Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 28
Текст из файла (страница 28)
б) Показать, что множество тех точек в Н, где У достигает своего> наибольшего значения, выпукло. А 28 Гл. н, Чз ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ч2) Пусть Š— отделимое топологическое векторное пространство над )с, С вЂ” непустой открытый выпуклый заостренный конус в Е с вершиной хв, У вЂ” выпуклая окрестность точки ха в Е и У вЂ” выпуклая функция, заданная и ограниченная иа СД У. Показать, что У(х) стремится к конечному пределу, когда х стремится к ха, оставаясь в СД У. 1Можво считать ха= О. Пусть Р = 11шзвр у (х); вести рассуждел -1 а, хцсйи ние от противного, предполагая, что существует а)0 такое, что в каждой окрестности нуля имеется точка у л СП У, для которой 1 (у) ( б — а.
Показать, что существует точка а й СД У такая, что я .У(ра) )~Р— — для 0(р-(11 вывести отсюда, что тогда на прямог, 2 соединвющей точку вида ва (с достаточно малым р) с точкой у в СП У, достаточно близкой к нулю и такой, что у'(у) ( Р— гч должны были бы существовать точки множества СД У, в которых )' было бы сколь угодно велико.) чЗ) Пусть Š— отделимое топологическое векторное пространство, А — непустое выпуклое множество в Е, ха — точка прикосновения множества А, у — конечная выпуклая функция, заданная на А, и А — множество всех замкнутык полупрямык Р с началом ха таких, что Р ДА содержит открытый отрезок с концом ха.
Объединение С полупрямых Р С А есть выпуклый конус с вершиной ха. а) Показать, что какова бы ни была полупрямая Р Л А, у(х) стремится к конечному пределу илн + со, когда х ~ хв стремится к ха оставаясь в В ДА. б) Пусть Чг — подмножество в А, образованное полупрямымн В такими, что у (х) стремится к + со, когде х чь ха стремится к ха, Оставаясь в В П А1 если хай А, то Ч" пусто. Показать, что Чг не может содержать двук противоположных полупрямых и что если Р,В' †д различные полупрямые, принадлежащие Ч", и Р— определяемая ими ПЛОскОСть, тО Либо каждая полупрямая Р" С А, содержащаяся в Р, принадлежит Ч', либо В и Р' — единственные полупрямые из Ч, содержащиеся в Р.
Вывести отсюда, что если Ч + А, то никакая полупрямая В л %' не может содержать окруженной точки конуса С. в) Пусть Ф вЂ” дополнение к Ч' относительно А. Показать, что объединение Са полупрямык В Л Ф есть выпуклый конус и что для полупрямых Р с Ф предел У(х), когда х ~ ха стремится к ха, оставаясь в Р Д А, не зависит от Р. [Использовать упражнение 2.[ Кроме того, если хай А, то значение этого предела (У(хв), причем оио Равно у(ха), когда Ф содержит пару противоположных полупрямых.
г) Если у — не непрерывная линейная форма иа Е и А = Е, то каждая замкнутая полупрямая с началом ха принадлежит Ф, но 11ш!п1у (х) = — со н Вш зпру (х) =+ со. [Использовать упражнение 2) ж ыжо л ьхв 4. Пусть И вЂ” компактное выпуклое множество в конечномерном отделимом топологическом векторном пространстве Е над )с. Пока- полтыовмы 129 зать, что каждая выпуклая функция на Н ограниченна снизу.
Показать на примере, что зто может быть уже неверным, если Е не конечномерно. [См. упражнение Зг.] 5) Пусть Š— векторное пространство над )с и А — выпуклое множество в Е, содержащее начало. Для каждого х ~ О нз Е обозначим через р(х) нижнюю грань чисел а)О таких, что х арА, если такие числа существуют, н +со в противном случае; кроме того, положим р(О) = О. Показать, что р — выпуклая положительно однородная функция в Е; назовем ее калибровочной функцией множества А.
6) Дать: 1' пример конечной выпуклой функции, определенной на открытой полуплоскости Н в Яз, не ограниченной на Н и не стремящейся ни к какому пределу при стремлении аргумента к точке О, являющейся граничной для Н; 2' пример конечной выпуклой функции, определенной на ограниченном открытом множестве А из Яз и не стремящейся ни к какому пределу при стремлении аргумента к некоторой граничной точке етого множества. [Рассмотреть калибровочную функцию диска, имеющего О своей граничной точкой.] 7) Пусть (7 в У в выпуклые открытые множества в отделимом топологическом векторном пространстве Е над Я такие, что Ус=(7 и (7 ' не содержит никакой полупрямой. Пусть ,У вЂ” семейство конечных выпуклых функций иа (7, равномерно ограниченных сверху на границе множества сг и равномерно ограниченных снизу на границе множества У.
Показать, что У равностепенно непрерывно на У. 8) Пусть Н вЂ” выпуклое открытое множество в Ян,,У' — множество конечных выпуклых функций на Н и Ф вЂ” фильтр в У, сходящийся в каждой точке множества Н к некоторой конечной функции уа. Показать, что Ф равномерно сходится к уа на каждом компактном подмножестве множества Н. [Использовать упражнение 7.] вй) Пусть Š— конечномерное отделимое топологическое векторное пространство над Й. а) Пусть )у(Е) — множество всех замкнутых множеств из Е, наделенное равномерной структурой, получаемой из равномерной структуры пространства Е по способу упражнения 7 в Общ.
топ., гл. 11, й 2 (т"). Показать, что в полученном пространстве множество Я'(Е) всех выпуклых замкнутых множеств из Е замкнуто. Вывести отсюда, что множество всех выпуклых замкнутых подмножеств компактного множества Кс= Е есть компактное множество в Я (Е) [см. Общ. топ., гл. П, й 4, упражнение 5 (и)]. б) Пусть Р— векторное надпространство пространства Е и К— компактное множество в Е. Показать, что отображение С- СП Р множества всех выпуклых замкнутых множеств Сс: К в Я(Р) непрерывно. Непрерывно ли отображение С вЂ” СП Р множества Я (Е) в Я (Р)? в) Пусть А пробегает множество Яа (Е) всех выпуклых компактных множеств в Е, имеющих О своей окруженной точкой, н ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА гл.
П.йз рл — калибровочная функция (упражнеиие б) множества А. Показать что отображение А -ьрд есть изоморфизм равномерного подпространства Вэ(Е) пространства й (Е) в пространство (э,(Е, )1) непрерывных числовых функций на Е, наделенное равномерной структурой компактной сходнчости (Общ. топ., гл. Х, й 1). 1О) Пусть А — выпуклое компактное множество в )(Я и  — его проекция на подпространство )(Я (отождествленное с гиперплоскостыо, определяемой уравнением 1и = О).
Показать, что на В существуют две выпуклые функции ум ут такие, что А совпадает с множеством тех точек (», и) из Йя, для которых л й Е и уг(л) < и ь. †(л). 11) Для того чтобы в локально выпуклом пространстве Е существовало выпуклое тело, не содержащее никакого линейного многообразия, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е мажорировала некоторую нормированную топологию в Е. Показать, что если это условие выполнено, то границы двух выпуклых тел, не содержащих никакой полуирямой, 1омеоморфиы. э12) а) Пусть Š— бесконечиомериое нормированное пространство над )1 и а' — его топология.
Показать, что в Е существуют нормированная топологил б', более сильная чем 3, и нормированная топология у", более слабая чем Т. [Окрестности нуля для этих топологий определить с помощью базиса в Е, заданного в форме (а„,„), где а пробегает некоторое бесконечное семейство индексов А, а и — множество целых чисел > О, причем [[а„,и)[ = 1.) б) Пусть р(х) — норма, определяющая топологию й', Показать что если Е в топологии у — баиаховское пространство, то р не может быть полунепрерывной снизу иа Е в топологии у. [Воспользоваться теоремой Бара; см.
гл. Ш, й Ц Вывести отсюда, что выпуклое множество А, определяемое.неравенством р(х) ч, 1, не содержит ни олной внутренней (в топологии 2') точки, хотя все его точки и окруженные. в) Вывести из б), что если Е в топологии й — банаховское пространство, то в Е существуют незамкнутые (в топологии й ) выпуклые множества, пересечение которых с каждым коиечиомериым линейным многообразием замкнуто. [См.
й 2, упражнение 4, и й 1, упражнение 15.[ 13) 1(ля того чтобы множество Г полунорм на векторном пространстве Е над )1 было множеством всех полунорм, непрерывных в некоторой локально выпуклой топологии в Е, необходимо и достаточно, чтобы 1' удовлетворяло следующим двум условиям: 1' если р й Г, то каждая полунорма о такая, что 4~ ар (где а — постоянная), принадлежит Г; 2' ес.ти р и л принадлежат Г, то и знр(р, д) приналлежит Г. 14) Пусть 5 — произвольное мно кество, Е = Я (5) — банаховское пространство всех ограниченных числовых функций на 5, Š— произвольное нормированное пространство над )4 и М вЂ” его векторное подпространство. Показать, что для каждого непрерывного линейного отображения У подпространства М в Р существует непрерывное г КОМПЛВКСНЫН ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫБ ПРОСТРАНСТВА 1З1 линейное отображение 7 пространства Е в Р, прололжающее 1 и такое, что О[1 = [[1[[.
[згля каждого або рассмотреть линейную форму х-ь(1(х) ) (з), определенную на М.] 15) Пусть Š— векторное пространство вад К, М вЂ” его векторное подпростраиство, р — полупориа на Е и у — полуиорма на М такая, что д (х) (р(х) лля всех х б М. Показать, что на Е существует полу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
