Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 7
Текст из файла (страница 7)
! < 1 ность обратного отображения х -ь (А<(х) ), чем предложение н доказано. Твк квк ~ й»(х) = х, то достаточно, впрочем, непрерывности 4=1 и — 1 из функций А», чтобы была непрерывна и п-в. Пусть е — тождественное отображение пространства Е на себя; в обозначениях предложения 10 можно написать в=й,+12+ ... +й„, ПРИЧЕМ А»ь ну — 0 дпя !ЧЬ,/ И й»ой,= йн Обратиа: Пгвдложениз 11. Пусть р» (! (! Сп) и непрерывных линейных отображений топологического векторного прас»пранства Е в себя таких, что е=р,+р,+ ...
+р„, р»р! — 0 для !+/ и рг= р»(1 (! <и, 1 (у (п). Тогда Е есть топологическая прямая сумма надпространств М; = р<(Е) и р<(х) для каждого х!сЕ есть составляюи<ая х в М< (1 (1~( и). Действительно, так как х = е (х) = ~~~ р» (х) для всех х ~ Е, то Е 4=1 есть сумма подпространств Мо Далее, если у»~М< таковы, что ;5'Уу — — О, то (в силу равенства р,'.= Р») это отношение можно 4=! записать в виде ~~.', Р,(у,) = О, откуда 4 1 О=Рр Х Р<(У») = Хру(Р»(У»))=рг(У<)=У~ Ч4 1 / 4=1 для каждого индекса у'; это показывает, что Е есть прямая сумма подпространств М», а р<(х) — составляющая х в МР Так как р< непрерывны, то предложение !О показывает, что Е есть топологическая прямая сумма подпространстз М<.
Отметим, что условия р» = р» ввляютсв следствиями соотношений 2 е=р1+ ... +Р„и р»ру О при 4+!. Действительно, р;=ер,= и - Х Рур»-РР 4 1 тОполОГические ВектОРные пРООТРА1тстВА Определение 6. Линейное отображение и векторного про.транстеа Е в себя, удовлетворяющее условию из=и, называется гооектором. Таким образом„предложение 11 показывает. что имеется взаимно 1днозначное соответствие между разложениями пространства Е з топологическую прямую сумму и его векторных подпространств т разложениями е в сумму и аннулирующих друг друга непрерыв ° гых проекторов. -"ели Š— топологическая прямая сумма двух своих подпространств М ты, то говорят еще, что Ф есть толологическое дополнение к М Е. Чтобы тч' было таковым, необходимо и достаточно, чтобы ,аноническое отображение Е1М на тч' (Алг., гл, П, й 1, п' 4) было гзоморфизмом (структур топологического векторного пространства).
Пгедложение 12. 1Ууств Š— топологическое векторное протпоанстео. Для того чтобы его векторное подиространство М заладила в Е толологическим дополнением, необходимо и достаточно, чтобы на Е существовал непрерывный проектор р такой, чтно р(Е)=М. Необходимость условия очевидна. Обратно, так как рг=р, то р(е — р)=р — р'= 0 и, следовательно, е=р+(е — р) есть разло:жение е в сумму двух аннулирующих друг друга непрерывных -проекторов.
Так как р(Е)=М, то утверждение следует теперь из чнредложения 11, причем топологическим дополнением к М=р(Е) г'служит р(0). Отметим, что непрерывный проектор р пространства Е на М служит продолжением на всв Е тождественного отображения М на иебя и что, обратно, каждое непрерывное линейное отображение Е В М, служащее продолжением тождественного отображения М на ((ебя, есть непрерывный проектор.
Поэтому условие предложения 12 жно сформулировать еще следующим образом: необходимо и достаочно, чтобы тождестпвенное отображение М на себя можно было родолжитв до непрерывного линейного отображения Е на М. Замечания. 1) Чтобы избежать смешения, полпростраиство в Е, дополнительное к М (з смысле структуры не топологического векторного пространства), иногда называется алгебраическим дополнением к М. 38 топологичвскмв вектовныв ппоствлнствл гл, 1, а ! 2) Если отделимое топологическое векторное пространство Е есть топологическая прямая сумма семейства (М!)г<! .„его векторных надпространств, то каждое из ннх замкнуто.
Действительно, К канонически изоморфно произведению ПМь, а так как М! отделимы, то 1=! соответствующие нм составляющие произведения Ц М! замкнуты, как ь-! пересечения замкнутых множеств. 3) Не для всякого замкнутого надпространства М отделимого топологнческого векторного пространства Е существует дополнительное (в алгебраическом смысле) замкнутое векторное подпространство (даже если Я вЂ” банаховское пространство; см. й 3, следствие 4 теоремы 1 и гл.
1У, й 3, упражнение 5в). Тем более М не обязательно обладает в Е топологнческим дополнением (см. й д упражнение 2). Все же мы увидим в й 2, что (замкнутое) надпространство М конечной факторразмерности имеет в Е топологнческое дополнение, по крайней мере если К в полное недискретное нормированное тело (ф 2, предложение 3). Пгвдложвннв 13.
Пусть Е и Р— топологичесние векторные пространства и и — непрерывное линейное отображение Е в Р. Для существования непрерывного линейного отображения и пространства Р в Е, при котором иьо было бы тождественным отображением Р на себя (в этом случае говорят, что и обратимо справа и и — правое обратное и и), необходимо ,и достаточно, чтобы и было гомоморфизмом Е на Р (Общ.
топ., -1 гл. Ш, 3 2, п'7) и и (О) обладало топологичесним дополнением в Е. Условия необходимы. Действительно. если о — правое обратное к и, то и(о(Г))=Р и тем более и(Е) —.— Р", далее р=оьи есть непрерывное линейное отображение Е в себя такое, что рг = р; следовательно (предложение 12), р(Е) =-о(и(Е)) = о(Е) имеет в Е ! топологическое дополнение р(0), и так как, в силу предположения, -! -! и (р(х) ) = и (х), то р(0) = и (О).
Наконец, взаимно однозначное — ! отображение Е/и(0) на Р, ассоциированное с отображением и, есть -! композиция взаимно однозначного отображения Е)р(0) на о(Р), ассоциированного с отображением р, и сужения и на о(Р); так как оба эти отображения — изоморфизмы, то и — гомоморфизм Е на Р (см. Общ.
топ., гл. И1, $ 2„п'7). 39 топологические ВектОРные пгоствлнствл Условия достаточны. Действительно, пусть ~1 — канонический -1 -1 гомоморфизм Е иа Е!и (О). Сказать, что и(0) обладает топологическим дополнением М в Е, все равно что скааать, что сужение у -1 на М есть изоморфизм М па Е(и(0). Так как, с другой стороны. -1 и = и ь ~у, где и — изоморфизм Е1и (О) иа Е, то мы видим, что сужение и на М есть изоморфизм М иа Г, и, следовательно, обратный изоморфизм о таков, что и ь о есть тождественное отображение Е на себя.
Пгедложеиие 14. Пусть Е и Š— топологические векторныв пространства и и — непрерывное линейное отображение Е в Е. Для существования непрерывного линейного отображения о пространства Е в Е, при котором о о и было бы тождественным отображением Е на себя (в этом случае говорят, что и обратимо слева и о — левое обратное к и), необходимо и достаточно чтобы и было изоморфизмом Е на и(Е) и и(Е) обладало топо- логическим дополнением в Е, Условия достаточны, ибо при их выполнении левое обратное о к и получается путем компонирования непрерывного проектора Е на и (Е) с изоморфизмом и(Е) на Е, обратным к и. Условия необходимы.
Действительно, соотношение о(и(х)) = х -1 показывает, что и(0) сводится к нулевому элементу; таким образом, и есть взаимно однозначное отображение Е иа и(Е), и так как сужение о на и(Е) непрерывно, то и — изоморфизм Е иа и(Е). С другой стороны, о=и ьо есть непрерывное линейное отображение Е на и(Е) такое, что аг=а, а это показывает (см. предложение 12), что и(Е) обладает топологическим дополнением в Г.
У. Один менгод пчопологизаг(нн векторных пространств Пгедложение 15. Пусть (Е) Ст — семейство топологических векторных пространств над топологическим телом К Е вЂ” векторное пространство над К и УР для каждого 1~с~(,— линейное отображение Е в Е,. Тогда наименее сильная топология Я' в е, при которой непрерывны все функции /и согласуется со структурой векторного пространства в Е. Пусть ~у(х) для каждого х~Е означает точку Ц,(х)) пространства 41 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА необходимо и достаточно, чтобы для каждого индекса р~у было непрерывка линейное отображение у,«и пространства б в Ее Действительно, для непрерывности и необходима н достаточна непрерывность р «и.
Следстзнв 2. Пусть пространства Е, отделимы. Для отделимости топологии Ф необходимо и достаточно, чтобы для каждого х чь О из Е существовал индекс р~ Е при котором у,(х) + О. Действительно, если Е, отделимы, то и р(Е) отделимо, н для отделимости топологии й". очевидно, необходимо и достаточно, чтобы р было взаимно однозначно. Заметим, что тогда Е (наделенное топологией й) можно отождествить посредством отображения р с подпространством р (Е) пространства И Е,. Следствне 3. Пусть Š— векторное пространство над топологическим шелом К и (3',) — семейство топологий, согласующихся со структурой векторного пространства в Е. говда и верхняя грань бс топологий о, согласуется со структурой векторного пространства в Е. Действительно, пусть Е, — топологнческое векторное пространство, получающееся прн наделении Е топологией й„ и у, †тождественное отображение Е на Ед тогда о есть наименее сильная топология в Е, прн которой все У, непрерывны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
