Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Так как !6ии — 6и,!<(!хи — хи4а для каждого~4 1, то последовательность (6и,)а>и для каждого сй1, сходится е К к некоторому предеау ь,. )(алее, так как ~ !ая„— аи, ! а; 'ег ~()хж — хи()х для каждого конечного множества 1 из 1, то, прежде ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЛ всего, существует постоянная а ) О, не зависящая от г', т н и, такая, что Я ~ $„„— ~ч~ ~ а. Устремляя т к+со, получаем, что ~~~~~ ( (, — чн, ! к а, ~Ел |ел откуда ~~э~ )с,1ч,а+)хч11ь чем доказано, что в=(() принадлежит ~сГ пространству г'.л()).
Далее, каково бы ни было ч)0, существует пь такое, что ~~Р~1ч,— ч„,(~ г дла каждого п) пь н каждого конечного ех множества у из д Переходя к пределу, видим, что гг — х„ц~(ч для всех и ) пь, так что г есть предел последовательности (х„). Пведложение 8. Пусть Я л Я' — две отделимые топологии, согласующиеся со структурой векторного пространства Е над пелом К.
Пусть, далее, а мажорирует м' и существует фундаментальная система окрестностей нуля для У, замкнутых г Я'. При этих условиях, каждое множество А из Е, полное х равномерной структуре, порождаемой в Е топологией Х', толко также в равномерной структуре, порождаемой тополо-ией й. Действительно, пусть $ — фильтр Коши в А относительно Я'; тогда б тем более есть фильтр Коши относительно Я' и, следовательно, сходится в топологии Я' к какому-то пределу хе~А.
Пока- ткем, что хз есть предел фильтра )ч и в топологии У. Пусть вг — симметричная окрестность нуля для У, замкнутая в Я'. В силу ')гредположеиия, )) содержит множество М, малое порядка У, так Ъто М~х,+(г для произвольной точки х,~М. Но х,+У замкнуто Ф Я', следовательно хь, являющееся точкой прикосновения для М 'и' топологии йг', содержится в х, + Ъ'. Отсюда заключаем, что М~хь+(г+$', чем доказательство и завершается (обобщение этого ~результата см. в Общ. топ., гл. П, $3, упражнение 1).
Утверждение предложения 8 теряет силу, если не предполагать существование фундаментальной системы окрестностей нуля для й; замкнутых в й" (см. гл. !1, 5 5, упражнение 12). Следствие. Пусть гг и Я' — две отделимые топологии, сохлай. щиеся со структурой векторного пространства Е над те- К. Пусть, далее, Я' мажорирует Ж' и существует фундантальная система х) окрестностей нуля для Я', полных в равнорной структуре, порождаемой вт'. тогда Е полно в равноМерной структуре, порождаемой Я. 32 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ, Е 5 ! Действительно, предложение 8 показывает, что существует фундаментальная система окрестностей нуля для У, полных в равномерной структуре, порождаемой Я.
Пусть б — фильтр Коши в Е относительно Я' и (л~ З. б содержит множество М, малое порядка 1l, так что Мс=х,+У для любого х,~М. Но так как х,+(л полно, то заключаем, что след фильтра б на х,+(л имеет предел, а значит и сам фильтр Д имеет предел. Пусть Ка — отделимое топологическое тело, К в его всюду плотное подтело, Š— отделимое топологическое векторное пространство над К и Š— пополнение аддитивной топологической группы Е (Общ. топ., гл. Ш, й 3, теорема 2). Билинейное отображение (Л, х) -+ Лх произведения К )( Е адаитивных групп К н Е в адднтивную группу Е продолжается по непрерывности до билинейного отображения произведения Ка',кЕ в Е (Общ. топ., гл.
Ш, ~ б, теорема 1); мы будем употреблять для него то же обозначение (Л, х)-+Ах и рассмотрим лишь его сужение на Ке)(Е. В силу принципа продолжения тождеств (Общ. топ., гл. 1, ~ 6, предложение 10) имеем 1 ° х=х и Л(рх) =()р)х для всех ЛЕКш РЕКз и хЕЕ. Следовательно, внешнее произведение (Л, х)-+Лх определяет в Е структуру векторного пространства относительно Кш согласующуюся с топологией в Е . Если Кз полно, то мы говорим, что определенное так топологическое векторное пространство Е над Ка есть пополнение топологнческого векторного пространства Е (над К). Все сказанное применимо, в частности, когда К в любое нормированное тело, ибо тогда и его пополнение К в нормированное тело (Общ.
топ., гл. 1Х, й 3, предложение 6). В качестве приложения пополнения топологнческого векторного пространства укажем, что предложение 3 сохраняет силу прк замене слова „компактное' на,предкомпактное". Действительно, если Нпредкомпзктно в Е, то его замыкание Н в Е компактно; следовательно, и уравновешенная оболочка множества Н компактна, а так как ее пересечение с Е есть уравновешенная оболочка множества Н, то зта последняя предкомпактна, В. Векторные подпространства и (ракторпространства топологинеского векторного пространства Пусть М вЂ векторн подпространство топологического векторного пространства Е.
Ясно, что топология, индуцнруемая в М из Е, ч тополОгичвскии ввктОРныв пРОстРлнстзл зз .огласуется со структурой векторного пространства в М; рассматри«ая М как топологическое векторное пространство, мы всюду, где не |говорено противное, будем подразумевать пространство, получаемое «утем наделения М топологией. индуцируемой из Е. Тогда равнолерная структура, порожденная топологией пространства М, совпадает с равномерной структурой в М, индуцируемой из Е (Общ.
топ., -л. Ш, $ 3, и' 2). Как известно, в факторпространстве Е/М фактортопология тополо-ии пространства Е по подпространству М согласуется со структурой «лдитивной группы (Общ. топ., гл. Ш, $ 2, п' 4). Покажем, что ~на согласуется и со структурой векторного пространства, т. е.(еслн обозначить через х -+ х каноническое отображение Е на Е/М) что 1тображение (Л, х) -+ Лх произведения К )( (Е/М) в Е/М непрерывно. Для этого достаточно (Общ. топ., гл.
1, $ 9, теорема 1) показать «епрерывность отображения (Л, х) -ьЛх произведения К )с', Е в Е/М, «бо аддитнвные группы К Х (Е/М) и (К Х Е)/(10) )с, М) можно 1тождествить (Общ. топ., гл. П1, $2, предложение 17). Но это 1тображение есть композиция отображения (Л, х)-ьЛх произведения б)(Е в Е и канонического отображения Е на Е/М, которые оба зепрерывны. Рассматривая Е/М как тоцологическое векторное пространство, яы всегда будем подразумевать, если не оговорено противное, что «но наделено фактортопологией топологии пространства Е по подзространству М.
Как известно, для того чтобы Е/М было отделилыл«, необходимо и достаточно, чтобы М было замкнуто в Е (Общ. оп., гл. Ш, й 2, теорема 2). Пусть Š— неотделилаое топологическое векторное пространство « «Л/ — замыкание начала в Е (пересечение всех окрестностей нуля). :ак известно, /«/ есть подгруппа аддитивной группы Е (Общ. топ., 'л. Ш, $ 2, и' 1); будучи, с другой стороны, инвариантным относиельно всех гомотетий с ненулевым коэффициентом (предложение 1), /«/ сть замкнутое векторное подпространство пространствз Е. икторпространство Е//«/, которое уже отделимо, будет называться .делимым топологическим векторным пространством, ассоциировандал« с неотделимым пространством Е.
П р н м е р. Пусть /= (а, Ь1 — компактный интервал в и и Š— векторное пространство (иал й), образованное правильными функциями на / со значениями в и (Функц. вещ, перем., гл. П, б!. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. !, % 1 и'3). Пусть г"„лля каждого «)О, — множество всех функций хсЕ, Ь для которых ~ !х(г)(дт(«. Непосредственно проверяется, что наоа жество всех Ч„есть базис фильтра, удовлетворяющий условиям (ЕЧ!), (ЕЧП) и (ЕЧ!ц) и, следовательно, определяющий топологию, согласующуюся со структурой векторного пространства в Е.
Но зта топология — неотделимая, ибо всякая функция х,равная нулю на дополнении к произвольному фиксированному конечномумножеству из й является правильной и принадлежит всем множествам (г„. Отделимым же пространством, ассоциированным с Е, служит пространство классов правильных функций, на которые разбивается Е отношением зквивалент- Ь ности ~ ~к(Г) — у(Г) ~ дГ= О (см. Иптегрир., гл. 1Ч, ф 2). а 7. Произведение топологических вектормых пространств Пусть (Е) бг — любое семейство топологических векторных пространств над одним и тем же топологическим телом К н Š— произведение векторных пространств Е,.
Как известно (Общ. топ.„гл. Ш, 9 2, и' 9), в Е произведение топологий пространств Е, согласуется с произведением структур адднтивных групп Е,. Покажем, что эта топология вместе с тем согласуется со структурой векторного пространства в Е, для чего достаточно убедиться в непрерывности отображения (А, (х,))-+(Хх,) произведения КХ Е в Е или, иначе (Общ.
топ., гл. 1, $8, теорема 1), в непрерывности отображения ()., (х,)) -+ -+),х„произведения КХЕ в Е„для каждого ж Но это последнее отображение есть композиция отображений ()„(х,) ) — ь ()., х„) и (Л, х„)-+)х„, которые оба непрерывны. Рассматривая Е = И Е, как топологическое векторное простран.«т ство, мы всегда будем подразумевать, если не оговорено противное, что его топология есть произведение топологий пространств Е,. Пгедложение 9. В произведения Е= Ц Е, топологическнх векторных пространств Е, прямая сумма 1« векторных пространств Е, (Алг., гл. П, $1, и' 7) есть всюду пло)гтное подпространство. Действительно, Е есть множество всех точек х=(х,) т, для ' 'бт' которых лишь конечное число х, отлично от нуля. Пустьу=(у,)— произвольная точка из Е и Ъ' — любая ее окрестность. г' содержит ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА глементарное множество ЦРи где $г,— любая окрестность точки.у, 1 Е, для всех индексов 1, принадлежащих некоторому конечному множеству Н из 1, и $',=Е, для всех индексов 1( Н.
Но точка :=(х) из Е, в которой х,=у, для!!-Н и х,=б для 1$Н, содер.кится в (г, чем предложение 9 и доказано. В гл. П, 5 2, и' 3, будет определена другая топология з прямой сумме произвольного семейства топовогических векторных пространств над й иви С более специального типа. 1'. Топологнчесная прямая сумма надпространств Если топологическое векторное пространство Е есть прямая сумма сонечного семейства (М1)1ч,<„ своих векторных надпространств, то и ганоническое взаимно однозначное отображение (х1)-+,Я~ хв произ!=1 ведения ЦМ1 на Е непрерывно; но оно не обязательно является -омеоморфизмом.
Опгеделение 5. Пусть Š— топологическое векторное пространство и (М1)!<гав — конечное семейство его векторных лодпростронств такое, что Е есть их прямая сумма. Говорят, чгпо Е есть топологическая прямая сумма подпространств Мы сли каноническое ьотображение (х1) -+ ч~Р ~х; произведения И М1 1 1 ! 1 ма Е является гомеоморфизмом (и, следовательно, изоморфизмом ;труктур топологических векторных пространств). Пгедложение (О. Лусть Š— топологическое векторное протранство, являющееся прямой суммой своих векторных подостранств Мг(! (1(п).
Для того чтобы Е было их тойолоеской прямой суммой, необходимо и достаточно, чтобы линей- отображение х -+ й; (х), относящее каждому х ~ Е его югставляющую в Мг, было непрерывно для каждого индекса Е Действительно, (х1) -+ ~~Р~ хе есть непрерывное'отображение произ1=1 и Ведения Я Мв на Е. а сформулированное условие выражает непрерыв- 1 1 36 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВА ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
