Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 29
Текст из файла (страница 29)
норма д (р, сужение которой иа М равно Ф [См. $2, и' 5, лемма Ц 16) Пусть Е -- векторное пространство нал К, р — конечная положительно однородная выпуклая функция (произвольного знака) па Е, М вЂ” векторное подпространство в Е и 1 в линейная форма на М такая, что 1(х) (р (х) для всех х й М. Показать, что ва Е существует линейная форма 7, продоажаюгцая 1 и такая, что 1(х) (р(х) для всех х С Е. [В пространстве Е Х К, наделенпоч сильнейшей локально выпуклой топологией, рассмотреть конус С, образованный теми точками (х, Г), для которых р(х)(Г, и принять во внимание, что зтот конус — открытый.] К 6.
Комплексные локально выпуклые пространства 1. Топологинесние векторные пространства над С Пусть Š— топологическое векторное пространство над телом С комплексных чисел. Топология пространства Е согласуется также со структурой векторного пространства над К, получающейся при сужении тела скаляров до К. Топологическое векторное пространство над К, базисное для пространства Е (гл. 1, й 1, п' 1), мы будем обозначать через Еа. Отметим, что отображение х -ьгх (ие являющееся на Е, гомотетией) есть иатоморфизлг и структуры топологнческого векторного пространства в Е, обладающий тем свойством, что из(х) = — х.
Обратно, пусть топологическое векторное пространство Р пад К обладает автоморфизмом и таким, что из= — е (где е — тожлествси ный автоморфизи). Как известно (Алг., гл. 1Х), в Р можно тогда внести структуру векторного пространства нал С, для каждого Л = а+ ГЗ й С и каждого х й Р положив Лх = ах+ Ви (х).
Так как отображение (а, В, х)- ах+йи(х) произведения КзХР в Р непрерывно, то топология пространства Р булет согласоваться с введенной так структурой векторного пространства над С. И Р будет топо- логическим векторным пространством иад К, базисным для определенного так топологического векторного пространства Е над С.
П р и м е р. Пусть 0 — топологичсское векторное пространство над К и Р= О Х Сч Формула и(х, у) = ( — у, х) определяет автомор- )З2 гл. и. а а ЛОКАЛЬНО В|ЯПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА физм и пространства Е, имеющий своим квадратом — е. Следовательно, ему соответствует в Г структура векторного пространства над С, в которой (а+1Р)(х, у)=(ах — ру, эх+ау), В частности, 1(х, О) =(О, х) н, значит, (х, у) =(х, О)+1(у, О), а это показывает, что определенное так (не топологнчсское) векторное пространство Е нал С получено расширением тела скаляров пространства б до С (Алг., гл. !И, 5 2).
Мы будем говорить также, что топологическое векторное пространство Е над С получено нз С путем расширения э|ела скаляроа до С, н обозначать Е также через 0|су 3 а м е ч а н и е. Не всякое топологнческое векторное пространство Г над )! обладает автоморфнзмом и, имеющим своим квадратом — е. Так, например, в векторном пространстве нечетной размерности над (т нельзя ввести структуру векторного пространства над С. Пусть Š— топологическое векторное пространство над С и Еа †базисн для него топологическое векторное пространство над й. Каждое линейное многообразие М пространства Е есть также линейное многообразие в Ес.
обратное же неверно. Во избежание путаницы, мы будем называть линейное'многообразие при структуре векторного пространства относительно С (соотв. относительно Й) комплексным (соотв. вещественным) линейным многообразием. Комплексное линейное многообразие конечной размерности(соотв. фактор- размерности) и есть вещественное линейное многообразие размерности (соотв. факторразмерности) 2и. Для того чтобы вещественное векторное подпространство М пространства Е было также комплексным векторным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы 1М |= М.
Напомним (Алг., гл. !!), 0 2), что для топологкческих векторных пространств Е и Р над С отображение Е в Е называется С-линейным (соотв. (с-линейным), если оно является линейным отображением при наделении Е и Г структурой векторного пространства относительно С (соотв. (т); каждое С-лннейное отображение, очевидно, э(-линейно, обратное же неверно. Допуская вольность речи, мы С-линейную форму на Е будем называть комплексной линейной формой, а м-линейную форму на Е (т.
е. линейную форму на Ес) †вещественной линейной формой. Если 1 — комплексная линейная форма иа е, то, очевидно, д= в(г" и й = 31 — вещественные линейные формы; при этом из соотношения у(1х) =(у(х) следует тождество й (х) = — д(1х). Обратно, если и — вещественная линейная форма я КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ЗЗ на Е, то 1(х)=д"(х) — 1й(1х) есть однозначно определенная комплексная линейная форма на Е, для которой Я1'= у; для того чтобы 1' была непрерывной на Е, очевидно, необхолимо и достаточно, чтобы была непрерывной д. Пусть теперь Н вЂ” комплекснак гиперплоскость в Е, заданная уравнением 1 (х) = и+1р, где У в комплексная линейная форма на Е; полагая у= ИУ, мы видим, что Н есть пересечение двух вещественных гиперплоскостей Н, и Н,, заданных соответственно уравнениями д(х)=и и К(1х)= — р; если Н замкнута, то замкнуты также Н, и Нг (гл.
1, $2, теорема 1). Обратно, пусть Нз— однородная вещестееннан гиперплоскость, с уравнением К(х) = О (где К вЂ” вещественная линейная форма на Е); тогда Н=НеП1Не есть однородная комплексная гиперплоскость, причем ее уравнением служит у (х) = О, где )' — комплексная линейная форма, для котоРой ЯУ=У; если Не замкнУта, то и Н замкнУта.
2. Комплексные локалвно выпуклые пространства Напомним, что в комплексном векторном пространстве Е мы используем термин „диск" в качестве синонима для „уравновешенного множества" (гл. 1, $1, и' 3, определение 2); таким образом, утверждение, что множество А~Е есть диск, означает, что если х ~ А, то рх ~ А для всех р таких, что О ( р ( 1, и е'ех ~ А для всех вещественных 9. Говорят, что множество А в комплексном векторном пространстве Е выпукло, если оно выпукло в вещественном векторном пространстве Ез, базисном для Е. Для того, чтобы выпуклое множество А<=Е было диском, достаточно, чтобы еПА<:А для всех вещественных 0; действительно, отсюда прежде всего вытекает, что — А = А; так как А симметрично, то оно содержит О и, следовательно, рА~ А, когда О ( р ( 1. Пусть Š— комплексное топологическое векторное пространство. Наименьший выпуклый диск (соотв.
замкнутый выпуклый диск), содер'жащий множество А<-Е, называется закругленной выпуклой оболочкой (соотв. замкнутой закругленной выпуклой оболочкой) множества А; замкнутая закругленная выпуклая оболочка множества А есть замыкание его закругленной выпуклой оболочки.
Эта последняя есть выпуклая оболочка обьединения множеств епА, так что ее можно определить как множество линейных комбинаций 134 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Гл. н. а 6 "Э,Л!х1, где (х;) — любые кокечные семейства точек из А, а (Л!) — любые семейства комплексных чисел такие, что .."„,')ч1 ( 1. Если А пред- компактно, то и его закругленная оболочка предкомпактна (гл. 1, $1, и' 5), а значит, если Еь локально выпукло, — и его закругленная выпуклая оболочка предкомпактна Я 4, предложение 2).
Говорят, что комплексное топологическое векторное пространство Е локально выпукло, если локально выпукло его базисное вещественное топологнческое векторное пространство Е, т. е. если каждая окрестность пуля в Е содержит выпуклую окрестность нуля; топология дГ в Е называется локально выпуклой, если она согласуется со структурой векторного пространства з Е (относительно С) и Е, наделенное этой топологией Х, локально выпукло. Так как каждая замкнутая выпуклая окрестность нуля у' содержит тогда закругленную окрестность нуля Ю (гл. 1, $ 1, предложение 4), то она содержит и замкнутую закругленную выпуклую оболочку (!' последней; иными словами, закругленные выпуклые замкнутые окрестности нуля образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, притом инвариантную относительно всех гомотетий с ненулевыми коэффициентами.
Обратно, пусть Š— комплексное векторное пространство и Я— базис фильтра в Е, образованный поглощающими выпуклыми дисками. Как мы знаем Я 2, и'1), тогда семейство В образов множеств из Ь при всевозможных гомотетиях с коэффициентами ) О является фундаментальной системой окрестностей нуля для локально выпуклой топологии 87 в вещественном векторном пространстве Е, базисном для Е. Так как, кроме того, множества из В— диски, то онн инвариантны относительно всех гомотетий х — + еьвх, а это показывает, что Ю согласуется со структурой векторного пространства з Е (над С) (гл. 1, й 1, предложение 5). Говорят, что конечная числовая функция р, определенная на комплексном векторном пространстве Е, есть полукорма, если онз удовлетворяет аксиоме (8ХН) п'3 э" 5 и следующей аксиоме: (5Х!) р(Лх) = Л /р(х) для всех х~ Е и Л~ С. а КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 135 То же самое можно выразить, потребовав, чтобы р было полу- нормой на вещественном векторном пространстве Еы базисном лля Е удовлетворяющей условию р(еах) =р(х) для всех В Рй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
