Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть, наконец, у«(соотв. фх) — каноническое отображение Е, (соота. Рт) в Е н В (соотв.Л') — сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой отображения у„ (соотв. фх) непрерывны. Тогда В' мажорируется топологией 3"'. Действительно, если У в окрестность нуля для й', то УПРТ=(УПЕ„)ПРх есть окрестность нуля для й', так что 1' есть окрестность нуля для 3".
Чаще всего в приложениях топологии й„локально выпуклы, а семейство (Е„) — фильтрующееся относительно включения с=, причем если Е,~Ее, то йй индуцирует в Е„топологию, мажорируемую топологией л„. При этих условиях говорят, что Ю есть индуктивный предел топологий л„. 1 П р и и е р ы. 1) Пусть Š— векторное пространство и 5 — 'множество всех его конечномерных векторных подпространств (фильтрующееся 86 ГЛ. и, $2 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА относительно включения ~).
Пусть й"Р в кажлом Р Р 5 — елинствеиная отлелимая (локально выпуклая) топология„согласующаяся со структурой векторного пространства в Р. Индуктивный предел топологий уу есть не что иное, как сильнейшая локально выпуклая топология й в Е (и' 1, пример 3). Действительно, какова бы ни была симметричная выпуклая . окрестность нуля И лля йы, ИДР есть окрестность нулв лля й'Р, поскольку зто — поглощающее симметричное выпуклое множество. 2) Пусть Š— топологичеекая прямая сумма семейства (Р),е т локально выпуклых пространств (и' 3, определение 2). Так как объединение всех Р, порождает Е, то мы получим фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, образуя для каждого семейства ((г)б г где )г, — симметричная выпуклая окрестность пуля в Р„выпуклую оболочку объелннения множеств )г, в Е.
Пусть Рп, для кажлого Нс: Е— подпространство в Е, являющееся прямой суммой подпространств Р, (г б Н), и В л — — прямая сумма топологий пространств Р, (~ Р Н). Из ленного только что описания окрестностей нуля в Е непосредственно слелует, что В' есть топология, индуцнруемая в Рл топологией й' пространства Е, а й есть индуктивный предел топологий В еп когда Н пробегает фильтрующееся (относительно включения ~) множество одмножеств из Е объелинением которых служит всб Е Пусть Š— произвольное векторное пространство над (( и (е,),б г— базис Е над )с (Алг., гл.
11, б 3, п' 1); Е есть прямая сумма одномерных подпространств Р, = (че„и ясно, что Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией ж„, есть топологическая прямая сумма подпространств Ре 3) Пусть Х вЂ” локально компактное пространство и Š— векторное пространство всех непрерывных числовых функций 2' на Е, равных нулю каждая, вне некоторого компактного множества (завнсящего от у). Пусть Егг, для каждого компактного множества К~Х,— векторное полпространство функций г Р Е, равных нулю вне К, и й'к — топология, инлуцируемая в Ек топологией В „ равномерной схолимости иа Е. Индуктивный предел й топологий 3 д. мажорируст топологию йя; можно показать, что если Е обладает счетным базисом окрестностей бесконечности, то й сильнее чем ук [Интегрир., гл.
81, б 2, упражнения 1, 2 н 3(з)). Линейные формы на Е, непрерывные в топологии,р', суть не что иное, как меры на Х по самому опрелелению последних (там же). 3 а и е ч а пи я. 1) Пусть (Р„)«ел — семейство локально выпуклых пространств, к„для каждого «РА, — линейное отображение Р„в векторное пространство Е над (( и Р— типологическая прямая сумма пространств Р„. Опрелелим линейное отображение к пространства Р в Е, лля кажлого х= х х„РР положив и(х)= ~~~~Х«(х«). Силь"бА «бл нейшая локально выпуклая топология я в Е, при которой непрерывны 87 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА все Р„, совладает с снльнейшсй локально выпуклой топологней у' в Е, прн которой непрерывно е. Действительно, так как е„есть суженне е на Р„, то нсе е„непрерывны в топологии В', так что она мажорнруется топологией В„.
но н обратно, е непрерывно в топологии В (слелствне предложения 1), так что она мажорнруется топологией Х'. Если Е порождается обьединением надпространств й,(Р„), то е есть отображение Р на Е; поэтому Е можно отождествить с Р/гтг, где Аг — адро отображения е, а В' — с фактортопологигй топологии пространства Р по полпространстау гтг. 2) Читатель подметил некую .двойственность" между описанными выше двумя методами введения локально выпуклой топологии; одним охватываются как частные случаи нндуцированная топология подпространства, пронзвеленне топологий и верхняя грань семейства топологий, другим — фактортопологнв, прямая сумма топологий и нижняя грань семейства топологий. Некоторые аспекты этого соответствия получат более точное выражение в гл. !(Г "). 3) В прелылущнх примерах семейство (Е„) было фильтрующимся относительно включеннн с и, кроме того, при Е„ ~ Ег топология, индуцируемая в Е„ топологией В р совпадала с В „.
Неизвестно, не булет ли топоаогня, нндуцнруемая инлуктивным пределом В топологий В „ в каждом из Е„ уже прн олннх этих условиах всегда совпалать с В „, как это имеет место во всех рассмотренных примерах. Заметим, что такое заключение всегда справедливо, если в Е существует локально выпуклая топология т', нндуцнрующая в каждом Е, топологию В „: действительно, тогда В по опрелеленню мажорирует топологию у', так что топология, которую В' индуцирует в Е„,мажорирует топологию В „; н так как по определению В' индуцирует в Е„ топологию, мажорируемую топологией В„, то наше утверждение доказано. В приведенном выше примере 3 тояология Вв в Е есть как раз топология этого рода.
Мы укажем другой случай, где В' индуцирует в каждом подпространстве Е, его топологию В „. Е. Строгий индуктивный предел последовательности надпространств Пгедложение 3. Пусть Š— векторное пространство над (х и (Е„) — возрастающая последовательность его векторных подпространств, имеющая своим Обьедингнием всй Е. Пусть в каждом Е„задана локально выпуклая топология 37я, причем для каждого и она совпрдает с топологией, индуцируемой в Е„ топологией Е„ьн Тогда топология, индуцируемая в каждом Ев индуктивным пределом в топологией Рв, совпадает с Ея.
ч) Это обещание осталось невыполненным. — Прим. перев. гл. и, вг 88 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть Яо — топология, индуцируемая в Е„топологией йг. По определению последней, оо мажорируется топологией ао. Покажем, что а„мажоРиРУет топологию Ю„. ПУсть (го — выпУклаЯ окРестность нуля в Е„для топологии ао; мы построим возрастающую последовательность (~'„ер)р>, такую, что $'„ор будет выпуклой окрестностью нУлЯ в Е„+„(длЯ топологии Ю„ор) и (г„орйЕ,=(го длз каждого р)~ 1. Тогда объединение (г множеств (г„+р будет выпуклым множеством таким, что Ъ" й Ез, для каждого й, — окрестность нуля для Юз, следовательно, (г будет окрестностью нуля для Х, и так как (гйЕо=)Г„. то тем самым предложение будет доказано.
Для построения множеств 1'„„„достаточно применить индукцию по р, опираясь на следующую лемму: Ламма 1. Пусть Р— локально выпуклое пространство, М вЂ” его векторное надпространство и Ъ' — выпуклая окрестность куля в М. Тогда в Е существует выпуклая окрестноств куля Ф' такая, что В'ПМ=(г. При этом если М замкнуто в Е, то для каждой точки хо~ (~М существует выпуклая окрестность нуля !Ро в г' такая, что )Рой М =(' и хо()ого. Действительно, по предположению, в Е существует окрестность нуля () такая, что П й Мс='ог. Выпуклая оболочка Ж' множества () () (г есть, очевидно, окрестность нуля в Е. Покажем, что (У" ПМ=$'. Действительно, каждая точка г~ (У" имеет вид ):,х+(1 — ),)у, где х~(г, у~() и 0 () ( 1 (й 1, предложение 8).
Если с~М и ). Ф 1, то необходимо у ~ М, так что у ~ П й Мс= (г, и, следовательно, г ~ (г; то же заключение, очевидно, сохраняет силу и при ) = 1. Если М замкнуто в Г, то пространство Е)М отделимо, так что в Е существует окрестность нуля ()оо:У такая, что По не пересекается с хо+ М; тогда выпуклая оболочка Ж'о множества ()о() $' удовлетворяет всем требованиям леммы. Прн выполнении условий предложения 3 мы будем говорить, что пространство Е, наделенное топологией Ю, есть строгий индуктивный предел локально выпуклых пространств Е„.
Замечания. 1) Если все топологии Ло отделимы, то из предложения 3 слелует„что и а отделима, поскольку каждая точка пространства Е принадлежит некоторому Е„. 2) Если каждое из надпространств Ео замкнуто в Ео+т (в топологии 3о+з), то Е„замкнуто з топологии 3. 1(ействительно, индук- ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 89 цией по р сразу убеждаемся в том, что Е„замкнуто во всех пространствах Е„+ . Но каждая точка х(Е принадлежит некото- РомУ Е„„; если х(БЕ„, то в Етььр сУществУет выпУклаЯ окРестность нуля У„+р такаа, что х+ У„+Р не пересекается с Е„; так как, с другой стороны, существует окрестность нуля У (цля й ) такая, что УПЕ„ья= У„+р, то окрестность х+ Уточки х лля топологии К не пересекается с Е„.
3) Пусть Р— локально выпуклое пространство, являющееся объединением возрастающей последовательности (Ри) своих подпространств, и ви, для каждого номера л, †тополог, индуцируемая в Рп топологией й пространства Р. Не следует думать, что В всегда совпадает с индуктивным пределом топологий й'и. Так, например, если (М„) — бесконечная последовательность отделимых локально выпуклых пространств, не сводящихся к одному элементу О, Š— их произведение, Р— прямая сумма всех М„, рассматриваемая как часть Е и наделенная топологией в',индуцироваиной из Е, а Р„ †сум всех Ма с номерами А ~ п, то ясно, что топология 3 отлична от индуктивного предела топологий 3 „. У п раж пения.
1) Пусть Š— векторное пространство над (1, А— его симметричное выпуклое подмножество, й и 3' — локально выпуклые топологии в Е, гг и гг' — определяемые ими равномерные структуры. Для того чтобы равномерная структура, которую гг' индуцирует в А, мажорировала структуру, которую гг индуцирует в А, необходим о и хоста~очно, чтобы каждая окрестность нуля для топологии, индуцируемой в А топологией 3, была окрестностью нуля для топологии индуцируечой топологией й'. 2) Пусть Š— векторное пространство над )с, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией. а) Показать, что каждое векторное подпространство в Е замкнуто и что если М и Аà — взаимно дополнительные векторные подпространства в Е, то Е есть их топологическая прямая сумма. б) Показать, что каждое линейное отображение пространства Е в локально выпуклое пространство Р непрерывно и притом является гомоморфизмом в Р, если Р наделено сильнейшей локально выпуклой топологией.
3) Пусть Š— векторное пространство над (1, А — выпуклое множество в Е, У в порождаемое им аффинное линейное многообразие, Будем говорить, что хаРА есть окруженная точка множества А, если хэ — внутренняя точка множестиа А относительно У при сильнейшей локально выпуклой топологии в Е.
а) Для того чтобы хэ было окруженной точной множества А, необходимо и достаточно, чтобы для каждой прямой (), проходящей через ха и принадлежащей У, )УДА содержало открытый отрезок, содержащий хв локально пыпкклыв пространства ГЛ. И, $2 6) Пусть У вЂ” аффннное линейное отображение пространства Е в векторное пространство Р; показать, что если хэ — окруженная точка множества А, то У(ха) †окруженн точка множества „5(А) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
