Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Существует конечное число точек а;~А (1(1(п) таких, что окрестности а;+У (1(1(п) образуют покрытие множества А. Множество В точек а;, будучи конечным, ограниченно (предложение 1); поэтому существует скаляр Л такой, что О (Л(1 и ЛВс" У. Следовательно. ЛАс=ЛВ+ЛУ~У+У, и предложение доказано. 149 ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Следствие. В отделимом топологнческом векторном пространстве множество точек последовательности Коши ограниченно. Действительно, это множество. как известно, предкомпактно (Общ. топ., гл.
П, ф 4, и' 2), Заметим, что ограниченное множество, вообще. говоря, не абаза. тельно предкомпактно; например, единственнымн нормированными пространствамн, в которых каждое ограниченное множество предкомпактно, являются конечномерные пространства (гл. 1, 9 2, теорема 3) (см. гл. 1У, ф 3, и' 4). Пгедложение 4. Для того чтобы множество А в топо- логическом векторном пространстве Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (х„) точек из А и любой последовательности (Л„) скаляров )~ О, стремящейся к нулю, последовательность () х„) стремилась к нулю. Условие необходимо. Действительно, пусть У вЂ” произвольная уравновешенная окрестность нуля в Е.
По предположению, существует а ) О такое, что Лх„~ У для каждого номера и и каждого Л с (Л) ( а; с другой стороны, существует пе такое, что Л„ ( а для всех п)~ па) следовательно, Л„х„~(г для всех п)~па. Условие достаточно. Действительно, если А — неограниченное множество в Е, то в Е существует уравновешенная окрестность нуля (у такая, что А не содержится ни в какой из окрестностей п(у (п )~ 1); таким образом, для каждого целого и ) О существует 1 х„~А такое, что х„(п(У, откуда — х„((У н, значит, последовал /1 тельность ~ — х„) ие стремится к нулю. Следствие. Для того чтобы множество А в Е было ограниченным, достаточно, чтобы было ограниченно всякое счетное подмножество из А.
3. Образ пра непрерывном оигображении Пгедложение 5. Пусть Е = П Е, — произведение произволь'ьг ного еелсейства (Е,), топологичееких векторных пространств, 150 пвоствлнствл нвпвнвывных лннниных отовглжннип гл. нг, а г  — топологическое векторное пространство и / — непрерывное отображение Е в Р, для которого существует число з > 0 такое, что / (Лх) = Л /'(х) каково бы ни было Л > О.
Тогда / отображает каждое множество В= И В„где В,— ограничен'Ег ное множество из Е, О~/), в ограниченное подмножество просргранства Р. Нужно только доказать (предложение 4). что если (х„) †последовательность точек из В и ().„) — последовательность скаляров ) О, стремящаяся к нулю, то последовательность с общим членом ) ~(х„) стремится к нулю в /-'. Но ) ~(х„) можно представить в виде /(у„), где У„=Л„ых„=(Ллн~х„,), . Так как в) 0 и х„,~В, дла каждого и, то последовательность ~~Л„х„,)„ь стремится в Е, к нулю т 1ы дая каждого ~~ / (предложение 4); но тогда последовательность (у„) стремится к нулю в Е. Так как / непрерывно и /'(0)=0, то заключаем, что последовательность (/(у„)) стремится к нулю в Р, и предложение доказано.
Следствие 1, Пусть Е; (! (/ ( и) ' и Р— топологические в'екторные пространства, / — непрерывное полилинейное отобран жение произведения ИЕ; в Р и В; — ограниченное множество ь=г в Е; (1 (/ (и). Тогда / отображает Ц Вг в ограниченное под1=1 ,множество пространства Е. Следствие 2. Пусть Е и Р— топологические векторные проЕтранства. Образ ограниченного множества из Е при непрерывном линейном отображении Е в Р есть ограниченное подмножество пространства Р. Следствие 3. Пусть Е=ПЕ,— произведение произвольного ЕТ семейства (Е) Ег топологических векторных пространств; для того чтобы множество В~Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы ргВ было ограниченно в Е, для каждого ~~/.
Условие достаточно, ибо при его выполнении Д рг,В есть огра'Ет ниченное множество в Е в силу предложения 5 (где за / принято ОГРАНИЧЕННЫЕ ЫНОЖЕСТВА 151 тождественное отображение), а В» П рг,В. Условие необходимо чсг в силу следствия 2. Следствие 4. Пусть (г-,), — семейство топологических векторных пространств, Š— векторное пространство и г„для каждого ~~  — линейное отображение Е в Ее Пусть Е наделено слабейшей топологией, в которой непрерывны все Л (гл. 1, $1, п'9); для того чтобы множество В» Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы У', (В) было ограниченно в Е, для каждого ~ ~ Е Действительно, рассмотрим отображение ~у =(Ц пространства Е в Е = П Ед из определений непосредственно следует, что для того, чтобы В было ограниченным в Е, необходимо и достаточно, чтобы О(В) было ограниченно в Е (поскольку топология пространства Е является прообразом топологии произведения Е относительно отображения е) утверждение вытекает тогда из следствия 3, поскольку рг,(у (В)) =' =У,(В) для всех с~ Е Следствие 5.
Если А и  — ограниченные множества в топо- логическом векторном пространстве Е, то и А+В ограниченно в Е. Действительно, А Х В ограниченно в Е Х Е (следствие 3). а А+В- есть образ А Х В при непрерывном линейном отображении (х, у) -ьх +у произведения Е )( Е в Е. 4. Ограниченные миожеснгва в строгом индуктивном пределе П~едложение 6.
Пусть локально выпуклое пространство Е есть строгий индуктивный предел возрастающей последовательности (Е„) своих замкнутых векторных надпространств (гл. 11, ф 2, в' 5). Для того чтобы множество В»Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в одном из подпространств Е„и было в нем ограниченно. Условие достаточно, поскольку топология, индуцированная в Е„ из Е, совпадает с топологией, заданной в Е„ (гл.
П, ф 2, прелложение 3). Установление необходимости усаовия сводится (в силу предложения 4) к доказательству того, что если последовательность (х,„) точек из Е не содержится ни в каком из подпро- 152 пноствлиствл нвпгвгывных линейных ОтОБРАжений Гл. Йп а г странств Е„, то она не может стремиться к нулю. Но, действительно, извлекая, если нужно, из последовательности (х„) надлежащую подпоследовательность, можно считать.
что существует строго возрастающая последовательность (пл) номеров такая, что хв ( Евв и хв ~ Епв ь, для каждого номера к. Следовательно, существует (гл. !1, 3 2, п' 5, лемма 1) возрастающая последовательность ([гв) выпуклых множеств таких, что Ъ'в есть окрестность нуля в Е„, Чвьг [[Епв= Чь и хв( Чь+, для всех й. Объединение Ч множеств Ч„ есть тогда окрестность нуля в Е и хь ( Ч для всех к, а это показывает, что последовательность (хь) не стремится к О. Утверждение предложения 6 уже не обязательно справедливо лля пространства Е, являющегося индуктивным пределом несчетного фильтрующегося семейства своих замкнутых надпространств [Интегрнр., гл.
1П, 6 2, упражнение 3(ь)[. Ю. Квазинолнвве пространства Оппедвлвннн 3. Топологическое векторное пространство Е называетсн квазиполным, если каждое замкнутое ограниченное множество в Е есть полное равномерное пространство (относительно равномерной структуры, индуцированной из Е). Ясно, что полное пространство квазиполно; в гл. 1Ч мы познакомимся с примерами квазиполных пространств, не являющихся полными (гл. !Ч, 3 2, следствие 2 теоремы 1 и 3 1, упражнение 11). В квазиполном пространстве Е каждая последовательность Коши, как подмножество замкнутого ограниченного множества (следствие предложения 3 н замечание после предложения 2), сходится.
В частности, квазиполное метризуемое векторное пространство полно. В квазиполном отделимом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка каждого предкомпактного множества компактна, ибо она предкомпактна (гл. П, 3 4, предложение 2) и тем самым ограниченна (предложения 2 и 3), а следовательно полна. Каждое замкнутое векторное подпространство квазиполного пространства квазиполно.
С другой стороны, из предложения 6 следует, что строгий индуктивный предел Е последовательности замкнутых в Е квазиполных надпространств Е„ есть квазиполное пространство. Наконец, справедливо следующее предложение: 153 ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА П~едложение 7. Произведение квазиполных пространств квази- полно. Действительно, пусть Е = И Е, — произведение квазиполнык пространств Е, и  — замкнутое ограниченное множество в Е. рг,В = А, ограниченна в Е, для каждого индекса 1 (следствие 3 предложения 5).
следовательно А„будучи ограниченным и замкнутым в Е, (замечание после предложения 2), полно. Г(о В замкнуто и содержится в полном пространстве ПА„значит само полно. Заметим, что факторпространство полного пространства по его замкнутому надпространству не обязательно квагнполно (гл. ЪЧ, Е 4, упражнение 10). Пгедложение 8. Пусть Š— топологическое векторное пространство и М вЂ” его векторное подпространство такое, что каждая точка из Е есть точка прикосновения некоторого ограниченного множества из М. Тогда каждое непрерывное линейное отображение г' подпространства М в к вази полное отделимое топологическое векторное пространство Р однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения пространства Е в Р.
Действительно, из предположения следует, что М всюду плотно в Е, а потому 7 однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения 7 пространства Е в пополнение Р пространства Р. Пусть х — произвольная точка из Е. Так как х есть точна прикосновения некоторого ограниченного множества В из М, то 7(х) есть точка прикосновения множества 7'(В) в Р. А так как 7'(В) ограниченно в Р, то его замыкание в Р в силу предположения есть полное подмножество в Р (см. замечание после предложения 2) н, следовательно, совпадает с замыканием множества 7(В) в Р. чем и доказано, что 7 (х) ~ Р.
Упражнения. 1) Пусть Š— топологнческое левое векторное пространство над неднскретным топологнческим телом К. Множество В <: Е называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля Ъ" в Е существует ХФО з К такое, что ХВ<- К а) Показать, что если В ограниченно з Е, то для каждой окрестности нуля тг нз Е существует окрестность нуля У в К такая, что ивс к 1О4 пРОстРАнстВА непрерыВных динкиных ОтОБРАжении Гл. Пе л 3 б) Показать, что замыкание ограниченного'множества ограниченно. Распространить на ограниченные множества в Е предложения 1 и 3, а также следствии предложения 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
