Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 3
Текст из файла (страница 3)
пяидисловии пениводчмхл !ч кой результатов к книге ! „Теория множеств", помещенной в качестве приложения к русскому переводу первых трех глав книги Н! ,Общая топология", особенно с й 8 этой сводки, посвященным Понятию „структуры", играющему центральную роль в концепции математики у Бурбаки.
Наконец, отошлем читателя также к „Способу пользования этим трактатом", содержащему ряд авторских указаний, обращенных к читателю трактата и касающихся различных вопросов — от общей характеристики трактата до описания особенностей редакционного оформления, общих для всех его книг. Л А. Райков' СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ 1. В этом трактате математика рассматривается с самых ее начал и даются полные доказательства. Таким образом, его чтение не предполагает, в принципе, никаких специальных математических знаний; требуется лишь некоторый навык в математических рассуждениях и известная способность к абстракции.
Тем не менее трактат предназначен главным образом для читателей, обладающих хорошим знанием хотя бы материала, преподаваемого во Франции в общем курсе математики (а в другах странах — на первом или двух первых годах обучения в университете), и, если возможно, некоторым знакомством с основными разделами курса дифференциального и интегрального исчисления. 2. Первая часть трактата посвящена фундаментальным структурам Анализа (по поводу смысла слова „структура" см.
Книгу 1, тл. 4); в каждой из книг, на которые распадается эта часть, изучается одна из этих структур или несколько структур, тесно связанных друг с другом (Книга 1, Теория множеств; Книга !1, Алгебра; Книга Н1, Общая топология; следующие книги: Функции Вещественной переменной; Топологические векторные пространства; ~интегрирование). Общие принципы, изучаемые в первой части, найдут, з поВледующих частях, применение к теориям, в которых одновременно ~явствуют различные структуры. 3. Способ изложения, принятый в первой части, — аксиоматиуккнй и абстрактный, чаще всего идущий от общего к частному, Д)абор такого метода определяется основной целью этой первой !8 СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ принципов. К тому же нужды доказательств требуют, чтобы главы, книги и части следовали в строго фиксированном логическом порядке.
Поэтому польза некоторых рассмотрений будет ясна читателю, лишь если он уже обладает довольно обширными знаниями либо имеет терпение цтложить суждение до тех пор, пока не получит наконец возможность убедиться в ней. 4. Чтобы устранить в какой-то мере это неудобство, среди текста довольно часто вставляются примеры, относящиеся к фактам, которые хотя и могут быть уже известны читателю, однако еще не изложены в этом трактате; такие примеры всегда выделяются значками '...,. Большинство читателей, несомненно, найдет, что эти примеры облегчают им понимание текста, и предпочтет не пропускать их даже при первом чтении; тем не менее такой пропуск, разумеется, не вызовет в логическом отношении никаких неудобств. б, Читатель может пожелать иногда составить себе общее представление о какой-либо книге трактата в целом, прежде чем приступать к подробному ее изучению. Эту задачу облегчат ему сводки результатов.
приложенные, как правило, к каждой книге и предназначенные также для читателей, спешащих как можно быстрее перейти к изучению специальных проблем. Эти сводки содержат. насколько это возможно, все существенно необходимое для изучения последующих частей. 6. Логический остов каждой главы составляют определения, аксиомы и теоремы этой главы; именно это главным образом необходимо удерживать в памяти для дальнейшего. Результаты менее важные или те, которые легко можно восстановить на основании теорем, фигурируют под наименованием „предложений", „лемм", „следствий', „замечаний и т.
д.; те из них, которые можно пропустить при первом чтении, напечатаны мелким шрифтом. Под названием ° Схолия' дается иногда комментарий к особо важной теореме. Во избежание скучных повторений иногда вводятся те или иные обозначения или сокращения, действительные лишь в пределах одной главы или параграфа (например, в главе, где рассматриваются лишь коммутативные кольца, под словом „кольцо" понимается всюду „коммутативное кольцо"). Такого рода соглашения всегда 19 СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ евно оговариваются, как правило, в начале той главы, где они лрименяются. 7. Некоторые места имеют своей целью предостеречь читателя 1т серьезной ошибки, в которую он рискует впасть; этн места 1тмечены на поле знаком ЯР („ опасного поворота").
8. Упражнения предназначены, с одной стороны, для того, тобы дать возможность читателю удостовериться в правильном -своении им текста. а с другой в чтобы познакомить его с реэуль-атами, не нашедшими места в тексте, но тем не менее представляющими свой интерес.
Они могут быть онущены при первом чтении, но изучающему рекомендуется решить их хотя бы нри втором чтении. Наиболее трудные из них отмечены звездочкой. 9. Терминология, принатая в этом трактате, была предметом осооого внимайия. Были приложены старания никогда не отнловяться от установившейся терминологии без весьма серьезных ва то оснований. Не только каждый выпуск снабжается подробзым указателем, но и каждая книга сопровождается словарем, где 11эзъясняются и обсуждаются, помимо терминов, употребляемых й этом трактате, также соответствующие термины, применяемые астоящее время в основных западноевропейских языках. Тем ым этот словарь поможет читателю трактата обратиться к изуче- оригинальных мемуаров на этих различных языках, а мате- икам, привыкшим к другой терминологии, скорее освоиться Фринятой в этом трактате. 10.
Приложены старания, не жертвуя простотой изложения, Пользоваться выдержанно точным языком. Поскольку это жно, вольности речи, беа которых любой математический рисковал бы стать педантичным и даже неудобочитаемым, й раз оговариваются; если зто уместно, они отмечаются эателе или словаре.
, Поскольку текст книги посвящен, как правило, догматическому ению теории, библиографические ссылки встречаются в нем в виде исключения; ссылки на библиографию вопроса собраны 20 СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ в историческом очерке, помещаемом чаще всего в конце каждой главы и содержащем также, если р этому представляется случай, указание нерешенных проблем теории, Прн этом ссылки даются лишь на те книги и оригинальные мемуары, изучение которых было бы наиболее полезно для читателя. Ссылки, имеющие своей единственной целью установление приоритета, почти всегда отсутствуют; тем более читатель не должен рассчитывать найти здесь полную библиографию рассматриваемых вопросов. Что касается упражнений, не было вообще сочтено полезным указывать их источники. которые весьма различны (оригинальные мемуары, учебные руководства, сборники упражнений). 12.
Порядок ссылок на то нли иное место трактата таков; а) при ссылке на теоремы, аксиомы или определения, приведенные в том же самом параграфе, называешься, если он имеется, их номер; б) если они приведены в другом параграфе той же главы, указывается, кроме того, этот параграф; в) если они приведены в другой главе той же книги, указы ваются соответствующие глава и параграф; г) если они находятся в другой книге, сначала дается название этой книги.
Сводки результатов указываются при ссылках буквами „Рез.'. например, „Теор. мн., Рез." означает „Сводка результатов Теории множеств". 13. Каждый раз, когда читателю было бы полезно иметь перед глазами при чтении всего выпуска те или иные аксиомы, определения и т. п., последние воспроизводятся на вклеике, помещаемой в конце этого выпуска (и упоминаемой в его оглавлении).
ГЛАВА 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД НОРМИРОВАННЫМ ТЕЛОМ ф 1. Топологические векторные пространства 1. Определение топологинсского векторного пространства Опгвдвлвнив 1. Пусть К вЂ” топологическое тело (Общ. топ., гл. П1, й б, п' б). Топологичссяим левым векторным пространством над К называют множество Е, наделенное: 1' структурой левого векторного пространства над К; 2' топологией, согласующейся со струнтурой аддитивной группы з Е (Общ.
топ., гл. П!, ф 1, и' 1) и удовлетворяющей, кроме того. следующей аксиоме: (ЕЧТ) Отображение (Х, х) -+ ).х произведения К)( Е в Е непрерывно. Пусть в множестве Е заданы структура левого векторного пространства относительно К и топология. Говорят, что они согласуются, если топология согласуется со структурой аддитивной группы в Е и, кроме того, выполнена аксиома (ЕЧТ). То же самое можно выразить, сказав, что отображения (х, у) — + х+у и ()., х) -+ Лх соответственно произведений Е)(Е и К)с', Е в Е непрерывны, ибо 'вто влечет непрерывность отображения х -+ — х = ( — 1) х и тем самым согласованность топологии в Е со структурой аддитивной группы.
Примеры. 1) Если Š— левое векторное пространство над дискретным топологнческим телом К то дискретная топология в Е согласуется со структурой векторного пространства в Е (что уже неверно, если К неднскретно, а Е нс сводится к О). 2) Пусть А — топологнческое кольцо (Общ. топ., гл. П1, Е 5, и' 1) и К вЂ” его подтело, имеющее с А общий единичный элемент н такое, что топология, нидуцнруемая в К топологией кольца А, согласуется со структурой тела в К. Тогда в А топология согласуется со структурой левого векторного пространства над К. 3) Пусть К в любое топологнческое тело, 1 в любое множество.
В векторном пространстве К~~ (Алг., гл, П, ф 1, и' 4) произведение топологий сомножителей Кэ согласуется со структурой векторного пространства, нбо оио согласуется со структурой произведения ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл. С о ~ (аддитивных) групп и для каждого х = (Е,) из Кг и каждого Л б К имеем Лх=(Л(,), откуда сразу следует (Общ.
топ. гл. 1, Е 8, следствие 2 теоремы 1), что отображение (Л, х)-»Лх непрерывно. Можно также сказать, что пространство К, всех отображений 1 в К, наделенное топо- 1 логией простой сходимоети, есть топологическое векторное пространство над К (Общ. топ., гл. Х, б 1, и' 3). 4) Пусть Х вЂ” отделимое топологнческое пространство. В множестве Е = (У в (Х) всех нелрерыоных числовых функций, определенных на Х, топология компактной сходимости (Общ. топ., гл. Х, й 1, и' 3) согласуется со структурой векторного пространства над й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
