Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сильное сопряженное . Сопряженное отображение и 7. Основные типы локально выпуклых пространств Бочечные пространства . Монтелевские пространства . 307 309 311 318 332 334 334 334 334 336 337 339 339 340 34! 343 343 344 344 345 347 348 349 349 350 351 352 352 353 354 354 355 356 357 357 358 358 359 360 361 361 361 363 оглавление 363 364 365 Пространства Фреше . Банаховские пространства Гильбертово пространство Приложение к Сводке результатов. Некоторые топологические векторные пространства функционального анализа ..
......... 368 Словарь 369 Приложение 1. Перевод некоторых мест из других книг .Элементов математики' Н. Бурбаки, на которые имеются ссылки в этой книге. 380 Приложение П. Объяснение обозначений, заимствованных из других книг „Элементов математики* Н. Бурбаки .... ......... 392 Приложение П1. Объяснение терминов, заимствованных нз других книг .Элементов математики Н. Бурбаки 394 Указатель обозначений . Указатель терминов . вклейка 5 Определение и аксиомы главы 1 Определения главы 1! Определения главы ГП Определения главы 1Ч Диаграмма различных типов топологических векторных пространств .
вклейка 1 вклейка 2 вклейка 3 вклейка 4 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Государственное издательство физико-математической литературы н Издательство иностранной литературы приступили к переводу на русский язык известного трактата Н. Бурбаки „Элементы мате- матики". Вре появившиеся до сих пор выпуски этого трактата относятся к первой его части, озаглавленной „Фундаментальные структуры анализа и распадающейся на следующие шесть книг: Книга 1 „Теория множеств", Книга П „Алгебра', Книга П!,Общая топология". Книга !Ч „Функции одной вещественной переменной", Книга Ч „Топологические векторные пространства", Книга Ч1 „Интегрирование".
В совокупности эти книги должны дать теоретико-множествен- ную аксиоматическую основу для построения всей современной математики э). Из них закончены пока книги П!, 1Ч и Ч. Книга 1П издается в русском переводе !тремя отдельными выпусками) Физ- матгизом. Настоящее же издание содержит всю книгу Ч (вышед- шую во французском издании тремя отдельными выпусками, из которых первый, появившийся в 1953 г., содержал главы 1 — П, второй, появившийся в 1955 г.,— главы 1П вЂ” Ч и словарь, а третьим был „выпуск результатов", также вышедший в 1955 г.). При переводе учтены исправления к этой книге, приложенные к даль- нейшим выпускам трактата Бурбаки, и выправлены также другие замеченные опечатки.
Среди книг „Элементов математики' Н. Бурбаки книга Ч „Топо- Логические векторные пространства', несомненно, выделяется насыщенностью новыми результатами !полученными в большинстве уже после войны) и, если можно так выразиться, особой злободневностью. Обьясняется это чреввычайной быстротой развития *) См.,Способ пользования этим трактатом', стр, 17. 12 ппндисловиз пзпвводчика теории топологических линейных пространств в последние годы и важной ролью, которую в этом развитии сыграла школа Бурбаки.
Общее понятие топологического линейного пространства и несколько более специальное (но единственно важное пока для анализа) понятие локально выпуклого пространства были введены А. Н. Колмогоровым, А. Н. Тихоновым и И. фон Нейманом в 1934 †19 гг. Но вплоть до конца тридцатых годов главным предметом теории топологических линейных пространств все еще продолжали оставаться нормированные пространства; однако интерес все больше концентрировался на изучении их слабой топологии. Последнее объяснялось тем, что лишь в терминах слабой топологии (а не одной только слабой сходимости последовательностей) оказалось возможным правильно ставить и решать задачи теории двойственности для произвольных (не обязательно сепарабельных) нормированных пространств.
Отсюда оставался лишь один шаг до исследования слабой топологии любых локально выпуклых пространств. Этот шаг сделали В. Л. Шмульян (!940) и Ж. Льедонне (1942). Последний в) построил полную теорию слабой двойственности линейных протранств, почти имитировавшую теорию двойственности для конечномерного, т. е. чисто алгебраического, случая. Существенно дальше продвинулся В. Л.
Шмульян. Его работа „О линейных топологических пространствах" **) содержала уже, хотя и в недостаточно развернутом еще виде, основной результат общей теории двойственности локально выпуклых пространств. Война прервала исследования В. Л. Шмульяна, а в 1944 г. он погиб на фронте. Окончательную форму упомянутому результату В. Л, Шмульяна придал Макки **в) в своих работах 1945 †19 гг. *в**). Эти работы.
содержавшие также другие важные результаты и понятия, знаменовали уже полное преодоление общей теорией рамок нормированных пространств. Но новые рамки — общих локально выпуклых пространств— были еще слишком широки, и вряд ли теория топологических в) Л. Р ! е п б о и и В, Ьа апарне дапз)ев езрасев вес!ог)е!з !про!ой)Чаев, Апп. Есо1е Ыогю, (3), т. 59 (1942), стр. 107 — 139.
**) Ч. 5 ю а!1 ап, ОЬег 1!пеаге !оро!ой!ваде капюе, Мат. сборн., ноа. сер., т. 7 (!940), стр. 425 — 448. ввв) См. га. 1Ч, $2, и'3. в**в) См. библиографию к Историческому очерку, Х1Ч а) и б). ПРПДИСЛОВИП ПВВВВОДЧИКЛ линейных пространств так быстро развивалась бы дальше, не получи она мощного импульса извне, давшего также надежный компас для выбора перспективных направлений исследования и разумной специализации понятий. Этот импульс был дан теорией „распределений' (обобщенных функций) Л. Шварца *).
Возникновение этой теории (окончательно оформленной и систематически разработанной Л. Шварцем) отвечало назревшей потребности математического анализа в возможно более широкий функциональных пространствах, где свободно действовали бы дифференциальные операторы, т. е. в различных пространствах бесконечно дифференцируемых функций и сопряженных к ним пространствах обобщенных функций. Однако эти пространства ненормируемы и большей частью даже неметривуемы (как. например, пространства „финитных' функций и „распределений' Л. Шварца).
Это сделало совершенно очевидной недостаточность и стеснительность старых банаховских рамок и важность более общих концепций также — и прежде всего — для новых приложений функционального анализа и дало мощный толчок развитию общей теории топологических линейных пространств, совершенно изменившему лицо этой теории. На этом этапе, во всяком случае вплоть до 1955 года, когда было завершено французское издание настоящей книгк, ведущая роль в разработке теории топологических линейных пространств, безусловно, принадлежит математикам школы Бурбаки. Лостаточно указать основоположные работы Ж. Дьбдонне и Л.
Шварца „Лвойственность в пространствах (ау ) и ( 5мау )' *з), Н. Бурбаки „О некоторых топологических векторных пространствах" зч.з) и А Гротендика,О пРостРанствах (аУ ) и (ЯаУ )" ззз*); особо следУет отметить йгакже фундаментальную монографию А. Гротендика „Топологические *) См. библиографию к Историческому очерку, )(Ч!. **) Л 1) ! ен боп па е! 1„5 с 5 зг аг !з, Ва даа!ПЕ дава!ееезрасез (7 ) Чз( (.е."з ), Апв.
!пз!. Роапег(ОгепоЫе), т.1(1950), стр. 61 — 101. Русск. пере- 4!зд: Математика, т. 2, вып. 2 (1958), стр. 77 — 107. ***) и. В о а г 0 ах 1, 5яг сег!а!пз езрасез тес!ог!е!з .!оро!од!чаев, Авп. (йяз!. Роаг!ег (СгевоЫе), т. 2 (1951), стр. 5 — 16. Русск. перевод: МатематиКа, зй, аып. 2 (1958), стр. 109 — !17. ' "заз) А. Ого!певи !еск, 5аг !ез езрасез (7) е! (й'и ) 5""' В" !з Ма!Ьегпансае, г. 3, вып. 6 (1954), сгр. 57 — 123. Русск.
перевод: ематика. т. 2, выв. 3 (1958), стр. 81 — 127. 14 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА теизориые произведения и ядерные пространства' в), влияние которой только начинает еще сказываться. Все это и наложило на рассматриваемую книгу трактата Бурбаки печать особой оригинальности и злободневности, Вместе с тем эта книга до сих цор играет роль единственного руководства, цо которому можно изучить основы современной теории топологических линейных пространств. Но нужно при этом иметь в виду, что эта книга — вовсе ие учебник в обычном смысле и даже ие специальная монография: она является органической частью трактата Бурбаки, всецело подчиненной общему его замыслу и плану. По-видимому, именно этим объясняется, например, то, что в ией совершенно ие отражены исследования А.
Гротендика ио тензорным произведениям локально выпуклых пространств и ядерным пространствам. Однако каждый изучивший эту книгу сможет уже свободно читать литературу по любым специальным вопросам теории топо- логических линейных пространств. Являясь пятой книгой трактата Н. Бурбаки, книга „Тоиологические векторные пространства" содержие многочисленные ссылки на предшествующие книги трактата; кроме того, в ией широко используются, без специальных пояснений. введенные там обозначения и термины.
Ввиду этого пришлось снабдить перевод книги тремя приложениями. Первое из иих содержит, в виде примечаний, перевод тех, существенных для понимания текста книги, мест из других книг трактата, на которые имеются ссылки. Во втором приложении дано разъяснение стандартных обозначений, заимствованных из других книг трактата. Наконец, третье приложение представляет собой толковый словарь, где в алфавитном порядке расположены в основном те (взятые из других книг трактата) термины, которые либо присущи только языку этого трактата, либо приобрели в этом языке не совсем общепринятый смысл.
Ввиду перенасыщеииости трактата Бурбаки своей особой терминологией, читателю, еще не знакомому с ией, пожалуй, следовало бы хотя бы бегло просмотреть это приложение, прежде чем приступать к чтению самой книги. Не менее полезно было бы предварительно ознакомиться со свод- *) А. О г о в 'и е и й ~ е с к, Ргодщм Вепвог)е!в Воре!Ой)Чаев е! евРасев ппс)еа)гев, Мевпо!гв ОЕ Ше Авпег!сап Майевпайса! Бес!еВу, и' 16 (1955).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
