Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Предположим противное. Пусть С = Ц ) — выпуклый конус ~>о с вершиной О, порожденный множеством В (э 1, предложение 12); С вЂ” затупленный конус, открытый в Е. Мы получим противоречие, если докажем, что в Е существует элемент х т'= 0 такой, что прямая, проходящая через 0 и х, не пересекается с С, для чего достаточно, чтобы х(С и — х(С. Пусть Π— (открытое) дополнение к 0 в Р. Так как Е имеет размерность )~2, то О связно: действительно, любые две точки у и г иа О содержатся в двумерном векторном подпространстве Р пространства Е, и так как Р изоморфно )сг, то РПО связно (Общ.
топ., гл. т1, 9 2, предложение 5). Конус С не пуст и не совпадает с О, ибо из С=О вытекало бы, что О~С. Следовательно, существует точка х, граничная для С относительно 0 'и такая, что х~С. Так как х~О, то х Ф 0; если бы — хЕС, то в силу предложения 15 9 1 мы имели бы О~С. Таким образом, — х$С, чем доказательство теоремы 1 и завершено. Замечание. Если О~сМ, то теорему 1 можно также сформулировать следующим образом: на Е существует непрерывная линейная форма 1 такая, что У(х)=0 на М и г'(х) ) 0 на А (см, $1, предложение.
4). гл. и, а в 94 локально выпгклыв пвостпднствл 2. Отделение выпунлых множеств в нгопологкческих векнгорных пространствах Опггдглгниг 1. Говорят, что замкнутая гиперплоскость Н в топологическом векторном пространстве Е над К отделяет непустые множества А и В, если А содержится в одном из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н, а  — в другом. Опггдвление 2. Говорят, что замкнутая гиперплоскость Н в топологическом векторном пространстве Е над (х строго отделяет непустые .множества А и В, если А содержится в одном из открытых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н.
а  — в другом. Пгндложгнив 1. Пусть А — непустое открытое выпуклое множество в топологическом пространстве Е над )х и  — не- пустое выпуклое множество в Е, не пересекающееся с А, Тогда в Е существует замкнутая гиперплоскость Н, отделяющая А и В. Действительно, С= А — В есть непустое открытое выпуклое (9 1, предложение 7) множество и 0 (С. Следовательно, в силу теоремы 1 иа Е существует непрерывная линейная форма 7 такая, что 7(г) ) О для всех г~С, так что г(х)) г(у) для кажлого х~А и каждого у~В. Положим а=!п(У(х); а конечно, У(х))~а для каждого х~А ибд и г(у) (а для каждого у~В.
Тем самым множества А и В отделяются замкнутой гиперплоскостью Н, заданной уравнением 7(г) =а. За меч анна. 1) Гиперплоскость Н не пересекается с А (й 1 предложение 16); тем самым два непустых открытых выпуклых множества, не имеющих общих точек, строго отделяются некоторой замкнутой гиперпхоскостью. 2) Напротив, если  — не открытое, то замкнутой гнперплоскостн, строго отделяющей множества А н В, может не существовать, лаже если Е конечномерно и множества л н' В не пересекаются (упражнение 5). Опгеделеннв 3. Опорной гилерплоскостью множества А в веке торном пространстве Е над (х называется гиперплоскость Н, содержащая по крайней мере одну точку из А и такая, что все точки из А находятся по одну сторону от Н. 95 отдслвнив выптклых множиств Пусть У вЂ” ненулевая линейная форма на Е; сказать, что гиперплоскость, заданная уравнением у(х) = а, есть опорная гиперплоскость множества А, все равно, что сказать, что а есть наименьший или наибольший элемент множества )'(А)г:й.
Иными словами, для того чтобы множество А обладало опорной гиперплоскостью, параллельной гиперплоскости, заданной уравнением 1'(х) = О, необходимо и достаточно, чтобы верхняя или нижняя грань множества У(А) была конечной и принадлежала г(А). ПРедлОжение 2. Пусть Š— топологпческое векторное пространство над (с и А — непустое компактное множество в Е. Для каждой замкнутой гиперплоскости Н в Е существует опорная гиперплоскость множества А, параллельная Н. Действительно, пусть у(х) = Т вЂ” уравнение гиперплоскости Н. Так как 1 — непрерывная линейная форма на Е, то ее сужение на А непрерывно, а потому ограниченно и принимает на А наибольшее и наименьшее значения (Общ.
топ., гл. 1Ч, 9 6, теорема 1). Это доказательство показывает, что А обладает одной нлн двумя опорнымн гнперплоскостяни, параллельными Н, причем первый случай имеет место лишь когда А целиком содержится в некоторой гнперплоскости, параллельной Н. Опгеделвнив 4. Выпуклым телом в топологическом векторном пространстве над Й называется замкнутое выпуклое множество, обладающее по крайней мере одной внутренней точкой.
Пгедложвнив 3. Пусть А — выпуклое тело в топологическом векторном пространстве Е над й. Каждая опорная гиперплоскость множества А замкнута и через каждую его граничную точку проходит по крайней мере одна опорная гиперплоскость. То, что каждая опорная гиперплоскость множества А замкнута, вытекает из того, что все точки из А находятся по одну сторону от такой гиперплоскости (9 1, предложение 16).
С другой стороны, граничная точка хь множества А не принадлежит непустому открытому выпуклому множеству А; поэтому, в силу теоремы 1, существует гиперплоскость Н, проходящая через хь и не пересекающая А. Так как А есть замыкание множества А (9 1, следствие 1 предложения 15), 96 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫВ ПРОСТРАНСТВА Гл. П,аз то из предложения 16 5 1 следует, что Н служит опорной гиперплоскостью для А. Слвдствия. Каждое выпуклое тело А в топологическом векторно.н пространстве Е над )ч есть пересечение содержащих его замкнутых полупространсте, определяемых опорными гиверплоскост я ми этого т ела. Действительно, пусть х — точка, не принадлежащая телу А, и у — его внутренняя точка. А пересекается с замкнутым отрезком, соединяющим х и у, по замкнутому отрезку с концами у и х ~ х, где х — граничная точка для А, так что х чь у.
Пусть Н вЂ” опорная гиперплоскость тела А, проходящая через х; в силу предложения 16 ф 1 то из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н, которое содержит А, не содержит х. 3. Отделение выпуклых множеств в локально выпуклом просгпрансгпве Пгвдложенив 4. Пусть Š— локально выпуклое пространство, А — непустое замкнутое выауклое множество в Е и К вЂ” компактное выиуклое множество е Е, не пересекающееся с А.
Тогда существует замкнутая гиперплоскость Н, строго отделяющая А и К. Действительно, в Е существует открытая выпуклая окрестность нуля У такая, что множества А+Ъ' и К-+У не пересекаются (Общ. топ., гл. П, ф 4, предложение 1). Так как А+Ъ' и К+1г открыты и выпуклы в Е, то предложение 1 показывает, что существует замкнутая гиперплоскость Н, строго отделяющая А+У и К+1г и тем более А и К. 3 а м е ч а н н е. Пусть А и  — непустые замкнутые выпуклые множества без общих точек в отделимом локально выпуклом пространстве Е. Если Е конечномерно, то з Е существует замкнутая гнперплоскостьь отделяющая этн множества (упражнение 8); но если Е бесконечномерно, то такое заключение уже необязательно справедливо (упражненне 7).
Слвдствив 1. В локально выпуклом пространстве каждое замкнутое выпуклое множество А есть пересечение содержащих его замкнутых полупространств. 97 ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ Действительно, в силу предложения 4, для каждой точки х~А существует замкнутая гиперплоскость, строго отделяющая х и А. Следствие 2. В отделимом локально выпуклом пространстве каждое компактное выпуклое множество А есть пересечение содержащих его замкнутых полупространств, определяемых опорными гиперплоскостями к А. Действительно, пусть х ( А; так как множество 1х) замкнуто, то существует замкнутая гиперплоскость Н, строго отделяющая х и А (предложение 4); пусть г (х) = а — ее уравнение (г' — непрерывная линейная форма) и г (х) ) а для всех х ~ А.
Положим у = 1п1 г" (х). мбл Полупространство, заданное неравенством г'(х) м (, содержит А, определяется опорной гиперплоскостью,заданной уравнением г"(х) = т, и не содержит х. В локально выпуклом пространстве некомпактное замкнутое выпуклое множество, не имеющее внутренних точек, может не обладать никакой замкнутой опорной гнперплоскосгью (гл. Ч, 5 2, упражнение 11; см. также гл. 1Ч, б 5, упражнение Зб).
Следствие 3. Каждое замкнутое линейное многообразие М в локально выпуклом пространстве есть пересечение содержащих его замкнутых гиперплоскостей. Действительно, пусть Н для каждого х(М вЂ” замкнутая гиперплоскость, строго отделяющая х и М, так что М параллельно Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
