Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 16
Текст из файла (страница 16)
[Тем же методом.] 14) Пусть А — неограниченное замкнутос выпуклое множество в Вя нс содержащее никакой прямой и обладающее по крайней мере олной внутренней точкой. Показать, что граница А гомеоморфна йя '. [Воспользоваться упражнениями 12 и 13.] 15) Показать, что для замкнутости выпуклого множества в пространстве ](ч необходимо и достаточно, чтобы было замкнуто его пересечение со всякой прямой [см. й 5, упражнение 12]. а15) а) Пусть А; (1~(1~(г) г) и+1 выпуклых множеств в пространстве ]сч, каждые г- — 1 из которых имеют непустое пересечение.
Показать, что тогда все г множеств А, имеют пспустое пересечение. ]Пусть л; — точка, приналлсжащая пересечению всех множеств А. с индексами )+О существуют г чисел )ч, из которых хоть одно отлично г от нуля, таких, что Е' 1; = О н ~~~~ Агез = О; сгруппировать в этом ра,=т ь=з венствс члены с коэффициентами )з ) О и члены с коэффициентами. Лг<О.] б) Пусть 1 — множество компактных выпуклых множеств в )(". Для того чтобы оно имело непустое пересечение, достаточно, чтобы пересечение любых и+1 его множеств было не пусто.
17) Показать, что в топологическом векторном пространстве над)с выпуклая оболочка открытого множества есть открытое множество. 18) Пусть М вЂ” не|оду плотное выпуклое множество в топологичсском векторном пространстве Е пад (х. Показать, что НП М для любой замкнутой гиперплоскости Н из Е плотно в Н, [для каждой точки хе 5 Н и каждой уравновешенной окрестности нуля )г в Е рассмотреть пересечение множества ха+)г с открытыми полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Н, и установить, что ка+ Р+ )г содержит точку множества НЯМ.] 19) Пусть Š— бесконсчиомернос топологическое векторное пространство, содержащее тотальное счетное множество (например, нормированное пространство М (5]) абсолютно сходящихся рядов).
Показать, что в Е существуют два непересекающихся всюду плотных выпуклых множества А, В таких, что А[]В = Е. [Заметив, что Е содержит всюду плотное свободное семейство (ея), воспользоваться упражнениями 3 и 4.] Показать, что каждое из множеств А, В порождает (алгебраически) Е. 20) Показать,что в топологическом векторном пространстве граница каждого выпуклого множества, содержащего внутреннюю точку, нигде не плотна. [Воспользоваться предложением 15.] 21) Пусть А — замкнутое выпуклое множество в отделимом топо- логическом векторном пространстве Е, обладающее внутренней точкой, и Н вЂ” проходящая через нес зьмкнутая гиперплоскость. Показать, что пересечение гиперплоскости Н с границей Е множества А нигде не ВЫПУКЛЫЕ. МНОЖЕСТВА плотно в Р. (1(оказательство того, что в каждой окрестности точки множества ОДР содержится точка из Р, ие принадлежащая г(, свестм к случаю двумерного Е.) *22) Пусть А — связное замкнутое множество в отделимом топо- логическом векторном пространстве Е, обладающее следующим своиством: каждое л б А имеет замкнутую окрестность И такую, что )гДА выпукдо.
Показать, что А выпукло. Для этого установить последовательно следующие свойства: а) Показать, что любые две точки иэ А могут быть соединены ломаной, содержащейся в А. (Использовать то, что множество точек из А, соединимых с точкой а я А ломаной, содержащейся в А, открытгь и замкнуто в А.) б) Показать, что если две точки из А соединимы и-звеиной ломаной, содержащейся в А (и ) 1), то они соедииимы также (и — 1)-звенной ломаной, содержащейся в А. (Иидукцией по и свести к случаю и = 2, что позволит считать Е = Вт; пусть тогда Т вЂ” треугольник с вершинами а, Ь, с, стороны которого ас и Ьс, включая концы, содержатся в А, а аЬ вЂ” нет; рассмотреть точку прикосновения пересечения множества СА с внутренностью треугольника Т, наиболес удаленную от прямой, проходящей через а и Ь, и показать, что существование такой точки противоречит предположению.) "23) а) Пусть Š— отделимое топологическое векторное пространство,  — непустое замкнутое выпуклое множество в Е, Х вЂ” непустое компактное множество в Е.
Показать, что если А — множество в Е дтя которого А+Х~ В+Х, то А с: В. (Для а я А рассмотреть последовательность (лв) точек из Х, рекурреятно определяемую соотношениями а+ ля = Ьв+ хиьо где Ьв П В.) Вывестн отсюда, что если А и  — два непустых замкнутых выпуклых множества в Е и Х вЂ” не- пустое компактное множество в Е, то иэ А+Х=В+Х следует А = В.
б) Пусть Š— нормированное пространство и э — расстояние, определенное в множестве т (Е) всех непустых замкнутых подмножеств пространства Е как указано в упражнении 7 из Общ. топ., гл. 1Х, ф 2(э). Показать, что для любых трех испустых компактных выпуклых множеств А, В, С в Е имеет место равенство э (А+ С, В+ С) = а(А, В) (Принять во внимание, что А+ Ях и В+ Ем где Вэ — замкнутый шар 11 к ~1 ( А, — замкиутыс выпуклые множества, и использовать а).) в) Вывести из а) и б), что множество Я(Е) всех непустых компактных выпуклых множеств в нормированном пространстве, снабженное расстоянием а, можно отождествить с конусом в нормированном пространстве, сложение и умножение на скаляры в котором индуцируют в й (Е) операции (А, В)-ь А+ В и (А, А)- ° ЛА. ЗО гл. и, а г локАльно Выпуклые пРОстРАнствА $2.
Локально выпуклые пространства 1. Определение локально выпуклого пространспгва Опгедвление 1. Топологию Я' в векторном пространстве Е мад К называют локально выпуклой, если она согласуется со структурой векторного пространства в Е и обладает фундаментальной системой окрестностей нуля, образованной из выпуклых множеств. Векторное пространство над Й, наделенное локально выпуклой .топологией, называется вещесгпвенным локально выпуклым топо- логическим векторным пространством (или просто вещественным локально выпуклым пространством, нлн локально выпуклым пространством, если это не может породить недоразумений). Топологнческнс векторные пространства над Я, рассматриваемые дальше в этой книге, в своем большинстве будут локально выпуклы.
Пусть !' — выпуклая окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е; тогда у' П ( — Ъ') — симметричная выпуклая окрестность нуля. Таким образом, в силу аксиомы (Ош) (Обш. топ., гл. 1, 2 б, и' 7), замкнутые симметричные выпуклые окрестности нуля образуют в Е фундаментальную систему окрестностей нуля, инвариантную относительно всех гомотетий с коэффициентами ) О и центром О. Обратно, пусть Š— векторное пространство над 11 и Я вЂ” базис фильтра, образованный симметричными выпуклыми поглощающими множествами из Е. Так как, очевидно, каждое симметричное выпуклое множество уравновешенно, то множество АЗ образов множеств из Я прн всевозможных гомотетиях с коэффициентами ) О н центром О есть базис фильтра в Е, удовлетворяющий условиям (ЕЧг) и (ЕЧп) гл.
1, $1, и' 3; он удовлетворяет и условию (ЕЧш), ибо для каждого множества Ъ' ~ Я имеем — $/+ — )г = Ъ'. 1 1 2 2 Следовательно, базис фильтра 6 есть фундаментальная система окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии Я' 1 в Е. Заметим, впрочем, что и множества — )г, где Ч' пробегает и Я, а п — множество всех целых чисел ) О, образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для е.
Для отделимости топологии й необходимо и достаточно, чтобы для каждого х ныл из Е существовали целое и и множество Ч ~ 15 такие, что пх$ Ч'. Если, ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81 кроме того, Я счетно, то й — метризуемая локально выпуклая топо- логия. Примеры.
1) Пространство )(ч локально выпукло, поскольку открытые кубы с центром О выпуклы (ф 1, прелложсние 6). 2) Нормированное пространство локально выпукло, поскольку шары с центром О образуют фундаментальную систему выпуклых окрестностей нуля, 3) Пусть Š— произвольное векторное пространство иад )1 и 5— множество всех поглощающих симметричных выпуклых множеств из Е. 8 склу сказанного выше, 5 есть фундаментальная система окрестностей нуля для локально выпуклой топологии В являющейся, очевидно, сильней~лей из локально выпуклых топологий в Е. Эта топология отделима. Действительно, пусть х — любая ненулевая точка из Е; Е обладает базисом (е,), содержащим х в качестве одного из своих элементов, скажем е„ множество всех у = ~г у,е„ для которых )у„((1, есть поглощающее симметричное выпуклое множество, не содержащее л.
Если Е конечномерно, то В', очевидно, совпадает с единственной отделимой топологией, согласующейся со структурой векторного пространства в Е (гл. 1, в 2, теорема 2); это показывает, что каждое поглощающее выпуклое множество в Е солержит внутреннюю точку (см.
й 1, упражнение О). 4) Пусть Х вЂ” отделимое топологическое пространство, Е = С в (Х)— пространство всех непрерывных числовых функций на Х, наделенное топологией компактнок сходимости (гл. 1, 5 1, п' 1, пример 4). Пространство Е локально выпукло. Действительно, пусть гт" — компактное множество из Е н г — число О; множество всех функций и й Е, лля которых ! и(х)! ( г, каково бы ни было х с Н, очевидно, выпукло. Ясно, что каждое векторное подпространство М локально выпуклого пространства Е локально выпукло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
