Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 27
Текст из файла (страница 27)
топ., гл. 1Х, й 1, и' 6). Мы видим, таким обра.зом, что Г есть множество полунорм, определяющих топологию пространства Е. .5. Понунормьь в фангпорпросгпранегпвах и проазведенпнх проспера невы Пусть Š— локально выпуклое пространство, топология которого :задана множеством Г полунорм. Сужения этих полунорм на векторное подпространство М пространства Е, очевидно, задают в М топологию, индуцируемую из Е. Пусть ~Р— каноническое отображение пространства Е на фактортгространство Е/М. Пусть, далее, (/ †симметричн выпуклая открывая окрестность нуля в Е и р — ее калибровочная функция, так что (/ совпадает с множеством тех х~Е, для которых р(х) с.' 1.
Лля каждого а~Е/М множество чисел р > О таких, что з~ рР((/)= =э(р(/), совпадает с множеством чисел р ) О таких, что суще:ствует х ~ Е, для которого х ~ р(/ и о (х) = г. Отсюда следует (формула (б)), что калибровочная функция р множества у (1/) задается формулой р(л) = 1п1 р (х) т (х1= а Таким образом, если множество à — фильтрующееся (и' 4, замечание), то топология факторпространства Е/М задается множеством полунорм р, где р пробегает Г. Рассмотрим, в частности, локально выпуклое пространство Е, топология которого задана одной вголько полунормой р. Лля того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы р было нормой (предложение 5).
Если р — не норма, то замыканием /У -г точки О в Е служит векторное подпространство р(О); ассоциированное отделимое пространство Е//У есть тогда нормированное пространство, определяемое нормой р, соответствующей полунорме р; здесь р(х)=р(х) для каждого х, принадлежащего классу х по модулю /У.
Гл. и, $ 3 124 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть Š— векторное пространство над Гч. (Е,) — семейство локально выпуклых пространств и г', для каждого 1~у — линейное отображение Е в Е,. Рассмотрим слабейшую локально выпуклую топологию Юь в Е, при которой все функции у', непрерывны (а 2, и' 2). Из определения окрестностей нуля для топологии йь (там же) сразу видно, что если Г, для каждого 1~7 — множество полунорм. определяющих топологию пространства Е„то топология йь определяется полунормамн р, ° 1„где 1 — произвольные индексы из У, а р, для каждого 1~( — любая полунорма из Г,. Пгвдложаниа 7.
Каждое отделимое локально выпуклое пространство изоморфно подпространству произведении банаховских пространств, Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, топология которого определяется семейством (р„) полунорм; 1тг„ дли -1 каждого и — надпространство р,(0) в Е; ń— пополнение фактор- пространства Е1Н„, наделенного топологией, определяемой нормой р„, соответствующей полунорме р„, и 1у„— каноническое отображение Е на Е!М,. Множество тех х~Е, для которых р„(х) (1, есть прообраз шара, определяемого в Е(д1„неравенством р„(с) (1, относительно отображения 1ь„.
Это показывает, что топология пространства Š— слабейшая, при которой непрерывны линейные отображения 1у„ пространства Е в пространства Е„, чем предложение и доказано,' поскольку Е отделимо (гл. 1, й 1, предложение 15). Наконец, пусть Š— векторное пространство нал й, (Е„)„ л— семейство его векторных надпространств, /„ для каждого индекса и †каноническ отображение Е„ в Е н й„ вЂ” локально выпуклая топология в Е„. Пусть à — множество всех полунорм р на Е, сужения которых на каждое Е, непрерывны в топологии АТ„. Тогда сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой непрерывны все у'„(й 2, и' 2), определяется множеством полунорм Г.
б. Полилинейные непрерывные отооразкеная произведения локально выпуклых пространств в локально выпуклое пространство Пгвдложания 8. Пусть Е; (1 (1 ( и) и Š— локально выпуклые пространства, Гь (1 (1 (и) и à — фильтруеи(иесн мно- е полуновмы 125 ж ство полунзрм, определяющие соответственно топологии пространств Е; и Р. Для того чтобы полилинейное отображение и произведения ИЕ; в Е было непрерывно, необходимо и г 1 достаточно, чтобы для каждой полунормы о ~Г существовали полунормы рг~Гг (1 (г (п) и число а) 0 такие, что о(и(хо хг, ..., х„)) (ар,(хг)рг(хг) ...
р„(х„) (8) для всех точек (хо хг, ..., х„)ЕДЕ, 1=1 Условие необходимо. Действительно, в силу предположения, для каждой полунормы о ~ Г и каждого числа р ) 0 существуют п чисел и; ) 0 и полунормы р; ~ Гг (1 (1( и) такие, что неравен- ства р;(х;) (и; (1 (г (и) влекут о(и(хо хг, ..., х„)) (р. Пусть тогда (х„хг, ..., х ) — произвольная точка из ИЕг и )ч для кажг га дога номера 1 — число ) О, удовлетворяющее неравенству )ч рг (хг) (ао Так как эти неравенства можно записать в виде рг (Лгхг) ( ( ао то д(и(Л,хн ).,х„..., Л„х„)) ( р, т.
е. юу(и(х,, хг, ..., х„)) ( Если теперь р; (х;) = 0 хотя бы для одного Л Л ... Л„ номера 1, то Л; можно взять произвольно большим, так что г)(и(хы хг, ..., х„))=0; если же все р;(х)+ О, то можно взять Л, = —" . В обоих случаях будет выполняться неравенство (8) р;(х;) ' са= агче... ае Обратно, если условие сформулированного предложения выпол- нено, то и, очевидно, непрерывно в точке (О, О, ..., 0), а значит, и всюду (гл.
1, $1, предложение 6). Следствие. Для того чтобы и было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для любой полунормы д~Г функиия а(и(х„хг, ..., х„)) была ограниченна на некоторой окрестности нуля в ИЕо 1=1 ' Необходимость условия очевидна, а из предыдущего доказательства видно, что выполнение этого условия влечет неравенство (8) и тем самым непрерывность и.
126 гл. и, ала лОкАльнО ВыпуКлые пРОстРАнстВА Отметим частный случай прелложения 8, относящийся к линейным отображениям. Пгвдложение 9. Пусть Е и Š— локально выпуклые пространства, Г и Г' — фильтрующиеся множества полунорм, определяющие соответственно топологии пространств Е и Е. Яля того чтобы линейное отображение и пространства Е в Е было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для каждой полунормы о~Г' существовали полунорма р~Г и число аРО' такие, что О(и(х)) (ар(х) (9) для всех х~Е. Следствия. Пусть а и Е' — две локально выпуклые топологии в векторном пространстве Е, а Г и Г' — определяющие их фильтрующиеся множества полунорм. Для того чтобы Ф' мажорировала Я', необходимо и достаточно, чтобы для каждой полу- нормы о~ Г' существовали полунорма р ~ Г и число а ) О такие„ что о(х) (ар(х) для всех х~Е.
Действительно, последнее означает, что тождественное отображение пространства Е, наделенного топологией а, на Е, наделенное: топологией Я', непрерывно. 7. Теорема Хана — Банаха (аналипшческая форма). ТеоеемА ! (Хан — Банах). Пусть р — полунорма на векторном пространстве Е над Гс, М вЂ” векторное подпространствгг в Е и / — линейная форма на М такая, что ~/(х)1 (р(х) для всех х~М. Тогда на Е существует линейная форма /, продолжающая / и такая, что )/(х) ! ( р(х) для всех х~ Е. Можно ограничиться случаем /~ О. Рассмотрим в Е локально выпуклую топологию, определяемую одной только полунормой р. Выпуклое множество А тех х. для которых р(х) (1, не пусто и открыто в Е.
Пусть И вЂ” гиперплоскость пространства М, заданнав уравнением /(х)=1. Это — линейное многообразие в Е, и так как во всех его точках р(х)) 1, то оно не пересекается с А. Теорема Хана — Банаха в ее геометрической форме (й 3, теорема 1) показывает, что в Е существует гиперплоскость Н, содержашая Ф и не пересекаюгпаяся с А.
Пусть / — линейная форма на Е такая, что 12Т полуновмы у(х)= 1 на Н, Так как на гнперплоскости Н надпространства М сужения У и 7 совпадают, то г'(х)=7(х) на всем М. Наконец, так как О принадлежит открытому полупространству, определяемому неравенством ~'(х) ( 1, то ято полупространство содержит А н, следовательно, 7(х) = 1 влечет р (х) ~~ !. В силу однородности функций 7 н р, тогда !)"(х)~ ( р (х) для всех х ~ Е, н теорема доказана.
Слвдствнв 1. Пусть Š— нормированное пространство над й, М вЂ” его векторное подпространство и У вЂ” непрерывная линейная форма на М. Тогда на Е существует непрерывная линейная форма 7, продолжающая !' и такая, что нормы (~Д и )(Д этих линейных форм (Обгц. топ.. гл. Х, й 2, п' 2) равны.
Достаточно применить теорему 1, примяв р(х)= (!У!!((х1), что даст (!) 1! ~ !)Д. Так как, с другой стороны. по определению. )Я = впр (7(х)), то, очевидно, )ф!) !(г'!!, и утверждение дока!з31 <г вано. Утверждение следствия 1 не распространяется на непрерывные линейные отображения нормированного пространства в произвольное нормированное пространство (см. гл. !Ч, б 5, упражнение бв и гл.
Ч, У 1, уяражнение 12). Слвдствив 2. Пусть Š— локально выпуклое пространство„ хе — точка в Е и р — непрерывная полунорма на Е. Тогда на Е' существует непрерывная линейная форма у такая, что1(х ) = р (хе1 и ! г (х) ! (р(х) на всем Е. Достаточно применить теорему 1 к векторному надпространству М, порожденному точкой хе, н определенной на М линейной форме йхь-ь)р(х,). Отметим, что при р(хе) Ф 0 гнперплоскость, заданная уравнением у(х) = р (хз), есть опорная гиперплоскость выпуклого тела, определенного неравенством р (х) (р (хз), проведенная через точку хы Упражнения. 1) Пусть Š— векторное пространство над !! и У вЂ” выпуклая функция, заданная на выпуклом подмножестве Н пространства Е. а) Показать, что если У в не постоянная, то она не может принимать свое наибольшее значение в окруженной точке множества Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
