Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Упраж не няя. 1) Пусть Ер=(г — проязведенне счетного беси Р конечного числа экземпляров р»лляческого тела (гр, рассматрнзаемое кзк векторное пространство над ()Р (Общ. топ« гл. П1, б 5, упражнение 22 и след.). Пусть Р= Е с= Ер я Š— порожденное нм я Р подпространство в Ер.
Введем в аддятявной группе Р компактную топологию — произведение топологий сомножителей 2 . Пусть Е— фильтр окрестностей нуля з Р для втой топологнн. Показать, что ч) есть фундамевтальнал снстемз окрестностей нуля в Е для топологии а', согласующейся со структурой алднтнвпой группы в Е и такой, что функция (Л.х)» Лх непрерывна з точке (0,0)бь) ХЕ; показать, что функция Л-1.Лхр непрерывна в б) для каждого хрсЕ, но гомо- 1 тетяя х-«вЂ х з Е не непрерывна в топологии а. Р 2) Пусть Š— топологнческое векторное пространство пад неднскретным топологпческям телом К. Для того чтобы отобрзженне ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ.
1, а 1 (1, х) -ь1х было равномерно непрерывным в окрестности точки (0,0)ЕКХЕ, необходимо и достаточно существование окрестности нуяя Уа в Е такой, чтобы множества 1Уа, где Л пробегает все ненулевые элементы из К, образовывали фундаментальную систему окрестностей нуля в Е. Показать что если К вЂ” недискретное нормированное тело и Е отделимо, то равномерная структура в Е тогда мешризуеми. 3) В топологическом векторном пространстве Е над недискретным топологическии телом К существует фунламентальная система замкнутых окрестностей нуля, удовлетворяющая условиям (ЕЧП) и (ЕЧГН) и условиям: (ЕЧ1,) каково бы ни было УЕ6, существуют %'56 и окрестность нуля (7 в К такие, что (7%'с=У; (ЕЧ1) каковы бы ни были хбЕ и УЕ6, в К существует 1+0 такое, что 1х Е У. Обратно, пусть Š— векторное пространство над К и 6 — базис фильтРа в Е, УдовлетвоРЯющий УсловиЯм (ЕЧ1,), (ВЧИ), (ЕЧц) и (ЕЧП ).
Показать, что в Е существует, н притом только одна, топология, согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая 6 фундаментальной системой окрестностей нуля. 4) Обобщить предложение б на случай, когда Е, (1 <! <и) и Р— топологические векторные пространства над любым недискретным коммутативным топологнческим телом. 5) Пусть К вЂ” дискретное коммутативное тело и Š— тело отношений кольца формальных рядов КЦХ, УЦ от двух переменных над К(длг., гл. !Ч, б 5). Пусть Уя, для каждого целого п)0,— множество всех формальных рядов, степень каждого члена которых не меньше и.
Показать, что множества Ув образуют в Е фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии, согласующейся со структурой векторного пространства над К н такой, что Е в этой топологии метризуемо и полно, причем если тело К конечно, то Е локально компактно. Показать, что билинейное отображение (и,о)-ь ио произведения Е.К Е в Е непрерывно в точке (0,0), но существуют иаРЕ такие, что отображение о-ьиао не непрерывно в Е (см. Алг., гл.
!Ч, б 5, упражнение 7(1)). б) Пусть Š— бесконечномерное векторное пространство над Я и л. — множество всех уравновешенных поглощающих множеств в Е. Показать, что к не удовлетворяет аксиоме (ЕЧП1). Еля этого пусть (еа) — бесконечное свободное семейство в Е; А„, для каждого целого п)0,— множество всех точек Рл т1е таких, что )!1! <— 1 и а=1 (1.< 1 < и); А — объединение всех Авб  — векторное подпространство, дополнительное к подпространству, порожденному элементами ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43 еи, и С= А+В. Показать, что не существует множества МбХ, для которого бы М+ М ~ С. 7) Пусть (Е),~т — любое бесконечное семейство отделимых топологических векторных пространств над топологическим телом К (не сводящихся к нулевому элементу); Р— произведение векторных пространств Е,(~ б 7); й — топологив в Р, согласующаяся со структурой аддитивной группы, имекщая своей фундаментальной системой окрестностей нуля совокупность всех произведений Д )г„ где )г„ для 'сг каждого индекса ~ РŠ— любая окрестность нуля в Е, (топология более сильная, чем произведение топологий пространств Е;! см.
Общ. топ., гл. П1, $ 2, упражнение 22). а) Показать, что если К недискретно, то топология й' не согласуется со структурой векторного пространства в Р. б) Пусть Š— векторное подпространство в Р, являющееся прямой суммой подпространств Е,, Показать, что Е замкнуто в Р и топология й'е в Е, индуцируемая топологией З, согласуется со структурой векторного пространства в Е. Показать, что если каждое Е, полно, то и Е полно (см. Общ.
топ., гл. 1П, $ 3, упражнение 8). Показать, что если К недискретно, то ни для какой топологии, мажорирующей б'е и согласующейся со структурой векторного пространства в Е, Е не является бэровским пространством. 8) Показать, что в пространстве 7к(г)) абсобютно суммируемых последовательностей л=((в) элементов недискретного нормированного тела К нормы ~!к~!т = ~~~~ ! си!и 11х1! = зпр!бв! неэквивалентны я=в я (см.
Общ. топ.,гл. 1Х, б 3, яредложевие 7); показать, что ук(г)), снабженное нормой )!х)1, неполно даже если К полно; каково замыкание Ед(Х) в ХГК ()З))7 в9) Пусть К в недискретное коммутативное нормированное тело и 5 — любое бесконечное множество. а) Пусть 1) = (а„) — счетное бесконечное множество элементов из 5 и им для каждого Л б К с !Л! < 1, — элемент нормированного пространства йртг(5) (п' 2) всех ограниченных отображений множества 5 в К такой, что ил(а„) = Л" (и е г)) и пл(Ь) = 0 прн Ь ( О.
Показать, что ил образуют свободное (алгебраически) семейство. б) Вывести отсюда, что каждый базис векторного пространства .йгк (5) равномощеп К~. (Используя а), показать, что мощность каждого базиса в Ег (5) нс меньше мощности К; с другой стороны, заметив, что Як(5) равномощно К, использовать упражнение 3 14 из Алг., гл. !1, б 1 (т).] в) Показать тем же способом, что каждый базис векторного пространства 7.к(5) равномощен (К к 5)". 44 гл. Еьг тОПОЛОГические ВектОРные пРОстРАнстВА 1О) Пусть Š— полное отделимое топологическое векторное прострэнство нэд недискретным нормированным ~слом К; Р— векторное надпространство в Е; й' — топология в Р, согласующаяся со структурой векторного пространства, мзжорнрующэя топологию й», индуцируемую в Р нэ Е, и обладающая фундаментальной системой Е уравновешенных окрестностей нуля, замкнутых в й', Рэ — векторное надпространство в Е, порожденное ээмыкэниями 1» множеств Рй З в Е.
Множества 1» образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии Нэ з Рэ, согласующейся со структурой векторного пространства; в этой топологии Рь полно; наконец, топология, которую Кэ индуцирует в Р, совпэдэет с 3Г. ф 2. Линейные многообразия в топологнческом векторном пространстве 1. Знлвынннне линейного многообразия Напомним (Алг., гл. И, 2-е изд., Приложение И), что вффиииое линейное многообразие в векторном пространстве Е над телом К (называемое просто „линейным многообразием , если зто не может привести к путанице) есть образ векторного надпространства нз Е при произвольном переносе.
Пгедложение 1. Эамыкание линейного многообразия в топологическом векторном пространстве Е есть линейное многообразие. Действительно, так как каждый перенос есть гомеоморфизм пространства Е, то достаточно доказать утверждение предложения для векторного подпространства М. Но непрерывная функция (х, у) -+ -+ х +-у (соотв.
()., х) -+ Лх) отображает М Х М в М (соотв. К Х М в М) и, следовательно, М Х М в М (соотв. КХ М в М) (Общ. топ., гл. 1, $4, предложение 1), а это и доказывает„ что М есть векторное надпространство. Следствие. Е топологическом векторном пространстве, Е каждая гиперплоскость замкнута или всюду плотна. Действительно, замыкание однородной гиперплоскости Н, буг(учи векторным подпространством, содержащим Н (предложение 1), может быть только самим Н или всем пространством Е, Мы видим, таким образом, что для того, чтобы гиперплоскость Н была замкнутой в Е, необходимо и достаточно, чтобы СН содержало внутреннюю точку.
ЛИНЕИНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 45 Пусть А — подмножество топологического векторного прострднствв Е. Напомним, что порождаемое им векторное надпространство М есть множество всевозможных линейных комбинаций элементов из А (Алг., гл. П„й 1, п'5); замыканием М в Е, в силу предложения 1, служит наименьшее замкнутое векторное надпространство, содержащее А; его называют замкнутым векторным подпространством, порозкденным множеством А. Опееделение 1.
Подмножество А топологического векторного пространства Е называется тотальным, если порожденное им замкнутое векторное подпространство совпадает с Е (или, другими словами, если множество линейных комбинаций элементов из А всюду плотно). П р и м е р ы. 1) В нормированном пространстве Ст с ()) непрерывных функций на У= [О, 1[ со значениями из С сужения одиочленов х" (и б )Ч) на У образуют тотальное множество в силу теоремы Вейерштрасса— Стоуна (Общ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
