Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Свойства бочемных пространспгв Пгедложение 2. Пусть (Р,) сг — семейство бочечных пространств и У, для каждого г~! — линейное отобр жение Р, е векторное пространство Е. Пространство Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией. е которой непрерывны есе отображения У, (гл, !1, ф 2, п'2), бочечно. 1(ействительно, пусть Т вЂ” бочка в Е. Так как отображение г', -! непрерывно, то у, (Т) есть замкнутое выпуклое множество в Р,. притом уравновешенное и поглощающее, иными словами — бочка — ! в Р;, так как Р, бочечно, то. следовательно, у,(Т) есть окрестность нуля в Р, для каждого ! ~ ! и, значит. Т есть окрестность нуля в Е (гл.
П, ф 2, предложение 1). Следствие 1. Каждое факторпространстео бочечного пространства есть бочечкое пространство. Следствие 2. Каждый индуктивный предел (гл. П, ф 2. и'4) бочечных пространств есть бочечнос пространство. Следствие 3. Пусть (Е,)п~г — произвольное семейство локально выпуклых пространств и Š— его топологическая прямая 145 БОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Е было бочечным арочтобы было бочечным сумма (гл. 11, 9 2, п'3). Длн того чтобы странством, необходимо и достаточно, каждое Е,. Достаточность условия очевидна в силу ходимо согласно следствию 1, поскольку факторпространству пространства Е (гл.
!1, следствия 2; оно необкаждое Е, ива морфио 9 2, п'3). 3 а м е ч а н н я. 1) Можно показать, что каждое произведение бочечных пространств есть бочечное пространство (гл. 1У, б 2, упражнение 9). 2) Замкнутое векторное надпространство бочечиого пространства ие облзательио бочечно (гл. !У, й 2, упражнение 9 и й 5, упражнение 21). У п р а ж н е н и я. 1) Показать, что в бочечном пространстве каждое замкнутое поглощающее выпуклое множество есть окрестность нуля. 2) Показать, что пополнение отделимого бочечного пространства бочечно.
3) Пусть Š— векторное пространство иал й или С. Показать, что Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией (гл. П, В 2, и' 1), бочечпо. Получить отсюда примеры бочечных пространств, не метризуемых и не являющихся бэровскими пространствами (см.гл. 1, В 1, упражнение 7 и гл. П, $ 2, упражнения 6 и 9). ч4) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, обладающее бесконечным счетным базисом (а„).
а) Показать, что Е обладает топологнчески свободным счетным базисом (е„). [Определить векторы е„по индукции, воспользовавшись тем, что каждая прямая в Е имеет топологическое дополнение.] б) Показать, что для того, чтобы Е было бочечным пространством, необходимо и достаточно, чтобы его топология у совпадала с сильнейшей локально выпуклой топологией в Е. [Принять во внимание, что уравновешенная выпуклая оболочка каждой последовательности (Аяея) замкнута в Е.[ В частности, если В метрнзуема, то Е не бочечно. [См, упражнение 3.[ 5) Пусть 7 — несчетное множество и Š— пространство (!( ', наде- (П ленное (локально выпуклой) топологией Ве, определенной в упражнении 7 й 1 гл.
П. Показать, что Е, которое в топологии Ве полно, не является бочечным в этой топологии. [Рассмотреть множество Т тех х =(1,) й Е, для которых ~', ! 1, [ < 1, и показать, что Т вЂ” бочка; далее 'Ег использовать упражнение 7 й 2 гл. П.[ б) Пусть Š— банаховское пространство, содержащее тотальное алгебраически свободное семейство(а„) (например, пространство Ех(в()), и пусть  — базис в Е, в который входят все а„; как известно (гл.
П, 146 пгостолнствл непгегывных линейных ОтОБРАжений Гл. Иг, $ г $ 3, упражнение 15), В несчетен. Пусть, далее, (е„) —. последовательность попарно разлнчных элементов из В, отличных от всех а„, С вЂ” дополнение к множеству всех е„в В, и Є— векторное полпространство в Е, порожденное множеством С н векторамй еь с й (л, так что Е есть объедипенке подпрострапств Рч. Пусть, наконец, 5 — шар 11х)1 < 1 в Е. Показать, что существует номер и такой, что ЯДРь — множество П категории.
Вывести отсюда, что Р„„ с этим и, есть неполное метризуемое бэровское пространство. ь7) а) Показать, что любое произведение Е = П Р, полных мет~ех рических пространств есть бэровское пространство. !Заметить, что если (Аь) — последовательность элементарных множеств в Е (Общ. топ., Рез., 8 7, и' 5; гл. 1, 8 8, и' 1), удовлетворяющая условню А„+т~ А„, то существует счетное подмножество У<-У такое, что каждое А„имеет вид В„Х П Р„где В„с- И Р,. Вывести отсюда, йз 'ел что если выбрать последовательность (А„) так, чтобы диаметр множества рг,(А„) стремился к нулю для каждого индекса ~ такого, что рг,(А„)+Р, хотя бы для одного л, то пересечение множеств Ан будет не пусто.) б) Получить из а) примеры неметркзуемых локально выпуклых пространств, являющихся полными отделимыми бэровскими пространствами.
5 2. Ограннченные множества в топологнческнх векторных пространствах У. Определение ограниченных множеств Опгеделяние 1. Множество А в толологическом векторном пространстве Е называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля.
Это означает (гл. 1, й 1, п' 3), что для каждой окрестности нуля ьг существует вещественное число А>0 такое, что ).Ас= У. 1(ля того чтобы множество А было ограниченным, достаточно, чтобы оно поглощалось каждой окрестностью нз фундаментальной системы окрестностей нуля. Каждое множество, сводящееся к одной точке, ограниченно, поскольку каждая окрестность нуля в Е есть поглощающее множество (гл. !. й 1, и' 3). Пусть Š†локаль выпуклое пространство, топология которого задана множеством Р полунорм.
Для того чтобы множество А нз Е было ограниченным, необходимо н достаточно, чтобы каждая полу- я ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 147 норма р~р была ограниченна иа А; зто сразу. следует из определения окрестностей нуля в Е (гл. !1, 3 5, п' 4). В частности, для ограниченности множества А в нормированном пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы норма ()х'3 была ограниченна гйа А или, иначе, чтобы А содержалось в некотороМг шаре с центром О; другими словами, А должно быть ограниченным. относительно структуры метрического пространства в Е (Общ. топ,„ Рез., 3 3, п' 7; гл.'1Х, 3 2, п' 2) (см.
упражнения 2 и 3). 3 а м е ч а и и я. 1) Кэк вилим, в нормированном пространстве 'существует фундаментальная система окрестностей нуля, образованная ограниченными множествами. Можно показать, что, обратно, если в отделимом локально выпуклом пространстве имеется ограниченная окрестность нуля, то топология этого пространства может быть опрелелена нормой (упражненне 12).
2) В отделимом топологическом векторном пространстве ограниченное множество ие может содержать никакой полупрямой с началом 0; действительно, для каждого х~0 существует окрестность нуля )г такая, что х г7 К если поэтому 1 ) 0 таково, что А <= 1)г, то л. Свойства ограниченных множеств Ясно, что если А — ограниченное множество в топологическом векторном пространстве Е, то ).А ограниченно для каждого скаляра ) и ограниченно также любое подмножество множества А. Пусть М вЂ” векторное надпространство в Е;.для того чтобы множество из М было ограниченно в М, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченно в Е. Опгеделение 2.
Множество 5 ограниченных подмножеств топологического векторного пространства Е называется фундаментальной системой ограниченных множеств, если каждое ограниченное подмножество пространства Е содержится в пекотоь ром множестве из В. Так, например. в нормированном пространстве гпары с центром О и радиусом п (где и — целые числа >0) образуют фундаментальную систему ограниченных множеств.
148 пРОстРАнстВА непРеРывных линеиных ОтОБРАжений гл. Нпа г Пгедложение 1. Обаединение двух ограниченных множеств элементов топологического векторного пространства Е есть ограниченное множество. Действительно, пусть А и  — ограниченные множества; для каждой уравновешенной окрестности нуля У существуют числа а) О и 3) О такие, что АсаУ и Вс~У; тогда ясно, что АЦВсуУ, где 1= ( Р). П~едложение 2. Замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка ограниченного множества элементов локально выпуклого пространства Е есть ограниченное множество.
Действительно, пусть А — ограниченное множество в Е, С вЂ” его замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка и У вЂ” уравновешенная выпуклая окрестность нуля. Существует Л) О такое, что ЛА~У) тогда и ЛСс=У. А так как замкнутые уравновешенные выпуклые окрестности нуля образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, то тем самым предложение доказано. Следствие. Замкнутые уравновешенные выпуклые огранмченные множества в локально выпуклом пространстве образуют фундаментальную систему ограниченных множеств.
3 а и е ч а и и е. В не локально выпуклом топологическом векторном пространстве Е выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно ограниченна (упражнение 8). Однако уравновешенная оболочка ограниченного множества, очевидно, ограниченна. С другой стороны, и замыкание любого ограниченного множества А в Е ограниченно; действительно, лля любой замкнутой окрестности нуля У в Е существует Л ) О такое, что А с: ЛУ, а так как Л У замкнуто, то и АсЛУ. Пгедложение 3. В отделимом топологическом векторном пространстве Е каждое предкомпактное множество ограниченно. Действительно, пусть А — предкомпактное множество в Е и У— уравновешенная окрестность нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
