Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Непосредственно ясно, что если х' есть множество полунорм, определенных на комплексном векторном пространстве Е, и ())— множество всех подмножеств пространства Е, определяемых неравенством вида р(х)(Л, где р~р и Л)0, то множество Я пересечений 'всевозможных конечных наборов множеств из 9 есть фундаментальная система закругленных выпуклых открытых окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии Я' в Е. а называется еще топологией, определяемой множествам Г полунорм. Каждая локально выпуклая топология в комплексном векторном пространстве Е может быть определена некоторым множеством полунорм, поскольку калибровочная функция закругленной выпуклой открытой окрестности нуля есть полунорма на Е.
Мы предоставляем читателю распространить на комплексные локально выпуклые пространства свойства полунорм. установленные в п'и' 4, 5 и 6 й 5 для полунорм на вещественных локально выпуклых пространствах, равно как и два метода введения локально выпуклой топологии, исследованные в и' и' 2, 3, 4 и 5 й 2. Комплексное локально выпуклое пространство называется пространством Фреше, если оно метризуемо и полно. 3. Теорема Хана — Банаха Из теоремы Хана — Банаха для вещественных топологических векторных пространств, в ее геометрической форме ($3, теорема !), непосредственно вытекает следующее предложение: Пгедложениг 1. Пусть Š— комплексное топологическое векторное пространстео, А — непустое выпуклое открытое множество е Е и М вЂ” комплексное линейное многообразие е Е, не пересекающееся с А. Тогда существует замкнутая комплексная гиперплоскость Н, содержащая М и не пересекающаяся с А. Можно ограничиться тем случаем, когда О ~ М.
Тогда существует замкнутая вещественная гиперплоскость, содержащая М и не пересекающаяся с А ($3, теорема 1). Так как М=(М, то замкнутая комплексная гиперплоскость Н = Нз П 1Н, и будет обладать требуемым свойством. 136 гл. и. в в ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следствие. В комплексном локально выпуклом пространстве Е каждое замкнутое комплексное линейное многообразие М есть пересечение содержащих его замкнутых комплексных гиперплоскостеи. Действительно, каждое х ( М обладает выпуклой открытой окрестностью У, не пересекающейся с М, и значит существует замкнутая комплексная гиперплоскость Н, содержащая М и не пересекающая У; тем более Н не содержит х, Аналитическая форма теоремы Хана — Банаха (9 5, теорема 1) также обобщается на комплексные топологические векторные пространства. Теогемь 1 (Хан — Баках).
Пусть р — полунорма на комплексном векторном пространстве Е, М вЂ” векторное надпространство в Е и г — (комплексная) линейная форма, определенная на М и такая, что ~у(х))(р(х) для всех точек из М. Тогда существует (комплексная) линейная форма )', на Е, продолжающая г' и такая, что ~ У,(х) ( (р(х) для всех точек из Е. Действительно, д = Яг' есть вещественная линейная форма, определенная на М н такая, что (Е(х)((р(х) для всех точек из М; следовательно, существует вещественная линейная форма иы определенная на Е, продолжающая в и такая, что )й,(х)! (р(х) на всем Е (9 5, теорема !).
Пусть у,(х) — комплексная линейная форма й,(х) — ги,(1х) на Е, имеющая и, своей вещественной частью. Для всех вещественных значений 6 имеем ~ Я (еввг' (х) ) ! = / Я (1, (еввх) ) ! = ! д, (еввх) ! ( р (еввх) = р (х); в частности, (Т,(х)! (р(х), и теорема доказана. Следствие 1.
Пусаь Š— комплексное локально выпуклое пространство и М вЂ” комплексное векторное подпространство в Е. Для всякой непрерывной линейной формы г на М существует непрерывная линейная форма ГО определенная на Е и продолжающая г. Достаточно заметить, что на Е существует непрерывная полу- норма р такая, что (у(х)~(р(х) для всех х~М ($5, предложение 9). 3 КОМПЛВКСНЫВ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 137 Из этого следствия сразу вытекает, что каждое непрерывное линейное отображение подпростраиства М в пронзвеление С продолжаетса до непрерывного линейного отображения пространства Е в Сг(см. й 3, следствие 5 вредложеиия 4). Слвдствип 2. Яля каждого комечкомерного (комплексного) векторного надпространства М отделимого комплексного локально выпуклого пространства Е существует замкнутое (комплексное) векторное подпростракство й/, топологически дополнительное к М.
С учетом предыдущего замечания доказательство совпадает с доказательством следствия 6 предложения 4 $ 3, Слядствия 3. Пусть Š— комплексное нормированное пространство и М вЂ” его комплексное векторное подпространство. Для каждой непрерывной линейной формы яа М существует непрерывная линейная форма /и определенная ка Е, продолжающая 7 и такая, что ~Я=)(Я.
Доказательство совпадает с доказательством следствия 1 теоремы 1 $ 5. Предоставляем читателю сформулировать для комплексных локально выпуклых пространств аналог следствия 2 теоремы 1 $ 5, доказательство которого сохраняется без всяких изменений. У п раж пенн я. 1) Установить лля топологических векторных пространств над телом К кватерниоиов определения и свойства, соответствующие приведенным в этом параграфе. 2) Введем на р-адическом теле ()и (р — простое )2) норму (11= -е (В =2 и, где о — р-адическая норма, н на векторном пространстве Е Я~~ размерности 2 иад (еи — норму 1~($, ~))(1= )$)+(т) 1.
Пусть хь — вектор (р, р), Р— порожденное им одномерное подпростравство в Е и / †линейн форма иа /1, определяемая условием /(хе)= 1. Показать, что Щ1 = 1, но для каждой линейной формы /х на Е, продолжающей /, 1/х1)~2. *3) Пусть К вЂ” недискретное полное иорммроваииое тело и Е— нормированное пространство иад /С норма которого удовлетворяет ,ультраметрическому" неравенству 1! х+ у ~1~( тах (1 х 11, 1 у 1). а) Показать, что норма удовлетворяет ультраметрическому неравенству иа каждом факторпростраистзе пространства Е по замкнутому векторному подпространству. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл. и.
Еа б) Пусть Е двумерно над К, х — ненулевой вектор нз Е, Р— порожденное им олномерное векторное подпространство ну в линейная форма на Р. Показать, что для любого с О существует линейная форма у„ определенная на Е, прололжающая у и такая, что [[Ус[1~( ~( (1 + с)[~у[В [Взять базис в Е, образованный вектором х и вектором у, для которого [[у[[ > — , гле и — расстояние от у до Р, ~1+ э' и для каждого в=лх+Русе положить ус(л)=у'(лх),[ в) Пусть Š— произвольной размерности н М вЂ” векторное подпростраистяо в Е, факторпространство Е/М по которому обладает счетным базисом над К.
Показать, что для каждой непрерывной линейной формы У на М н каждого с ) О существует линейная форма определеннав и непрерывная на Е, продолжающая у н такая, что 1[ус[[<(1+с)[[с [1. [Использовать а) и б).[ в4) Пусть К вЂ” недискретное полное нормированное тело н Е— нормированное пространство над К с нормой, удовлетворяющей ультраметрическому неравенству (упражнение 3). Предположим, кроне того, что образом мультипликативной группы К' ненулевых элементов из К прн отображении б — [ с [ служит дискретиал подгруппа группы й ь (что, например, имеет место в случае р-адического тела ()р). Пусть М вЂ” векторное подпростраиство в Е н у — непрерывная линейная форма, определенная на М.
Показать, что существует линейная форма ус, определенная и непрерывная на Е, продолжающая у и такая, что [[уП[=[[усП [Применением теоремы Л(орна свести к случаю двумерного Е, затем рассуждать, как в упражнении Зб.[ *5) Пусть К вЂ” тело формальных рядов с вполне упорядоченными , (вещественнычи) показателями н вещественными коэффициентами (Алг., гл. 1)с, й 5, уира;кнение 11 (са) ). Для каждого ненулевого элемента Е = ~~~ а (С) Хс из К положим [ 6 [ = ехр ( — Са), где Са — наименьсси шнй элемент множества тех Сйй, для которых а(С) чь О; положим, кроне того, [О[= О. а) Показать, что [с! есть норма на К и что К, снабженное втой нормой, есть полное нормированное тело.
б) Пусть Кэ — множество в К, состоящее из рядов б= ~~~',в(С) ХС, СРП для которых показатели СОН с а(С)чьО образуют возрастающую последовательность (С„), стремящуюся к + оо (и зависящую от 6). По; казать, что Ка есть замкнутое подтело в К. в) Будем рассматривать К как нормированное пространство иад Кэ, где за норму элемента б л К принято [с[. Пусть у в тождественное отображение Кэ иа себя.
Показать, что на К не существует никакой непрерывной линейной формы ус, продолжающей у и такой, что Щ[~ = = ~[у[[. [Рассмотреть значение непрерывной линейной формы ус, продолжающей у, иа элементе с Р К, для которого показатели сп (с с а(С)~О образуют строго возрастающую последовательность, ограниченную в Й.[ ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ П НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ Твогвма 1 (Марков — Какутани). Пусть Š— отделимое топо- логическое векторное пространство над Н, К вЂ” непустое компактное выпуклое множество в Е и à — множество попарно перестановочных аффинных линейных отображений пространства Е в себя, переводяигих К в себя, сужения которых на К непрерывны.
Тогда существует точка хе~ К такая, что и (хь) = = хь для всех и ~ Г. Пусть е — тождественное отображение Е на себя. Для каждого и~Г и каждого целого положительного и положим и„= 1 = — (е+ и+из+ ... +и"-') в кольце ос всех аффинных линейных и отображений Е в себя. Так как К выпукло и и(К)~К, то и„(К)с=К; кроме того, сужение и„на К непрерывно. Пусть Г,— подмножество в А, образованное произведениями всевозможных конечных наборов отображений вида и„, где и пробегает Г, а и — множество всех целых чисел > О. Ясно, что аффинные линейные огображения, принадлежащие Г,, попарно перестаповочпы и сужение каждого о~Г, на К непрерывно, причем о(К)с=К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
