Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 34
Текст из файла (страница 34)
в) Пусть Р— топологическое левое векторное пространство над К и у — непрерывное отображение Е в Р, обладающее следующим свойством: для каждой окрестности нуля У в К существует Рфб в К таное, что Ру(х) бу(ух) для всех хЕЕ. Показать, что образ каждого ограниченного множества из Е при отображении У ограничен в Р. г) Показать, что если А — огранняенное множество в К (рассматриваемом как левое векторное пространство над самим собой), а В— ограниченное множество в Е, то А — ограниченное множество в Е. д) Распространить предложение 4 на случак метризуемого топоаогического тела К. е) Распространить на топологические векторные пространства над К понятие квазиполиого пространства и его свойства.
е2) а) Пусть Š— топологическое векторное пространство нал недискретным топологическим телом К. Показать, что если на Е существует ограниченная окрестность нуля )г (упражнение 1), то множества 1)г (1 Г К, 1~0) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, и обратно, Если К метризуемо, то отделимая топология, ассоциированная с топологией пространства Е, метризуема. Если К= Й или С, то верхняя грань локально выпуклых топологий, мажорируемых топологией пространства Е (гл.
П, 3 3, упражнение 14), может быть определена одной полунормой. б) Показать, что топология произведении бесконечного числа отделимых локально выпуклых пространств (йе сводящихся к одному злементу О) не может быть определена одной полунормой. в) Пусть Š— локально выпуклое пространство, топология которого определена возрастающей последовательностью (ря) полунорм. Для того чтобы она могла быть определена одной полунормой, необходимо и достаточно существование номера па такого, чтобы для каждого и> пв при некотором Ая ~ 0 удовлетворялось для всех х Е Е неравенство Рв(л) (Аяряв(к). т) Пусть Ыà — векторное пространство над Я всех бесконечно дифференцнруемых числовых функций на интервале 1 = 10, Ц. )(ля каждого целого и ~ 0 положим Ря(У) = ьаР ( анР )У(а>(л)~) в < а < я ~, ейг (где У(И(х) =у (х) ).
Показать, что ря — нормы иа хлг и что топология в ЯР определяемая втой последовательностью норм, не может быть определена одной нормой. 3) Пусть Š— метризуемое векторное пространство над й н И— расстояние на Е, инвариантное относительно переносов и согласующееся с топологией пространства Е; положим (х ! = Ф (х, О) (гл. 1, ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОДСЕСТВА 15$ 1 )х 6 3, а' 1). Показать, что — !х1~ ~ — ~ для каждого целого п)0. Вывести отсюда, что еслк  — ограниченное множество в Е, то зпр )х ( ~~+оп (иначе говоря, В ограниченно по метрике 11). Дать аЕВ пример метризуемого векторного пространства Е и множества, не ограниченного в Е, но ограниченного по метрике с(.
]См. упражиение 2.] 4) Пусть Š— топологическое векторное пространство над недискретным метризуеммм топологическим телом К. Показать, что если Š— бэровское пространство и в Е супгествует счетная фундаментальная система ограниченных множеств (упражнение 1),,то в Е существует ограниченная окрестность нуля. (См. упражнение 6.] 5) Пусть Š— метризуемое векторное пространство над недискретным нормированным телом К.
Показать, что для любой последовательности (В„) ограниченных множеств в Е (упражнение 1) существует последовательность (1в) ненулевых скаляров такая, что объединение множеств ХвВя ограниченно. 6) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, являющееся строгим индуктивным пределом строго возрастающей последовательности (Е„) своих замкнутых векторных подпространств. а) Показать, что Е неметризуемо. (Использовать предложение 6 и упражнение 5,] б) Для того чтобы в Е существовала счетная фундаментальная система ограниченных множеств, необходимо и достаточно, чтобы в каждом из Е„ существовала счетная фундаментальная система ограниченных множеств.
7) Показать, что в произведении бесконечного числа топологических векторных пространств (над )1 или С), не сводящихся к одному элементу О, нет счетной фундаментальной системы ограниченных множеств. ]Свести доказательство к случаю пространства й и испольн зовать упражнение 4.] ч8) Пусть Š— векторное пространство правильных функций на интервале 1= [О, 1] (Функц. вещ. иерем., гл. И, 6 1, пч 3). Пусть Ув для каждого целого п)0 — множество всех функций АТЕЕ таких, что 1 .]' 1 'гг]7" (Т)!М < —. Показать, что множества Ув образуют фундамено тальную систему окрестностей нуля для метризуемой топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е, и что в втой топологии множества Уа ограниченны, однако выпуклой оболочкой каждого Ув служит всб пространство Е.
(Принять во внима- 1 иие, что каждую функцию уб Е можно записать в виде 7'= —, (Е+ д), 2 ! 1 где и н А принадлежат е и / "г ~л(т) (лг= ~ г ~ д(г) |лг о о 156 пгострднствд нвпгпгывных липвипых ОтОБРАжении Гл. и1, $ 3 1 1 г ==. ~ 'г' ~г(г) ~дд) Вывести отсюда, что единственной локально о выпуклой топологией, мажорируемой топологией пространства Е, является слабейшая топология в Е. 9) Пусть (Е,),(г — бесконечное семейство отделимых топологических векторных пространств, ие сводящихся к одному элементу О, над недискретным топологическим телом К, Š— прямая сумма векторных пространств Е, и ~э — топология в Е, определенная в упражнении 7 й 1 гл. 1. Для того чтобы множество В ~ Е было ограниченным э топологии 0'о необходимо и достаточно, чтобы В содержалось в подпространстве вида Я Е„ где Н вЂ” некоторое конечное подмножество ~ем из Е и проекции В на все эти Е, 0 ГН) были ограниченны. Вывести отсюда, что если каждое Е, есть квазиполное пространство, то Е(наделенное топологией рэ) квазиполно.
10) Пусть (Е,),бг — произвольное семейство отделимых локально выпуклых пространств и Š— его топологическая прямая сумма (гл. П, й 2, и' 3). Для того чтобы множество В ~ Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в подпространстве вида Я Е„ где Н вЂ” некоторое конечное подмножество из Е и проекции В на все эти Е, П й Н) были ограниченны. [)4спользовать упражнение 9.] Вывести отсюда, что если каждое Е, есть квазиполное пространство, то Е квазиполно.
11) Пусть Š— топологическое векторное пространство над недискретпым нормированным телом К. а) Лля того чтобы уравновешенное множество А с: Е поглощало все ограниченные множества из Е, достаточно, чтобы А поглощало множество точек любой последовательности (х„), стремищейся в Е к нулю. б) Пусть и — линейное отображение пространства Е в топологическое векторное пространство Р над К. Для того чтобы образ любого ограниченного множества из Е при отображении и был ограничен в Р, достаточно, чтобы последовательность (и(х„) ) была ограниченна в Р для любой стремящейся к нулю последовательности (х„) точек из Е. 12) Локально выпуклое пространство Е называется ограниченно заминуглим (соотв. иифрабочечным), если каждое выпуклое множество (соотв.
каждая бочка) из Е, поглощающее все ограниченные множества, есть окрестность нули в Е. а) Показать, что каждое ограниченно замкнутое пространство и каждое бочечное пространство инфрабочечно *). ") Можно привести примеры бочечных пространств, не являющихси ограниченно замкнутыми (см.
1.. )час и Ь1п, ргос, )чаг. Асад, Бс!. ().5, А., 40 (1954), 471 — 474, и Т. 5 Ь1г ога, Ргос. )ар. Асад., 30 (1954), 294 — 298). ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА б) Для того чтобы локально выпуклое пространство Е было ограниченно замкнутым, достаточно, чтобы в нем каждое уравновешенное выпуклое множество, поглощающее все ограниченные множества, было окрестностью нуля; достаточно также, чтобы каждая поаунорма на Е, ограниченная на всех ограниченных множествах, была непрерывна.
в) Показать, что пополнение инфрабочечного пространства бочечно. )См. $ 3, лемма 1.) 13) Пусть Š— локально выпуклое пространство и 4à — его топология. Среди локально выпуклых топологий в Е, обладающих тем же запасом ограниченных множеств, что и й, имеется топология у', мажорирующая все остальные, и зто — единственная нз указанных топологий, в которых Е ограниченно замкнуто. Пространство, получаемое путем наделения Е топологией а', называется ограниченно замкнутым пространством, ассоциированным с Е.
Для того чтобы линейное отображение и пространства Е в локально выпуклое пространство Р пере- водило каждое ограниченное множество из Е в ограниченное множество в Р, необходимо н достаточно, чтобы оно было непрерывно в топологии й'. 14) а) Пусть М вЂ” некоторое множество линейных отображений ограниченно заикнутого пространства Е в локально выпуклое пространство Р. Для того чтобы М было равностепенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для любой стремящейся к нулю последовательности (х„) точек из Е множество точек и(х„) (и Р М, и бе() было ограниченно в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
