Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Показать, что Гэ(А) есть выпуклое множество, содержащее А, что Гэ(Га(А) ) = = Га(А) и что Го(А) содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества А. [Использовать предложение 4 6 3.] б) ПуСтЬ (Х,),сг — СЕМЕйетВО ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ А И (1,),~Т вЂ” СЕМЕЙ- ство вещественных чисел > 0 такое, что ~~»', Х, 1 и (1,х,) — сум- еет ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл. Н,вз мируемое семейство в Е. Показать, что сумма з этого семейства принадлежит 1а(А). (Опираясь иа а), свести к тому случаю, когда Е конечномерио и совпадает с линейным многообразием, порожденным элементами А,хб рассужлать далее от противного, рассматривая для каждого конечного множества з" индексов из т замкнутую гинерплоскость Ню проходящую через х и ие пересекающуюся с выпуклой оболочкой точек х, с индексами ~ЕУ, и используя затем компактность единичной сферы в конечномерном пространстве.1 в) Показать, что если А компактно, то Га(А) совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой.
(Использовать упражнение 2.1 г) Показать, что если А — множество всех экстремальных точек компактного выпуклого множества К~Е, то К= Гэ(А). (Использовать упражнения 9 и 17.1 д) Пусть А, в обозначениях упражнения 3, — множество, образованное элементами га, где х пробегает все рациональные числа отрезка 10, 11. Показать, что Гэ(А)отлично как от выпуклой оболочки множества А, так и от его замкнутой выпуклой оболочки.
*19) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, 5 в замкнутое выпуклое множество в Е, А — подмножество в 5 такое, что (в обозначениях упражнения 18) 5 = Гэ(А), и 5а — выпуклая ободочка множества А (так что 5 = 5а). Пусть, далее, Аà — замкнутое выпуклое множество в Е, содержащее замкнутое линейное многообразие конечной факторразмерности, М = 5ПФ и Мэ = 5эПМ.
а) Показать, что М = Мэ. (Используя упражнение 18а, припять во внимание, что каждое замкнутое линейное многообразие конечной факторразмерности в Е, проходящее через точку х б М, пересекается с Мэ, и воспользоваться предложением 4 б 3.1 б) Предположим, что каково бы ни было конечное подмножество Е множества А, пересечение грани (в 5) любой точки выпуклой оболочки множества Р с АГ компактно или конечиомерио и не содержит никакой прямой.
Показать, что тогда М есть замкнутая выпуклая оболочка множества всех своих экстремальных точек. [Опираясь на а), свестм к доказательству того, что каждая точка нз Ма содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества всех экстремальных точек множества М. Использовать упражнение 4г, теорему Крейна и А(ильманв и упражнение 9.1 Вывести отсюда, что каждая замкнутая опорнав гиперплоскость множества М содержит его зкстремальную точку. ф б. Полунормы г.
Определенае выпуклой йэункцаа Пусть Н вЂ” подмножество множества Е, у — конечная числовая функция, определенная ив Н, и Π— ее графин в произведении Е)с', Гс, образованный точками М =(х, у'(х)), где х пробегает Н. Обобщая г полуновмы 115 определения, данные для функций вещественного переменного (Функц. вещ. иерем., гл. 1, $4), мы будем говорить, что точка (а, Ь)~ Е Х (с находится над (соотв. строго над, под, строго под) О, если а~Н и Ь' У(а) (соотв.
Ь)У(а). Ь (~(а), Ь(1(а)). Опгвделенне 1. Пусть Н вЂ” выпуклое множество в аффинном пространстве Е над К. Говорят, что конечная числовая функция У, определенная на Н, выпукла (соотв. строго выпукла) на Н, если, каковы бы ни были точки х и х' из Н, все точки открытого отрезка с концами М и М ° находятся над (соотв. строго над) графикам функции У. Иначе говоря, условием выпуклости (соотв. строгой выпуклости) функции у на Н является выполнение неравенства .У(Лх+(1 — Л) х') < ЛУ(х)+(1 — Л)У(х') (1) (соотв. У(Лх-+(1 — Л) х') ( ЛГ(х)+(1 — Л)г (х') ) (2) для каждой пары различных точек х и х' из Н и каждого ), такого, что О (Л(1. В силу определения 1, для выпуклости (соотв. строгой выпуклости) функции у на Н необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни была прямая Р~Е, сужение г на Н() Р было выпуклой (соотв.
строго выпуклой) функцией на Н() Р. Если 1-ьа(+Ь, где с пробегает й, — параметрическое представление прямой Р, и У вЂ” выпуклое множество в Й, отвечающее при этом параметрическом представлении множеству НП Р, то можно также сказать, что функция(-ьУ(аг+Ь) должна быть выпуклой (соотв. строго выпуклой) на Е Для выпуклости функции У на выпуклом множестве Н~Е необходимо и достаточно, чтобы множество точек из Е Х й, лежащих над графиком функции г, было выпукло (причем здесь можно слово ,над" заменить нз „строго над"). Это вытекает из соответствующего предложения для функций вещественного переменного (Функц.
вещ перем., гл. 1, й 4, п' 1). Пеадложение 1. Пусть у — выпуклая (соотв. строго выпуклая) функция на выпуклом множестве Н<" Е. Для каждого конечного семейства р)~ 2 различных точек (х;),<си из Н и 116 гл. и, в в лОкАльнО Выпуклые пРОстРАнствА каждого семейства р вещественных чисел (Л;), . таких, что 1 ьКЗКр р О (Л; ( 1 (1 (1( р) и ~~'„,Лг= 1, имеет место неравенство Ф=! (3) (соотв. у'~ ~, Л;хг 1 (,~~ )ч у (хг) ). (4) Это предложение доказывается индукцией по р, с использованием п редло же ни я 1 $ 1. Иными словами, образ центра тяжести точек х;, снабженных массами Л; ) О, при отображении х -+(х, г'(х)) лежит под (соотв.
строго под) центром тяжести точек (хо у(хг)), снабженных теми же массами. Предоставляем читателю самому проверить, что предложения 2, 3 и 4 из Функц. вещ, перем., гл. 1, й 4 (") сохраняют силу и для выпуклых функций, определенных на выпуклом множестве в произвольном векторном пространстве над К. Говорят еще, что функция /, определенная на выпуклом множестве н~е н принимающая значения из интервала ) — со, + со) расширенной прямой К, выпукла (соотв. стра~о выпукла) на Н, если неравенство (1) (соотв. (2)) удовлетворяется для любой пары различных точек х и х' из Н и каждого Л такого, что 0(Л(1. К таким функциям применимо без всякого изменения все сказанное выше, за исключением связанного с графиками.
2. Непрерывность выпуклых ййункг)пп Првдложение 2. Пусть Š— топологическое векторное пространство над К, Н вЂ” непустое открытое выпуклое множество в Е и у — (конечная) выпуклая функция, заданная на Н. Для того чтобы у была непрерывна на Н, необходимо и достаточно, чтобы существовало непустое открытое множество (Ус= Н, на котором Г ограниченна сверху. Необходимость условия очевидна. 1(окажем его достаточность. Пусть у ограниченна сверху в некоторой окрестности И точки хе~ Н. Покажем пРежде всего, что У' непРеРывна в точке хе. ПУтем надле- полкновмы 117 жащих переносов можно свести рассмотрение к тому случаю, когда хе= О и 1(хв) = О; кроме того, окрестность ьг можно предполагать уравновешенной.
Пусть 1(х) ( а для всех х ~ )г. Заметим, что если х х к~в(г, где О ( в (1, то — ~Ъ' и — — 1-Ъ'. Но тогда неравенство (1), 6 Е х примененное к точкам О и — и числу Л = е, показывает, что е гхт х у(х) ( е,((-) ( еа, а примененное к точкам х и — — и числу 1 хт Л= „— что г'(х) )~ — е(~ — — ) )~ — еа. Тем самым наше 1+е е утверждение доказано. Пусть теперь у — произвольная точка из Н Тогда существует число е ) ! такое, что точка х= ру еще принад- лежит Н. Пусть К вЂ” гомотетия х-~Лх+(! — Л)я с центром г и 1 коэффициентом Л = 1 — —, переводящая О в у.
В силу формулы (1), Р для любой точки я(х) ~у(Ъ') имеем 1(д(х) ) < Л.у(х)+(1 — Л) „((е)< <Ла+ (1 — Л) !'(в). Первая часть доказательства показывает тогда, что у непрерывна в точке у, и предложение доказано, Следствие !. Каждая (конечная) выпуклая функция г, полу- непрерывная сверху на Н, непрерывна на Н. Действительно, любая точка хе~ Н обладает окрестностью, на которой Г" ограниченна сверху.
Следствие 2. Каждая (конечная) выпуклая функция г, определенная на непустом открытом выпуклом множестве Н в (с", непрерывна на Н. Можно считать, что О~ Н. Пусть К вЂ” замкнутый куб с центром О и ребром 2а, содержащийся в Н, и У вЂ” открытый куб, определяемый неравенствами О < с; < — (1 (! (и). Каждая точка хц У принадп лежит выпуклой оболочке нулевого вектора н п векторов аен где е; (1 ( ( ( и) и векторов канонического базиса в Й"; действительно, х можно представить в виде 4=1 118 ГЛ.
П, Е 5 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСГРАНСТВА Но тогда из неравенства (3) следует, что з (х) ( )у'(0) (+ ~~'„(/(яег) ~ для всех х ~ (,г. откуда, в силу предложения 2, и вытекает непрерывность у(х) на П. На бесконечиомерном локально выпуклом пространстве вообще существуют не непрерыакые линейные формы (гл. Л, б б, упражнение За), а следовательно, н выпуклые функция, яе непрерывные ни а какой точке. 3. Полунорлевг Опгеделение 2.
Конечную числовую функцию р, определенную на векгпорном пространстве Е над Рс, называют полунормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам: (ЗХг) р(Лх) =!Л(р(х) для всех х~Е и Л~й; (БХИ) р(х+у) (р(х)+р(у) для всех х и у~Е. Из этих аксиом вытекает, что р(0) =0 и р(х) )~ 0 для всех х~ Е, поскольку 0 = р(0) ( р(х)+ р( — х) = 2р(х). Кроме того, имеет место неравенство Заметим, что последнее рассуждение применимо, более общим образом, ко всякой функции на Е со значениями из 1 — со, +ОО1. которая полохсительно однородна. т.
е. такова, что р(Лх) =Лр(х) для каждого конечного Л) О, и удовлетворяет аксиоме (8Хп). 1) Норма р на Е есть полуяорма, дая которой х = О (гл. 1, Е 1, и' 2). х-ь~/(х)1 есть полунорма для любой линейной Примеры Р (х) = О влечет 2) Функция формы з на Е. Пусть Š— топологическое векторное про- ПРедложение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
