также со структурой векторного пространства относительно К', получающейся в Е при сужении тела скаляров до К'. Мы будем называть получающееся так топологнческое векторное пространство Е иад К' базисным для топологического векторного пространства Е над К. Для того чтобы топологическое векторное пространство Е было отделимым, необходимо . н достаточно, чтобы лля каждой тички а ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 23 хФО из Е существовала окрестность нуля, не содержащая х (Общ.
топ., гл. !11, ~ 1, следствие предлоя)ения 2). Рассмотрим в векторном пространстве Е относительно топологического тела К топологию, согласующуюся со структурой алдитнвной группы в Е. В силу тождества Лх — Лехе = (Л вЂ” Лв) хе+ Ле (х — хв) + (Л вЂ” Ле) (х — хв) аксиома (ЕНТ) равносильна системе следующих трех аксиом: (ЕНТ~) Отображение Л вЂ” +Лхе непрерывно в точке Л=О для любого хв~ Е. (ЕНТй) Отображение х-+Лех непрерывно в точке х=О для любого Ле~ К.
(ЕНТщ) Отображение (Л, х)-+ Лх непрерывно в точке (О, 0). В частности: Пгедложеиие 1. Для каждого а~К и каждой точки Ь~ Е преобразование подобия х — +ах+д пространства Е в себя непрерывно. Если при этом аФО, то зто преобразование есть гомеоморфизм пространства Е на себя. Вторая часть предложения есть следствие того, что отображение х-+ах+6 при а~О допускает обращение х-+а-'х — и-Ф. Следствие, Если А — открытое (замкяутое) множество в Е, то иА открыто (замкнуто) в Е для каждого ачьО из К.
Пусть Е и à — топологические векторные пространства над одним .н тем же топологическим телом К. Для того чтобы взаимно однойначное отображение Е на Р было изоморфизмом топологического екторного пространства Е на топологическое векторное пространТво Р, необходимо и достаточно, чтобы это отображение было нейяо и взаимно непрерывно.
В частности, если Т чьО принаджит центру тела К, то гомотетия х-Ртх является автоморфизм структуры топологического векторного пространства в Е. Нормированные пространства над нормированным телом Напомним (Общ. топ., гл. 1Х, й 3, и' 2), что норма (абсолютяая ичияа) на теле К есть отображение 1-+(() его в (ч+ такое, что Е1=0 равносильно 1=0, 1ст)1=1с! ° 1т1 и )1+0)((5~+~т~!. 24 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. ), 5 1 Норма определяет в К расстояние ~( — т)! и, следовательно, отделимую топологию, согласующуюся со структурмй тела в К.
Если )$)=1 для всех 3ФО, то норма называется несобственной и ею определяется в К дискретная топология. Напротив, если в Ксуществует и~О такое, что (а~~), то в К существует рчьО с ~~,'с ! (достаточно взять р = и или р = а-') и последовательность ф")з>, сходится к нулю, так что топология в К вЂ” недискретная. Напомним, с другой стороны (Общ. топ., гл. 1Х, й 3, п' 3), что норма на векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом К есть отображение х -+))х)1 этого пространства Е в )(+ такое.
что ))х)) =0 равносильно х=О, 1))х))=)),! ° !)х() для каждого скаляра ) ~ К и ))х+у(~ (()х)) +))у)!. Норма определяет в Е расстояние ))х — у!) н, следовательно, топологию, согласующуюся со структурой векторного пространства в Е (см. там же). Всюду, где не оговорено противное, нормированное пространство будет предполагаться наделенным структурой топологического векторного пространства, определяемой его нормой. Нормированные пространства являются одними из наиболее важных топологических векторных пространств.
Как известно (Общ. топ., га. !Х, й 3), дзе различные нормы иа Б могут определять в Е одну н ту же топологию, для чего необходимо и достаточно, чтобы они были эквивалентны (там же, предложение 7). Таким образом, структура нормированного пространства богаче структуры топологического векторного пространства. Следует тщательно отличать понятие изоморфизма структуры нормированного пространства в Е на такую же структуру в Е от понятия изоморфизма структуры топологнческого векторного пространства з Е на такую же структуру в Р. П р им е р. Пусть 7 в произвольное множество индексов.
В множестве Ял(7) всех его ограниченных отображений х = (ч,) в К (обозначаемом также Е (7)) можно ввести норму ~)х,'1 =знр'э,) (Общ. ~ЕГ топ., гл. Х, 6 1, и'6). Всан 1 — топологическое пространство, то множество хх л(7) всех непрерывных ограниченных отображений 7 в К есть замкнутое полпросграистзо пространства' Як(7) (Общ. топ., га. Х, 5 2, и' 1). Другое надпространство в Ял(7) образует множество бл(7) всех абсолютна суммируемых семейств х= (сд (Общ, топ., гл. !Х, з 3, и' 6); нз этом подпространстве можно ввести также норму ~) х ~) г =~~~ ~) ч, 1, вообще не эквивалентную норме ~) х~) =энр)Е,) (упражнение 8); ет 'Ег если ЛА. (7) рассматривается кзк нормированное пространство, ио нормо ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА не указана, то всегда имеется е выду норма ()хаь Вместо Я ()) н бв(у) мы пишем Я(у) н йг()).
Я. Окресткоста начала в «гонологннеском векторноли пространстве над нормированным вислом Опгеделение 2. Пусть К вЂ” и е д и с прет н о е нормированное тило, Š— левое векторное пространство над К. Множество Мг=Е называется уравновешенным, если Лх~ М для каждого х~ М и каждого Л~К с (Л~ (1 (или, другими словами, ЛМи=М прн !Л( (1). В том случае, кобда К ест~ тело С комплексных чисел, мы Вместо „уравновешенное множество" говорим также „диск". Пгедложение 2. В топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом К'замыкание М уравновешенного множества М есть уравновешенное множество.
Действительно, пусть  — замкнутый шар (1( (1 в К. Непрерывная функция ()., х) -+ Лх отображает В )г, М в М и, следовательно, В)( М в М (Общ. топ., гл. 1, в 4, предложение 1), чем уравнове-- шенность множества М и доказана. Пусть М вЂ” любое непустое множество в векторном пространстве Е над недискретным телом К. Очевидно, множество М, всех. влементов вида ) х, где х пробегает М, а Л вЂ” шар ) Л ( ( 1 из К, есть наименьшее уравновешенное множество, содержащее М; оно называется уравновешенной оболочкой множества М.
Пгелложение 3. Пусть К вЂ” недискретное локально компакт)аое нормированное тело и Š— отделимое топологическое векигорное пространство над К. Уравновешенная оболочка каждого ушмпактного множества Н из Е компактна. Действительно, пусть  — шар !1~ (1 в К. Уравновешенная обочка множества Н есть образ произведения В)(Н прн непрерыви отображении ()„х) -+ Лх и, следовательно, компактна, поскольку В 'Н компактны по предположению. Отметим, что уравновешенная оболочка замкнутого множества пе обязательно замкнута.
Так, например, в )чг уравновешенная оболочка. гиперболы, определяемой уравнением ху = 1, незамкнута. 26 гл. ь а1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РОСТРАНСТВА Пгедложение 4. Пусть Š— топологической. векторное пространство над недискретным нормированным телом К и 5— фундаментальнаи система окрестностей нуля в Е. Множество 6, уравновешенных оболочек множеств из 6 также есть фундаментальная система окрестностей нуля в Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
