Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно. иа (ЕЧТпг) следует, что для каждой окрестности У~ д1 существуют число а) О и окрестность гь'~ д1 такие, что Лх~У, когда 1Л1(а и х~ 1Р'. Пусть У вЂ” объединение всех множеств Л(Ф' с )Л) (а. Так как К неднскретно, .то существует р~К такое, что ! р ( ( а и р+О; следовательно, р%<= У, чем доказано, что У вЂ” окрестность нуля, притом, очевидно, уравновешенная.
С другой стороны, Уг:У, и так ка» У вЂ” окрестность нуля, то существует Т~ 6, содержащееся в У; но У вЂ” уравновешенное множество, поэтому уравновешенная оболочка Т, множества Т содержится в У и тем более в Р'. чем предложение и доказано. Опгеделение 3. Пусть К вЂ” недискретное нормированное тело, Š— левое векторное пространство над К, А и  — множества из Е. Говорят, что А поглощает В, если существует и) О такое, что ЛА=>В, когда 1Л), » а (или, что равносильно этому, РВИА, когда 1ь~О и ) р1(и ').
Множество А из Е называют поглощающим, если оно поглощает каждое одноточечное множество. Пусть А — уравновешенное множество из Е; для того чтобы оно поглощало множество В из Е, достаточно существования Л ~ К такого, что ЛА ~В. Действительно, пусть / и ! )~ ~ Л ~; так как ЛА = (Лр.-') рА, РА уравновешенно и ~ Лр,-'! ( 1, то.ЛАг=рА, откуда и Вс=рА. Б частности, для того чтобы уравновешенное множество А из Е было поглощающим, необходимо и достаточно, чтобы в К для каждого х~Е существовало ЛФО такое, что Лх~ А.
Каждое поглощающее множество в векторном пространстве Е порождает это пространство. Из аксиомы 1ЕЧТг) сразу следует, что в топологическом векторном пространстве над недискретным нормированным телом каждая Окрестность нуля — поглощающая. Более точно, имеет место следующее предложение: 27 топологические вектогные цвоствднствд ПРедлОжение 5. В топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом, К существует фундаментальная система В замкнутых окрестностей нуля такая, что: (ЕЧ|) Каждое Ч~ В есть уравновешенное поглощающее множество. (ЕНп) Каковы бы ни были Р~ В и ) +0 из К, ).(г~ 3 (инвариант- ность 6 относительно гомотетий с ненулевым козффициентом).
(ЕЧщ) для каждого 7Я з) о)чцествует В'~ 3 такое, что Ф'+ + В'~Ъ'. Обратно, если в векторном пространстве Е над К имеется базис фильтра В, удоалетворяющий условиям (ЕЧь), (ЕЧп) и (ЕЧп|), то в Е существует (и притом только одна) топология, согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая В фундаментальной системой окрестностей нуля. 1' Предложения 2 и 4, а также аксиома (Огп), выполняющаяся для каждой топологической группы (Общ.
топ., гл. и, й 2 и гл.!!1, $3), показывают, что множество 3 всех замкнутых уравновешенных окрестностей нуля образует в Е фундаментальную систему окрестностей нуля. Как было уже указано, каждая окрестность нуля есть поглощающее множество; ясно, кроме того, что 6 удовлетворяет условию (ЕЧц) (см. следствие предложения 1); наконец, каждая фундазьентальная система окрестностей нуля в Е удовлетворяет условию (ЕЧщ) в силу непрерывности отображения (х, у) -ь х+у в точке 10, О).
Таким образом, множество 3 отвечает всем требованиям. 2' Пусть теперь Š†векторн пространство над К и 6 в базис фильтра в Е, удовлетворяющий условиям (ЕЧь), (ЕЧц) и (ЕЧщ). Прежде '!асего, аксоима (ЕЧг) показывает, что каково бы ни было !г~В, '. -У=У и 0~1/; зти соотношения и аксиома (ЕЧгп) показывают, 'иу о 3 есть фундаментальная система окрестностей нуля для тополо!йии в Е, согласующейся со структурой аддитивной группы (Общ.
1 'оп., гл, 1!1, й 1, и'2). Так как, с другой стороны, аксиомы (ЕЧТ1), ЧТц) и (ЕЧТ~п) являются непосредственными следствиями аксиом Чг) и (ЕЧп), то определенная так топология удовлетворяет аксиоме ЧТ), что и завершает доказательство. Замечания. 1) В нормированном пространстве над иедяскретиым нормнрозаввыи телом множество всех открытых (соотв. зам-' ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. т, В 1 кнутах) шаров с центром О образуе~ фундаментальную систему окрестностей нуля, удовлетворяющую условиям (ЕН,), (ЕНг,) и (ЕНП,).
2) Если телом К скаляров служит [1 или С, то каждый базис фильтра 5 я Е, удовлетворяющий уже аксиомам (ЕН!) н (ЕН,), является фундаментальной системой окрестностей нули для топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е, Действительно, нужно лишь доказатьч что при этих условиях для каждого !чьО из К и каждого Нйю существует %'ч!Е такое, что 1%'~ [г.
Но из (ЕНщ) сразу следует существование %'! Р 5 такого, что 2[рт~[г, откуда индукцией по и получается, что для всякого и ) О существует %'я ~ З такое, что 2"[Р„~ [г. Так как )'уравновешенно, то достаточно теперь взять и столь большим, чтобы 2"=12Я1)111, и [Р'= %;, будет обладать указанным свойством. Этот результат не распространяется на произвольное недискретнос нормированное тело К, ибо не во всяком таком теле для всех натуральных т выполняется равенство 1тэ1 = т, где з — единичный элемент тела (см.
упражнение !). 3) Если К вЂ” дискретное тело, то условия (ЕНТ!) и (ЕНТ'ц) выполняются для любой топологии в Е. Рассуждая как в доказательстве предложения 5, легко показать, что в топологическом векторном пространстве Е над К существует фундаментальная систеиа 5замкнутых окрестностей нуля, удовлетворяющая условиям (ЕНП) и (ЕН и). Обратно, если базис фильтра З в векторном пространстве Е относительно К таков, что все множества из 6 содержат О и выполнены условия (ЕНпу и (ЕНщ), то 5 служит фундаментальной системой окрестностей нуля для топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е. 4. Признаки непрерывности а равноснгененноа непрерывности Пусть Е и Г" — топологические векторные пространства пад одним и теи же телом К. Для того чтобы линейное отображение У пространства Е в Г было непрерывно, достаточно, чтобы оно было.
непрерывно в начале (Общ. топ., гл'. !11, й 2, предложение 13), Это предложение обобщается следующим образом: П~едложение 6. Пусть Е! (1 () (и) и à — топологические векторные пространства над коммутативным недискретным нормированным телом К. Для того чтобы полилинейное отображение г произведения И Е; а Г было непрерывно, достаточно, ь--! чтобы г было непрерывка в точке (О, О, ..., 0).
29 топологичвскив ввктогныв пвостплнствл Действительно, пусть (а„аг, ..., а„) — произвольная точка из И Е,. Нужно показать, что для каждой окрестности нуля В' из Р $=1 существуют окрестности нуля У! в Е; (1 (1(и) такие, что выполнение п отношениЯ гь~Ъ'ь влечет отношение 7 (аг+ г„а, + г„., а, + г„) — У (а„а„..., а„) ~ Ж'. Но З (а! + г„аз +с,, ..., а„+ г„) — ! (а„аг, ..., а„) = ~ ин, и где Н пробегает 2" — 1 подмножеств отрезка /=11, и! натурального ряда Х, отличных от 7, а им=У(уг, у„..., у„). где у;=-а; при !ОН и у;=г; при г(Н. С другой стороны, в Р существует 2" — 1 уравновешенных окрестностей нуля Ф' таких, что ~ йгпг= В". Так как У, по предположению, непрерывно в точке (О, О, ..., 0), то в каждом Е; существует окрестность нуля ()ь такая, что из выполнения и отношений хь~У! следует 7" (х„..., х„)~П 1)г .
И так как Ц вЂ” поглошающее множество, то в К существует )ч+О, для которого Л;а; 1- У!. Пусть теперь Л вЂ” элемент из К такой, что ~Л~) (Л; ) (! (!'(п) и ~Л~)!. Покажем, что окрестности )г! = Л "(7! обладают требуемым свойством. Действительно, пусть р — число элементов множества СН; имеем и = иу(х„..., хи), где хе~У! (1.<1~<и) и !!=Л "в( И Ль '), и так как из выбора Л сле- Л!ьп дует, что ! !ь ( ~( 1, то им~ рВ'пг=)ь'и, поскольку Ф' уравновешенно. Тем самым предложение доказано. Пгедложание 7, При тех же предположениях относительно Е! (1 (! (п) и Р, длп того, чтобы льножество б полая .линейных отображений произведения ййЕ; в Р было равностег-! пенно непрерывно, достаточно, чтобы оно было равностепепно яенрерывно в точке (О, О, ..., 0). Действительно, в доказательстве предложения б окрестности Уь (1 <! <п) могут быть выбраны так, чтобы отношения хе~У! (1<! <и) влекли У(х„..., х„)ЕПЖ', для каждого отображения у~й.
зо ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. К ф Г 5. Равнолаернап структура и пополнение топологпческого векторного пространства Топология топологического векторного пространства Е, согласуясь со структурой аддитивной группы в Е, определяет в Е равномерную структуру (Обш. топ., гл. (!(, $ 3).
Говоря о равномерной структуре топологического векторного пространства Е, мы всюду, где не оговорено противное, будем иметь в виду именно зту структуру. Каждое непрерывное линейное отображение топологического векторного пространства Е в топологическое векторное пространство Е равномерно непрерывно. Точно так же равномерно непрерывно каждое преобразование подобия х -+ ах +-Ь пространства Е. Отметим, что непрерывное иолнлинейное отображение, вообще говоря, не является равномерно непрерывным, как показывает уже отображение (х, у) -ьху пространства )(т в й.
Как непосредственно следует из определений, равкостепенно непрерывное семейство линейных отображений топологического векторного пространства Е в топологическое векторное пространство Е равномерно раекостепенко непрерывно. Топологическое векторное пространство называют полным, если наделенное своей равномерной структурой, оно является полным равномерным пространством. Опгвдвление 4. Вещественным (соотв.
комплексным) банаховским пространством называют полное нормированное пространство над телом )с (соотв. С). П р н и е р ы. Если К вЂ” полное иеднскретиое нормированное тело, то пространства Як (1) и стх (1) (и' 2, пример) полны. То же верно для пространства йк (1) (там же), снабженного нормой (! х )д = = ~~~~ ~! с, !. )!ействительно, пусть (хи) — последовательность Коши 'бг е атом пространстве и хи=(6и),бг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
