Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 17
Текст из файла (страница 17)
То же верно и для факторпрострвнства Е)М. Действительно, пусть Π†каноническ отображение Е на Е(М. Для каждой выпуклой окрестности нуля (у из Е, ф ((У) есть выпуклая окрестность нуля в Е(М ($ !. предло.жение 2) и множества ф (()) образуют в Е/М фундаментальную т 'систему окрестностей нуля. Пополнение Е отделимого локально выпуклого пространства Е локально выпукло. Действительно, замыкания в Е множеств, составляющих фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, обраауют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, а замыкание выпуклого множества выпукло (2 1.
предложение 14). 82 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. Ц, а г Вещественным пространством Фреще мы называем полное метризуемое локально выпуклое пространство. Таким образом, каждое вешественное банаховское пространство есть пространство Фреше. 3. Два метода введения локалько выпуклой топологии Пусть Š— векторное пространство над 1с, (Е,) — семейство ' 'е! локально выпуклых пространств и 1'„для каждого ь, — линейное отображение Е в Е,. Как мы знаем (гл.
1, й 1, и'9). топология Яв в Е, определенная как слабейшая из топологий, при которых непрерывны все функции 1„ согласуется со структурой векторного пространства в Е; кроме того, она локально выпукла, ибо фильтр окрестностей — 1 нуля для йв порождается множествами вида 1,(\г,), где $г„для каждого !~1, пробегает фундаментальную систему окрестностей нуля в Е„которые можно предполагать здесь выпуклыми. В частности, каждое произведение локально выпуклых пространств локально выпукло. Точно так же верхняя грань семейства локально выпуклых топологий в векторном пространстве Е есть локально выпуклая топология.
Топологию, инлуцируемую топологией локально выпуклого пространства Е в его векторном подпрострвнстве Р, можно также рассматривать как слабейшую из топологий, при которых непрерывно каноническое отображение Р в Е. Пусть теперь Š— векторное пространство над 1с, 1Е,) ел в семейство товологических векторных пространств над Й и е„ для каждого а~ А — линейное отображение Е, в Е.
Рассмотрим множество Ф локально выпуклых топологий в Е, при которых каледин из функций л„непрерывна. Множество Ф не пусто, поскольку содержит слабейшую топологию в Е. Пусть Ю' — верхняя грань множества Ф. Каждая из функций л„остается непрерывной и при наделении Е топологией тг. Действительно, каждая окрестность нуля для Е содержит множество вида П Ъ'г, где Ь; — окрестность нуля для ! ь. ! ~ и некоторой топологии йг~Ф (1.~1(п); так как каждое из мно— 1 жеста е„(Ъ'!) есть окрестность нуля в Ею то зто верно и для их -! --- '(Й~) -" 2 локально выпкклые поостолнствл 83 ние.
Таким образом, топология У принадлежит ф; иными словами, это — сильнейшая из локально выпуклых топологий в Е, при которых непрерывны все и,. Пеедложвнив 1. Пусть Ж вЂ” сильнейшая из локально. выпуклых топологий в векторном пространстве Е, при которых непрерывны линейные отображения у„топологических векторных пространств Р, в Е. Множество 6 всех поглощающих уравно— ! вешенных выпуклых множеств У из Е таких, что д„($') есть окрестность нуля в Еч для каждого и, является фундаментальной системой окрестностей нуля для й.
Лействительио, 6 есть базис фильтра, инвариантный относительно всех гомотетий с коэффипиентами ) О и центром О; следовательно (п' 1), 6 является фундаментальной системой окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии У в Е. По определению топологии ь!, каждая уравновешенная выпуклая окрестность нуля для Я' принадлежит 6, так что о мажорируется топологией У'; с другой стороны, так как каждая из функций и„, очевидно, непрерывна в топологии а', то У' мажорируется топологией Ю, чем доказательство и завершается.
Следствие. Пусть И вЂ” линейное отображение пространства Е в локально выпуклое пространство О. Для того чтобы И было непрерывно на Е, наделенном топологией а, необходимо и достаточно, чтобы Иьа; было непрерывно на Г„для каждого индекса и. Необходимость условия очевидна. Обратно, если это условие выполнено и 1Р' — произвольная уравновешенная выпуклая окрестность -!,'-! нуля в О, то Е,~,И(%')) для каждого индекса а есть окрестность — ! нуля в Р;, так как И (Ф') — поглощающее уравновешенное выпук-! лое множество, то заключаем, что И (Ю) есть окрестность нуля для У. Следовательно, отображение И непрерывно. Фвктортопологня в Векторном факторпространстве Е)М локально выпуклого пространства Е по векторному надпространству М есть сильнейшая локально выпуклая топология, прн которой непрерывно каноническое отображение т пространства Е на Е1М.
84 гл. п,аг ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА З. Топологическак прямая сумма семейства локально вьгпуклых пространств Пгедложвнив 2. Пусть Š— локально выпуклое пространство, являющееся топологической прямой суммой (гл. 1, ф 1, п' 8) конечного семейства (Мг),к,.<„его векторных надпространств, и Л(1 (1( и) — их канонические отображения е Е. Топология ьт пространства Е есть сильнейшая локально выпуклая топология, при которой есе 7ь непрерывны.
Пусть Х' — зта последняя топология. Достаточно показать, что всякая выпуклая окрестность нуля ьг для о' есть окрестность нуля для Т. НО (Г П М; для каждого индекса г есть окрестность нуля в М;, следовательно. ~,'г (Г П Мь) есть окрестность нуля для д . С друг=1 1 гой стороны, будучи выпуклым, У содержит — ~г (1'П Мг). и, Предложением 2 оправдывается введение следующего определения. Опгвделвние 2. Пусть (Г,) е, — семейство локально выпуклых пространств, Š— прямая сумма векторных пространств (Р,) ~, (Алг., гл. П, ф 1, и' 7) и ~„для каждого ~~7,— каноническое отображение р, е Е. Топологической прямой суммой семейстеа (Г,) называется пространство Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой есе 7, непрерывны (а эта топология называется прямой суммой топологий пространств р,).
Пусть ® — любое разбиение множества 7 и Оы для каждого )., — топологическая прямая сумма семейства \Е,) . Из следствия ' йэг' предложения 1, примененного к тождественному отображению Е на себя, сразу вытекает, что Е является также топологической прямой суммой семейстаз (Оь) А Индуктивные пределы локально выпуклых топологий Пусть Š— векторное пространство над К, (Е„) л — семейство.
его векторных подпространств и Я'„, для каждого индекса а, — топология, согласующаяся со структурой векторного пространства в Е„. Пусть Р„ †каноническ отображение Е„ в Е и о †сильнейш 4 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ !ЩОСТРАНСТВА 85 локально выпуклая топология в Е, при которой непрерывны линейные отображения р,. В силу предложения 1, симметричные выпуклые поглощающие множества У такие, что УПЕ„для каждого а1-А есть окрестность нуля для Ую образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для аг. Если Е порожлается объелинением всех Е„, то фундаментальную систему окрестностей нуля для й можно получить также рассматривая все семейства (У«)„бл, где У„ дла каждого « б А, — пРоизвольнаЯ симметричная окрестность нуля для 3 „, и образуя для каждого такого семейства выпуклую оболочку его объединения. Действительно, в силу предположения, зта выпуклая оболочка есть поглощающее множество, и, содержа все У„, она является окрестностью нуля для в.
С другой стороны, ясно, что каждая симметричная выпуклая окрестность нуля У для Л солержит выпуклую оболочку всех УПЕ„. Заметим, что если все Е„= Е и топологии В; локально выпуклы, то топология 3 есть не что иное, как нижняя «рань семейства (й„) в множестве всех локально выпуклых топологий в Е. Для того чтобы линейное отображение й пространства Е в локально выпуклое пространство 0 было непрерывно в топологии Х, необходимо и достаточно, чтобы его сужение на Е, было непрерывно в топологии аг„для каждого а (следствие предложения 1). 3 а меч ание. Пусть (Рх) бд — второе семейство векторных под« пространств пространства Е и ~, лля каждого ХА Е, — топология в Рю согласующаяся со структурой векторного пространства. Прелположим, что для каждого 1 й Е существует «б А такое, что Р1 ~ Е„н Хх мажорирует топологию, нндуцируемую в Р„топологией й„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
