Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обратно, каждое векторное пространство Т может быть отождествлено с аффинным пространством Е, соответствующим его подгруппе (О) (Алг., гл. 1, й 7, п' 6). При таком отождествлении не- пустые аффинкые линейные многообразия аффинного пространства Е отождествляются с подмножествами векторного пространства Т, получаемыми путем переноса его векторных подпространств (называемых также однородными линейными многообразиями).
Напомним также„ что пустое множество рассматривается как аффинное линейное многообразие. Пусть Т' — второе векторное пространство, отождествленное с аффинным пространством Е', соответствующим его подгруппе (О(. Аффинные линейные отображения Е в Е' отождествляются тогда 64 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫВ ПРОСТРАНСТВА ГЛ.
И,91 с отображениями Т в Т', получающимися путем композиции линейных отображений Т в Т' (называемых также однородными линейными отображениями Е в Е') с переносами в Т'. Пусть ланы семейство (х,), точек нз Е и семейство (Л,) скаляров, отличных от нуля лишь для конечного числа индексов и таких, что ~Л,=1. Положим,»,Л,х,=а+лчтЛ,(х,— а). Эту точку, ие зависящую от выбора а~Е, называют центром тяжести семейства (х,), в котором каждая точка х, снабжена массой )ч (положительной, отрицательной или нулевой). Множество всех этих центров тяжести (при всевозможных выборах семейств (1ч) указанного вида) совпадает с аффинным линейным многообразием, порожденным точками х,. Напомним также, что множество всех точек а+-Л1, где а — фиксированная точка из Е, 1 — фиксированный ненулевой вектор из Т и Л) О (соотв.
Л) О). называется замкнутой (соотв. открытой) Лолуарямой с началом а и нааравляюьцим вектором 1. Дзлее, множество всех точек Ах+ру, где х и у — две фиксированные точки изЕ, Л)О, р)О и Л+р=( (соотв. Л)0, р)О и Л+р=1), называется замкнутым (соотв. Открытым, при хчьу) отрезком с концами х и у; при х=у он свалится к точке. Наконец, при х+у, отрезок, открытый в х и замкнутый в у, это — множество всех точек Лх+ру, где Л+1ь= 1, Л) О, р) О. ф 1. Выпуклые множества 1. Определение выпуклого множества Опгвдвлвнив 1. Множество А точек аффиккого лростракстза Е над В называется выпуклым, если, каковы бы ни были тачки х и у из А, замкнутый отрезок с концами х и у содержится в А.
Так как (1 — Л)а+Лх=а+Л(х — а), то это определение равносильно следующему: множество А выпукло, если его образ при гомотетии с центром в любой точке а~ А и коэффициентом ),, заключенным между О и 1, содержится в А (ииаче говоря, если А устойчива относительно этих гомотетий). Л ри и е р ы. 1) Каждое аффиииое линейное многообразие е Е (н, в частности, пустое множество) выпукло. выпуклын множиствл 2) Елинственныын непустымн выпуклынн множестванн в )Ц являются интервалы (Общ.
топ., гл. (т), й 2, предложение 1). 3) Пусть Š— векторное пространство н Цхй — норма в Е; замкнутый шар В, образованный точками х с Ц х Ц ~; 1, есть выпуклое множество, нбо нз неравенств Цхй(1, Ц уй (1 н О ( Л (1 следует Ц Лх (- (1 — Л) у Ц ( Л Ц л Ц + (1 — Л) Ц у Ц ( Л -)- (1 — Л) = 1.
Замечание. Пусть А — выпуклое множество в векторном пространстве Е; каковы бы нн были скаллры я) О и Ц ) О, яА+ ЦА = = (я+ О) А. Иными словами, каковы бы нн были хй А н у С А, существует л с А такое, что (а + Ц) г = ах+ Цу. Лействительно, это соотношение можно записать в виде а е= — х+ а+Р я+О н так как — ) О, — ) О н — + — = 1, то утверждение а я я+Ц а+й а+О а+у следует нз определенна 1. Пгкдложиник 1. Пусть (х,) — семейство точек выпуклого множества А. Центр тяжести ~~'„Л,х, точек х„снабженных положительными массами Л, (такими, что ~,Л,= 1 и Л, ~ О, лишь для конечного числа индексов). содержится в А.
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда множеством индексов служит конечный интервал Ц1, р] с= Х и )ч ) О для каждого номера Е При р= 1 предложение тривиально. Докажем его индукр-! я-г ч,ч Лг цией по р. Положим 1ь= 11 Л;) О и у= г — 'х;; в силу предпоГси 1=1 р ложения индукции у ~ А. Так как ),р — — 1 — р. и ~~'„)„.хе=(ьу+(1 — 1ь) х, Гьа р то точка лчы)чх; содержится в А в силу определения 1. Пгвдложннив 2. При аффинном линейном отображении .иффинного пространства Е в аффинное пространство Р образ каждого выпуклого множества из Е и прообраз каждого выпуклого множества из Р являются выпуклыми множествами. Первое утверждение следует из того, что у переводит замкнутый .отрезок с концами х и у в замкнутый отрезок с концами у(х) и у(у).
Это же показывает также, что прообраз каждого замкнутого отрезка 66 гл. В,за ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА из )Р содержит замкнутый отрезок, имеющий своими концами любые две точки этого прообраза, а отсюда вытекает и второе утверждение предложения 2. В частности, образ выпуклого множества при гомотетии или переносе есть выпуклое множество. Пгелложение 3.
Пусть Н вЂ” гиперплоскость, заданная уравнением а'(х) = и, где а' — ненулевая линейная форма на Е. Полупространстеа, определенные соответственно неравенствами й(х) ~~ а, к (х) ( а, Е (х) ) а, д (х) ( и, являются выпуклыми множествами. Действительно, эти полупространства являются прообразами интервалов нз (ч относительно линейного отображения е, а последние выпуклы.
Говорят, что точки множества М находятся по одну сторону (соотв. строго по одну сторону) от гиперплоскостн Н, если М содержится в одном из полупростраиств, определяемых, в обозначениях предложения 3, неравенствами е(х) ) и нли е(х) ( и (соотв. а (х) . г или е (х) ( и). Пгедложение 4. Пусть Н вЂ” гипгрплоскость е аффинном пространстве Е. Для того чтобы точки выпуклого множества А из Е находилигь строго по одну сторону от Н, необходимо и достаточно, чтобы А не имело общих точек с Н. Необходимость условия очевидна. Обратно, предположим, что оно выполнено, и пусть д (х) = 0 — уравнение гиперплоскости Н (и†аффиииое линейное отображение Е в (с).Множество е(А) выпуклгь в )с и, значит, является интервалом, а 0 ( е (А).
Следовательно, й'(х) сохраняет знак, когда х пробегает А. 2. Пересечения выпуклых множеств. Произведения выпунлыгс множеств Пгедложение 5. Пересечение любого семейства выпуклых подмножегтв аффинного пространства Е выпукло. Непосредственно следует нз определения !. Выпуклыв множвстВА Пгвдложенив 6. Пусть (Е) — семейство аффинных пространств и А„для каждого ~~1, — непустое подмножество пространства Ег Для того чтобы подмножество А = И А, простран'ег ства Е = Ц Е, было выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы А„ для каждого ~~У, было выпукло в Ес Действительно, каждый из проекторов рг, является аффинным — 1 линейным отображением, и так как А,=рг,А и А=Ирг,(А,), то 'ег утверждение вытекает из предложений 2 в 5.
Следствие. В пространстве 1с" каждый параллелепипед (Общ. топ., гл. '71, й 1, и' 3) есть выпуклое множество. Действительно, каждый параллелепипед есть образ кирпича при аффинном линейном отображении, а последний — выпуклый в (с" в силу предложения 6. Пеадложвниз 7. Пусть Š— векторное пространство и А, В— его выпуклые подмножества, Каковы бы ни были вещественные числа а и 8, множество иА+рВ (образованное точками 'ах+ру, где х пробегает А, а у пробегает В) выаукло. Действительно, иА+ рВ есть образ выпуклого множества А )с,' В при линейном отображении (х, у) -ь ах+ ру пространства Е )( Е в Е. 3.
Выпуклая оболочка множества Опгедзланиг 2. Выпуклой оболочкой любого подмножества А аффинного пространства Е называют пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А, т е. (предложеиие 5) наименьшее выпуклое множество, содержащее А. Пгвдложвнив 8.
Пусть (А,) г — семейство выпуклых подмножеств аффинного пространства Е. Выпуклая оболочка множества ЦА,совпадает с множеством всех линейных комбинаций лчз Х,х„ йт ~ег где х,~ Ае Л,) О для всех ~~7 (причем )., чь О лишь для конечного числа индексов ~) и ~~г~л,=. 1. 'ег Действительно, множество С этих линейных комбинаций,, очевидно, содержится в каждом выпуклом множестве, содержашем Все А, 68 гл, и, а г лОКАльнО Выпкклые пгостРАнстВА (предложеняе !), и, с другой стороны, все А,~С; таким образом, остается доказать, что С выпукло.
Пусть х=~~,'г)чх„у=~~.',рчу,— две точки нз С и 0 < а ( 1. Для каждого ~~У положим т,=Ы,+ +(1 — а)1ь, и пусть г' — !конечное) множество тех индексов Н для котоРых Т, чь О. Тогда ах+(1 — а)У можно записать а виде ~~~~ ~Т,г„ ил гле г,=Т, ')аь,х,+11 — а)1ь,у,) прнналлежнт А, для каждого ~~У. И так как ~~~~ у, = а~~.',)ч+(! — а)~~,'„р.,= 1, то точка ах+(1 — а)у 'чг 'чг 'ег принадлежит С. Следствне.
Выпуклая оболочка множества А~Е совпадает с множеством всех линейных комбинаций ~,),хч где 1х,) — любые конечные семейства точек из А, >ч) 0 для каждого ~ и ~~)ч= 1. Размерность аффннного линейного многообразия, порожденного выпуклым множеством А, если она конечна, называется также размерностью множества А. Аффннный ранг множества Вс=Е (еслн он определен) равен размерности выпуклой оболочки этого множества В. 4. Вынуклые конусы Опгеделенне 3. Подмножество С аффинного пространства Е над Й называют конусом с вершиной хь, если С устойчиво относительно всех гомотетий с центром хв и положительным козффициентом. В этом и следующем пунктах мы предполагаем, что вершина рассматрнваемого конуса выбрана за начало в Е; другнмн словами, мы предполагаем, что Е есть векторное пространство, и, говоря о конусе, имеем в виду конус с вершиной О.
Конус С с вершиной 0 мы будем называть заостренным, если 0 ~ С, и затупленным — в противном случае. Заостренный конус либо сводится к точке О, либо есть объединение некоторого множествазамкнутых полупрямых с началом О. Затупленный конус есть объединение (возможно, пустого) множества открытых полупрямых с началом О. Еслн С в затупленный конус, то С 1)(0) — заостренный конус. Если С вЂ заостренн конус, то С П (~ )0) — затупленный конус, выпгклые множества Если С вЂ” затупленный выпуклый конус, то С0 (О( — заостренный выпуклый конус. Напротив, если С вЂ” заостренный выпуклый конус, то конус СП ( (О( — не обязательно выпуклый. Будем называть заостренный выпуклый конус, не содержащий никакой прямой, проходящей через О, выступающим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
