Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Покажем, что, с другой стороны, каждая точка х, внутренняя к А, чгрипадлежит А. Можно предполагать, что х=О. Пусть Ъ' — симметричная окрестность нуля, содержащаяся в А, и у~АП'У". Имеем — у~А, и если у Ф О, то предложение 15 показывает, что О~А; юри у=О такое заключение очевидно. Следствие 2. Внутренность С выпуклого конуса есть вылуклый конус. Если множество С нг аусто, то оно соваадавт л внутренностью множества С, а С есть заостренный выауклый минус, совпадающий с замыканием множества С. Так как гомотетии с коэффициентами ) 0 и центром О преобразуют С в себя, то опи преобразуют С в себя, так что С вЂ” конус; остальные утверждения вытекают из следствия 1 и очевидного заме- тания, что С содержит вершину конуса С, если последний не пуст. Пусть Н вЂ” замкнутая гиперплоскость в топологическом векторном пространстве Е пад Й; она имеет уравнение вида г'(х) = а, где у — ненулевая непрерывная линейная форма на Е (гл.
1, э 2, теорема 1). Поэтому полупространства, определенные соответственно тгеравенствами у(х). и и у'(х)) и, являются замкнутыми выпуклыми множествами, а их дополнения, определенные соответственно неравенствами У(х) ) и и 1(х) и, — открытые выпуклые множества. Мы будем называть эти полупространства замкнутыми (соотв. юткрытыми) полупространствами, определяемыми гиперплоскостпью Н. выпкклын множнствл Пгвлложвнив !6. Пусть Š— топологическое векторное пространство и А — множество в нем, содержащее по крайней мере одну внутреннюю то~ну и такое, что все его точки лежат льо одну сторону от гиперплоскости Н. Тогда Н замкнута, внутренние точки множества А лежат строго по одну сторону от Н и точки прикосновения множества А лежат по одну сторону от Н.
Действительно, предположим, что Н проходит через начало и имеет уравнение г"(х) = О, и пусть, например, у(х) ) О для всех точек х~ А. Полупространство, образованное точками у, для которых у (у) ) — 1, содержит по крайней мере одну внутреннюю точку, и тзутем переноса убеждаемся в том, что то же верно для полупространства, образованного точками у с )'(у) > О. Это доказывает, что Н аамкнуто (гл. 1, 2 2, следствие предложения 1). Как мы знаем, тогда у' есть гомоморфизм Е на [с (гл.
1, 2 2, следствие 1 теоремы 1) и, следовательно, у(А) — открытое множество в й; оно не может содержать О, так как иначе содержало бы и отрицательные числа. в противоречие с предположением; следовательно, оно содержится в открытом интервале [О, [- со[. С другой стороны, полупространство тех у, для которых у(у) ) О, замкнуто и содержит А, а следовательно, и А. Упражнения.
1) Подмножество А векторного пространства Е мад 11 называется звездным (относительно точки О), если О с А и вместе с точкой хс А множеству А принадлежат также точки 1х для всех )., заключенных между О и 1. Пусть А — звездное множество, лля каждой точки х которого существует и) 1 такое, что ихйА. Показать, что если А вместе с камлой парой своих точек х,у 1 содержит и точку — (х+у), то оио выпукло. Дать пример невыпу- 2 1 клого звездного множества А, для которого — (А+А) ~ А.
2 2) Пусть в аффннном пространстве даны выпуклое множество А и любое содержащее его множество В. Показать, что среди выпуклых множеств, содержащих А и содержащихся в В, имеется по крайней мере одно максимальное; дать пример, где имеются различные максимальные выпуклые множества, содержащие А и содержащиеся в В. 3) Пусть А н  — два непересекающихся выпуклых множества в аффнином пространстве Е. Показать, что в Е существуют непересекающиеся выпуклые множества С, 0 такие, что АсС, ВсЕз и С(]11=Е. [Применить теорему Цорна к множеству всех пар М,ДГ непсресекающих выпуклых множеств таких, что Ас= М, Вс-йт,] лОкАльнО Выпрклые пРООТРАнстВА ГЛ.
И, Э 1 4) Пусть Š— векторное пространство над Уй, обладающее счетным базисом (ен), и С вЂ” множество всех точек х= юсвев таких, что $„)0 для наибольшего индекса и, при котором (в ф О, Показать что С есть заостренный выпуклый конус, причем СП( — С) =(0) и СО( — С) = Е. Вывести отсюда, что С есть множество всех элементов ) 0 для структуры порядка в Е, согласующейся со структурой векторного пространства и превращающей Е в совершенно упорядоченное множество. Показать, что на этом упорядоченном векторном пространстве не существует положительной линейной формы, неравной тождественно нулю. 5) Пусть Š— аффинное пространство и 7" — взаимно однозначное отображение его на себя. Показать, что если у переводит каждое выпуклое множество в выпуклое множество, то у есть аффинное линейное отображение.
[Воспользоваться тем, что замкнутый отрезок есть пересечение выпуклых множеств, содержащих оба его конца; см. Алг., гл. П, 2-е изд., Приложение И, упражнение 7,[ б) дать пример пары выпуклых множеств А с!(, В с)!э, для которой образ выпуклого множества А Х В при билинейном отображении (1, х)-ьЛх пространства В Х У!э в У!э не был бы выпуклым. 7) Пусть А! (1~(у~р) — конечное число выпуклых множеств в векторном пространстве Е над (1, Чтг — векторное подпространство, подученное путем переноса аффинного линейного многообразия, норов жденного множеством А; (1 (! (р), и (à — подпространство ~~4~%'1, э-1 Показать, что аффииное линейное многообразие, порожденное выпукр лым множеством ~р ~1!А! (где числа 11 отличны от нуля), получается 1 1 переносом из ят.
э8) Пусть А — любое множество в У(ч. а) Показать, что выпуклая оболочка множества А совпадает я с множеством всех точек ~~~ Хрип где хгчА, 11~.0 (0~!~(л) а=о и ~', )и = 1. [Установить сначала следующую лемму: если р+ 1 1-О точек ху (0~ ! ~ р) образуют аффинно зависимую систему (т. е. сущер р ствует соотношение ~~1', Цх1= О, где 8; не все равны нулю и ~~ 81 — — 0) 1=О э=э р р и х ~э,хо где все аэ ьО и ~~э!=1, то существуют индекс й и р 1-0 1=О чисел у; (1 + й) такие, что все у,> О, ~Ч~ П = 1 и х = ~~~',у;хй для 1 р» эрь этого сравнить числа —, имеющие смысл.) Яэ Рг ' ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 77 б) Пусть а — точка выпуклой оболочки множества А, не принадлежащая выпуклой оболочке никакого подмножества из А, содержащего ие более и элементов. Показать, что тогда А обладает по меньшей мере и + 1 связными компонентами.
]Можно считать а = О. Пусть (бт) жгж„— аффинно независииое семейство и+1 точек из А, выпуклая оболочка которого содержит О (см. а)), и пусть Св для каждого индекса й — заостренный выпуклый конус с вершиной О, порожденный точками Ьу с индексами /~й Показать, что А не пересекается с границей ни одного из конусов — Сг.] в) Показать, что если А — заостренный конус с вершиной О, то » его выпуклая оболочка совпадает с множеством всех точек ~!1хп 1 1 где хгйА и !1~ О (1 <:г~п).
9) а) Показать, что в пространстве 1!» каждое и-мерное выпуклое множество А обладает по крайней мере одной внутренней точкой.!Рассмотреть аффинно независимую систему и + 1 точек из А.] б) Пусть Е = Е1(1)) †пространст абсолютно сходящихся рялов х = (с») вещественных чисел (гл. 1, й1, и'2). Показать, что множествоР тех х, для которых все (») О, есть выступающий выпуклый конус, порождающий Е, но не содержащий ни одной внутренней точки. 10) Показать, что в пространстве )1» каждое пепустое открытое выпуклое множество гомеоморфно )с». [Использовать упражнение 12 мз Общ.
топ., гл. Ч1, 5 2 (т).] 11) Пусть Š— топологическое векторное пространство над 1! и А — замкнутое выпуклое множество в Е. Пусть У(л), лля кажлого х бА, — объединение всех прямых, проходящих через х и содержащихся в А. Показать, что У(х) есть замкнутое линейное многообразие и что У(х) и У(у) для любых двух точек х и у из А получаются друг из друга путем переноса. Вывести отсюда, что если (р — замкнутое векторное подпространство, получающееся путем переноса любого -1 У(х), и у — канонический гомоморфизм Е на Е/ЯГ, то А Т(В), где  — замкнутое выпуклое множество в Ег'Яг, не содержащее никакой прямой.
12) Пусть А — неограниченное замкнутое выпуклое множество в 11» Показать, что для любой точки хйА существует по крайней мере одна замкнутая полупрямая с началом х, содержащаяся в А. Множество С(х) всех содержащихся в А замкнутых полупрямых с началом х есть замкнутый выпуклый конус в !1». Конусы С(х) и С(у) для любых двух точек х и у из А получаются друг из друга путем переноса. 13) Пусть С вЂ” выступающий замкнутый выпуклый конус в 1!» с вершиной О.
Показать, что дополнение множества С(]8» 1 по отношению к сфере 5» 1 гомеоморфно Й» 1. ]Произвести стереографическую проекцию из точки множества СПВ» 1 и воспользоваться упражнением 12 из Общ. топ., гл. Ч1, $2(т),] ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл. н, В в Показать, что если С обладает внутренней точкой, то С[]8я гомеоморфно замкнутому шару Вв т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
